5.9: Огляд глави

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 5.8: Посилання на розділи
- 5.10: Розділ Рішення (практика+домашнє завдання)

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

5.1 Властивості неперервних функцій щільності ймовірностей

Функція щільності ймовірності (pdf) використовується для опису ймовірностей неперервних випадкових величин. Площа під кривою щільності між двома точками відповідає ймовірності того, що змінна потрапляє між цими двома значеннями. Іншими словами, площа під кривою щільності між точками a і b дорівнює $P(a < x < b)$ . Функція кумулятивного розподілу (cdf) дає ймовірність як область. Якщо $X$ неперервна випадкова величина, функція щільності ймовірності (pdf) використовується для малювання графіка розподілу ймовірностей. $f(x)$ Загальна площа під графіком дорівнює $f(x)$ одиниці. Площа під графіком $f(x)$ і між значеннями $a$ і $b$ дає ймовірність $P(a < x < b)$ .

На графіку зліва показана загальна крива щільності, y = f (x). Область під кривою і над віссю x затінюється. Площа затіненої області дорівнює 1. Це показує, що всі можливі результати представлені кривою. На графіку праворуч показана однакова крива щільності. Вертикальні лінії x = a і x = b тягнуться від осі до кривої, а площа між лініями затінюється. Площа затіненої області представляє ймовірність того, що значення x потрапляє між a та b. — Малюнок $\PageIndex{21}$

Функція кумулятивного розподілу (cdf) $X$ визначається за допомогою $P(X \leq x)$ . Це функція x, яка дає ймовірність того, що випадкова величина менше або дорівнює x.

5.2 Рівномірний розподіл

Якщо $X$ має рівномірний розподіл де $a < x < b$ або $a \leq x \leq b$ , то $X$ приймає значення між $a$ і $b$ (може включати $a$ і $b$ ). Всі значення $x$ однаково вірогідні. Пишемо $X \sim U(a, b)$ . Середнє значення $X$ є $\mu=\frac{a+b}{2}$ . Стандартне відхилення $X$ є $\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}$ . Функція щільності ймовірності $X$ is $f(x)=\frac{1}{b-a}$ for $a \leq x \leq b$ . Сукупна функція розподілу $X$ is $P(X \leq x)=\frac{x-a}{b-a}$ . $X$ є безперервним.

На графіку показано прямокутник із загальною площею, рівною 1. Прямокутник простягається від x = a до x = b на осі x і має висоту 1/ (b-a). — Малюнок $\PageIndex{22}$

Імовірність $P(c < X < d)$ може бути знайдена шляхом обчислення площі під $f(x)$ , між $c$ і $d$ . Оскільки відповідна область є прямокутником, площа може бути знайдена простим множенням ширини і висоти.

5.3 Експоненціальний розподіл

Якщо $X$ має експоненціальний розподіл із середнім $\mu$ значенням, то параметр розпаду дорівнює $m=\frac{1}{\mu}$ . Функція щільності ймовірності $X$ є $f(x) = me^{-mx}$ (або еквівалентно $f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-x / \mu}$ . Сукупна функція розподілу $X$ is $P(X \leq x)=1-e^{-m x}$ .