Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5: Спеціальні дистрибутиви

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    98839

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У цьому розділі ми вивчаємо кілька загальних сімейств розподілів ймовірностей та ряд спеціальних параметричних сімей розподілів. На відміну від інших розділів у цьому тексті, розділи не лінійно впорядковані, тому ця глава служить насамперед як посилання. Можливо, ви захочете вивчити ці теми в міру необхідності.

    По-перше, нам потрібно обговорити, що робить розподіл ймовірностей особливим в першу чергу. У деяких випадках розподіл може бути важливим, оскільки він пов'язаний з іншими спеціальними розподілами цікавими способами (через перетворення, обмеження, кондиціонування тощо). У деяких випадках параметричне сімейство може бути важливим, оскільки воно може бути використано для моделювання найрізноманітніших випадкових явищ. Це може бути через фундаментальних основоположних принципів, або просто тому, що сім'я має багату колекцію функцій щільності ймовірностей з невеликою кількістю параметрів (зазвичай 3 або менше). Як загальний філософський принцип ми намагаємося моделювати випадковий процес з якомога меншою кількістю параметрів; це іноді називають принципом парсимонії параметрів. У свою чергу, це особливий випадок бритви Окхема, названої на честь Вільяма Окхема, принцип, який стверджує, що слід використовувати найпростішу модель, адекватно описує дане явище. Парсімонія важлива, оскільки часто параметри невідомі і їх потрібно оцінювати.

    У багатьох випадках спеціальне параметричне сімейство розподілів матиме один або кілька виділених стандартних членів, відповідних заданим значенням деяких параметрів. Зазвичай стандартні розподіли будуть математично найпростішими, і часто інші члени сімейства можуть бути побудовані зі стандартних розподілів простими перетвореннями на базовій стандартній випадковій величині.

    З роками вивчалося неймовірне різноманіття спеціальних дистрибутивів, і в літературу постійно додаються нові. Щоб по-справжньому заслуговувати прикметник особливий, розподіл повинен мати певний рівень математичної елегантності та економічності, і повинен виникати в цікавих і різноманітних додатках.

    • 5.1: Сім'ї масштабу розташування
      Як завжди, наша відправна точка - це випадковий експеримент, змодельований простором ймовірностей (Ω, F, P), так що Ω - це сукупність результатів, F колекція подій, а P - міра ймовірності на просторі вибірки (Ω, F). У цьому розділі ми припустимо, що ми фіксували випадкову величину Z, визначену на просторі ймовірностей, приймаючи значення в R.
    • 5.2: Загальні експоненціальні сім'ї
      Багато спеціальних розподілів, вивчених у цій главі, є загальними експоненціальними родинами, принаймні щодо деяких їх параметрів. З іншого боку, найчастіше параметричне сімейство не може бути загальним експоненціальним сімейством, оскільки набір підтримки залежить від параметра. Наступні теореми дають ряд прикладів. Докази будуть надані в окремих розділах.
    • 5.3: Стабільні дистрибутиви
      Стабільні розподіли є важливим загальним класом розподілів ймовірностей на R, які визначаються з точки зору перетворення масштабу розташування. Стабільні розподіли відбуваються як обмеження (у розподілі) масштабованих і центрованих сум незалежних однаково розподілених змінних. Такі межі узагальнюють центральну граничну теорему, і тому стабільні розподіли узагальнюють нормальний розподіл у певному сенсі. Новаторську роботу щодо стабільних дистрибутивів зробив Пол Леві.
    • 5.4: Нескінченно ділимі розподіли
      Ряд спеціальних розподілів нескінченно ділиться. Докази результатів, зазначених нижче, наведені в окремих розділах.
    • 5.5: Розподіли серії живлення
      Розподіли силових рядів - це дискретні розподіли на (підмножині) N, побудовані з енергетичних рядів. Цей клас розподілів важливий, оскільки більшість спеціальних дискретних розподілів є розподілами степеневих рядів.
    • 5.6: Нормальний розподіл
      Нормальний розподіл займає почесну роль у ймовірності та статистиці, головним чином через центральну граничну теорему, одну з фундаментальних теорем, яка утворює міст між двома суб'єктами. Крім того, як ми побачимо, нормальний розподіл має багато приємних математичних властивостей. Нормальний розподіл також називають розподілом Гаусса, на честь Карла Фрідріха Гаусса, який одним з перших використав розподіл.
    • 5.7: Багатовимірний нормальний розподіл
      Багатовимірний нормальний розподіл є одним з найважливіших багатовимірних розподілів, особливо у статистичному висновку та вивченні гаусових процесів, таких як броунівський рух. Розподіл виникає природно з лінійних перетворень незалежних нормальних змінних. У цьому розділі ми розглянемо спочатку біваріативний нормальний розподіл, оскільки можуть бути дані явні результати та можливі графічні інтерпретації.
    • 5.8: Гамма-розподіл
      У цьому розділі ми вивчимо сімейство розподілів, яке має особливе значення в ймовірності та статистиці. Зокрема, часи прибуття в процесі Пуассона мають гамма-розподіли, а хі-квадратний розподіл в статистиці є окремим випадком гамма-розподілу. Також гамма-розподіл широко використовується для моделювання фізичних величин, які приймають позитивні значення.
    • 5.9: Чі-квадрат та пов'язаний з ним розподіл
      У цьому розділі ми вивчимо розподіл і деяких родичів, які мають особливе значення в статистиці. Зокрема, розподіл хі-квадрата виникне при вивченні дисперсії зразка, коли основний розподіл є нормальним та в хорошій відповідності тестів.
    • 5.10: Студент т Розподіл
      У цьому розділі ми вивчимо розподіл, який має особливе значення в статистиці. Зокрема, цей розподіл виникне при вивченні стандартизованої версії середнього зразка, коли основний розподіл є нормальним.
    • 5.11: Розподіл F
      У цьому розділі ми вивчимо розподіл, який має особливе значення в статистиці. Зокрема, цей розподіл виникає через співвідношення сум квадратів при вибірці з нормального розподілу, і тому важливий при оцінці і в двовибірковій нормальній моделі, а також при тестуванні гіпотез у двовибірковій нормальній моделі.
    • 5.12: Логнормальний розподіл
      Логнормальний розподіл є безперервним розподілом на (0, ∞) і використовується для моделювання випадкових величин, коли вважається, що розподіл є перекосованим, наприклад, певні змінні доходу та життя.
    • 5.13: Складений нормальний розподіл
      Складене нормальний розподіл - це розподіл абсолютної величини випадкової величини з нормальним розподілом. Як було підкреслено раніше, нормальний розподіл є, мабуть, найважливішим за ймовірністю і використовується для моделювання неймовірної різноманітності випадкових явищ.
    • 5.14: Розподіл Релея
      Розподіл Релея, названий на честь Вільяма Струтта, лорда Релея, являє собою розподіл величини двовимірного випадкового вектора, координати якого незалежні, однаково розподілені, середні 0 нормальних змінних. Дистрибутив має ряд додатків в налаштуваннях, де значення мають значення величини нормальних змінних.
    • 5.15: Розподіл Максвелла
      Розподіл Максвелла, названий на честь Джеймса Клерка Максвелла, являє собою розподіл величини тривимірного випадкового вектора, координати якого незалежні, однаково розподілені, середні 0 нормальних змінних. Розподіл має ряд застосувань у налаштуваннях, де значення мають значення величини нормальних змінних, особливо у фізиці. Розподіл Максвелла тісно пов'язаний з розподілом Релея.
    • 5.16: Розподіл Леві
      Розподіл Леві, названий на честь французького математика Поля Леві, важливий у вивченні броунівського руху і є одним із лише трьох стабільних розподілів, функція щільності ймовірності яких може бути виражена у простій, замкнутій формі.
    • 5.17: Бета-розповсюдження
      У цьому розділі ми вивчимо бета-дистрибутив, найважливіший дистрибутив, який має обмежену підтримку. Але перш ніж ми зможемо вивчити бета-розподіл, ми повинні вивчити бета-функцію.
    • 5.18: Основний розподіл бета-версії
      Розподіл beta prime - це розподіл коефіцієнта шансів, пов'язаного з випадковою величиною з бета-розподілом. Оскільки змінні з бета-розподілами часто використовуються для моделювання випадкових ймовірностей та пропорцій, відповідні коефіцієнти шансів також виникають природно.
    • 5.19: Розподіл арксіна
      Розподіл дуг важливий у вивченні броунівського руху та простих чисел, серед інших застосувань.
    • 5.20: Загальні рівномірні розподіли
      У цьому розділі розглядаються рівномірні розподіли в абстрактних налаштуваннях. Якщо ви новий студент ймовірності, або не знайомі з теорією мір, ви можете пропустити цей розділ і прочитати розділи про рівномірний розподіл на інтервалі та дискретних рівномірних розподілах.
    • 5.21: Рівномірний розподіл на інтервалі
      Безперервний рівномірний розподіл на інтервалі R є одним з найпростіших з усіх розподілів ймовірностей, але, тим не менш, дуже важливим. Зокрема, неперервні рівномірні розподіли є основними інструментами моделювання інших розподілів ймовірностей. Рівномірний розподіл відповідає вибору точки випадковим чином з інтервалу.
    • 5.22: Дискретні рівномірні розподіли
      Дискретний рівномірний розподіл - це окремий випадок загального рівномірного розподілу по відношенню до міри, в даному випадку міри підрахунку. Розподіл відповідає вибору елемента S у випадковому порядку. Більшість класичних, комбінаторних моделей ймовірностей засновані на базових дискретних рівномірних розподілах. У розділі про моделі скінченної вибірки досліджено ряд таких моделей.
    • 5.23: Розподіл півкола
    • 5.24: Розподіл трикутника
      Як і розподіл півкола, розподіл трикутника заснований на простій геометричній формі. Розподіл виникає природним шляхом, коли рівномірно розподілені випадкові величини перетворюються різними способами.
    • 5.25: Розподіл Ірвіна-Холла
      Розподіл Ірвіна-Холла, названий на честь Джозефа Ірвіна та Філіпа Холла, - це розподіл, який регулює суму незалежних випадкових величин, кожна зі стандартним рівномірним розподілом. Він також відомий як рівномірний розподіл суми. Так як стандартна уніформа є одним з найпростіших і основних розподілів (і відповідає в інформатиці випадковому числу), то Irwin-Hall - це природне сімейство розподілів. Він також служить приємним прикладом центральної граничної теореми.
    • 5.26: Розподіл U-Power
      U-розподіл потужності - це U-подібне сімейство розподілів, засноване на простому сімействі силових функцій.
    • 5.27: Розподіл синуса
      Синусовий розподіл - це простий розподіл ймовірностей, заснований на частині синусоїдальної кривої. Він також відомий як розподіл синусів Гілберта, названий на честь американського геолога Гроува Карла (GK) Гілберта, який використовував розподіл у 1892 році для вивчення кратерів на Місяці.
    • 5.28: Розподіл Лапласа
      Розподіл Лапласа, названий на честь П'єра Симона Лапласа, виникає природно як розподіл різниці двох незалежних, однаково розподілених експоненціальних змінних. З цієї причини його ще називають подвійним експоненціальним розподілом.
    • 5.29: Логістичний розподіл
      Логістичний розподіл використовується для різних моделей зростання і використовується в певному типі регресії, відомому відповідним чином як логістична регресія.
    • 5.30: Екстремальний розподіл цінностей
      Екстремальні розподіли значень виникають як граничні розподіли для максимумів або мінімумів (екстремальних значень) вибірки незалежних однаково розподілених випадкових величин зі збільшенням розміру вибірки. Таким чином, ці розподіли важливі в ймовірності і математичній статистиці.
    • 5.31: Гіперболічний розподіл секантів
      Гіперболічний секантний розподіл - це сімейство за масштабом розташування з низкою цікавих паралелей до нормального розподілу. Як випливає з назви, гіперболічна секантна функція відіграє важливу роль у розподілі, тому спочатку слід переглянути деякі визначення.
    • 5.32: Розподіл Коші
      Дистрибутив Коші, названий звичайно за всюдисущого Огюстена Коші, цікавий з кількох причин. По-перше, це просте сімейство розподілів, для яких очікуваного значення (та інших моментів) не існує. По-друге, сім'я закривається при утворенні сум незалежних змінних, а значить, є нескінченно ділимим сімейством розподілів.
    • 5.33: Експоненціально-логарифмічний розподіл
      Експоненціально-логарифмічний розподіл виникає, коли параметр швидкості експоненціального розподілу рандомізований логарифмічним розподілом. Експоненціально-логарифмічний розподіл має застосування в теорії надійності в контексті пристроїв або організмів, які покращуються з віком, внаслідок загартовування або імунітету.
    • 5.34: Розподіл Гомперца
      Розподіл Гомперца, названий на честь Бенджаміна Гомперца, є безперервним розподілом ймовірностей на [0, ∞), який має експоненціально зростаючу частоту відмов. На жаль, смертність дорослих людей зростає в геометричній прогресії, тому розподіл Гомперца широко використовується в актуарній науці.
    • 5.35: Лог-логістична дистрибуція
      Як випливає з назви, лог-логістичний розподіл - це розподіл змінної, логарифм якої має логістичний розподіл. Лог-логістичний розподіл часто використовується для моделювання випадкових термінів життя, і, отже, має застосування в надійності.
    • 5.36: Розподіл Парето
      Розподіл Парето - це перекошений, важкохвостий розподіл, який іноді використовується для моделювання розподілу доходів та інших фінансових змінних.
    • 5.37: Розподіл Вальда
      Дистрибутив Вальда, названий на честь Авраама Вальда, має важливе значення у вивченні броунівського руху. Зокрема, розподіл регулює перший раз, коли броунівський рух з позитивним дрейфом потрапляє на фіксоване позитивне значення. У броунівському русі розподіл випадкової позиції у фіксований час має нормальний (Гауссовий) розподіл, і, таким чином, розподіл Вальда, який регулює випадковий час у фіксованому положенні, іноді називають зворотним гауссовим розподілом.
    • 5.38: Розподіл Вейбулла
      Дистрибутив Вейбулла названий на честь Валодді Вейбулла. Вейбулл не був першою людиною, яка скористалася дистрибутивом, але першим широко вивчив його і визнав його широке використання в додатках. Стандартний розподіл Вейбулла такий же, як і стандартний експоненціальний розподіл. Але як ми побачимо, кожна випадкова величина Вейбулла може бути отримана зі стандартної величини Вейбуля простим детермінованим перетворенням, тому термінологія виправдана.
    • 5.39: Закон Бенфорда
      Закон Бенфорда стосується розподілу ймовірностей, які, здається, регулюють значні цифри в реальних наборах даних. Закон названий на честь американського фізика і інженера Френка Бенфорда, хоча закон фактично був відкритий раніше астрономом і математиком Саймоном Ньюкомбом.
    • 5.40: Розподіл Зети
      Дзета-розподіл використовується для моделювання розміру або рангів певних типів об'єктів, випадково обраних з певних типів популяцій. Типові приклади включають частоту входження слова, випадково обраного з тексту, або ранг населення міста, випадково вибраного з країни. Розподіл дзета також відомий як розподіл Zipf, на честь американського лінгвіста Джорджа Зіпфа.
    • 5.41: Розподіл логарифмічних рядів
      Розподіл логарифмічних рядів, як випливає з назви, заснований на стандартному розширенні рядів потужності функції натурального логарифма. Він також іноді відомий більш просто як логарифмічний розподіл.