4.10: Огляд глави

Last updated
Save as PDF

Page ID: 100108

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Вступ

Характеристики функції розподілу ймовірностей або щільності (PDF) такі:

Кожна ймовірність знаходиться між нулем і одиницею, включно (включно означає включати нуль і одиницю).
Сума ймовірностей одна.

4.1 Гіпергеометричний розподіл

Комбінаторна формула може надати кількість унікальних підмножин розміру\(x\), які можуть бути створені з\(n\) унікальних об'єктів, щоб допомогти нам обчислити ймовірності. Комбінаторна формула\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right)=_{n} C_{x}=\frac{n !}{x !(n-x) !}\)

Гіпергеометричний експеримент - це статистичний експеримент з наступними властивостями:

Ви берете проби з двох груп.
Вас турбує група за інтересами, яка називається першою групою.
Ви вибірку без заміни з комбінованих груп.
Кожен підбір не є самостійним, так як відбір проб проводиться без заміни.

Результати гіпергеометричного експерименту відповідають гіпергеометричному розподілу ймовірностей. Випадкова\(X =\) величина - кількість елементів з групи, що цікавить. \(h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\).

Біноміальний розподіл

Статистичний експеримент можна класифікувати як біноміальний експеримент при дотриманні наступних умов:

Є фіксована кількість випробувань,\(n\).
Існує лише два можливі результати, звані «успіхом» та «невдачею» для кожного судового розгляду. Буква\(p\) позначає ймовірність успіху на одному випробуванні і\(q\) позначає ймовірність невдачі на одному випробуванні.
\(n\)Випробування незалежні і повторюються з використанням однакових умов.

Результати біноміального експерименту відповідають біноміальному розподілу ймовірностей. Випадкова\(X =\) величина - кількість успіхів, отриманих в\(n\) незалежних випробуваннях. Середнє значення\(X\) можна обчислити за формулою\(\mu = np\), а стандартне відхилення задається за формулою\(\sigma=\sqrt{n p q}\).

Формула для біноміальної функції густини ймовірності дорівнює

\[P(x)=\frac{n !}{x !(n-x) !} \cdot p^{x} q^{(n-x)}\nonumber\]

Геометричний розподіл

Існує три характеристики геометричного експерименту:

Є одне або кілька випробувань Бернуллі з усіма невдачами, крім останнього, який є успішним.
Теоретично кількість випробувань могло тривати вічно. Повинен бути хоча б один судовий розгляд.
Імовірність успіху та ймовірність невдачі однакові для кожного судового розгляду.\(p\)\(q\)

У геометричному експерименті визначте дискретну випадкову величину\(X\) як кількість незалежних випробувань до першого успіху. Ми говоримо, що\(X\) має геометричний розподіл і пишемо\(X \sim G(p)\) де\(p\) ймовірність успіху в одному дослідженні.

Середнє геометричне розподіл\(X \sim G(p)\) - це те,\(\mu = 1/p\) де\(x =\) кількість випробувань до першого успіху для формули,\(P(X=x)=(1-p)^{x-1} p\) де кількість випробувань збільшується і включаючи перший успіх.

Альтернативна формулювання геометричного розподілу задає питання: яка ймовірність x невдач до першого успіху? У цій формулюванні не зараховується судовий процес, який призвів до першого успіху. Формула такого подання геометричного така:

\[P(X=x)=p(1-p)^{x}\nonumber\]

Очікувана величина в такому вигляді геометричного розподілу дорівнює

\[\mu=\frac{1-p}{p}\nonumber\]

Найпростіший спосіб зберегти ці дві форми геометричного розподілу прямо - пам'ятати, що\(p\) є ймовірність успіху і\((1−p)\) є ймовірність невдачі. У формулі показники просто підраховують кількість успіхів і кількість невдач бажаного результату експерименту. Звичайно, сума цих двох чисел повинна додати до кількості випробувань в експерименті.

Розподіл Пуассона

Розподіл ймовірності Пуассона дискретної випадкової величини дає ймовірність ряду подій, що відбуваються у фіксованому проміжку часу або простору, якщо ці події відбуваються з відомою середньою швидкістю і незалежно від часу з моменту останньої події. Розподіл Пуассона може використовуватися для наближення біноміального, якщо ймовірність успіху «мала» (менше або дорівнює 0,01) і кількість випробувань «велике» (більше або дорівнює 25). Інші емпіричні правила також пропонуються різними авторами, але всі визнають, що розподіл Пуассона є граничним розподілом біноміального у міру\(n\) збільшення та\(p\) наближення до нуля.

Формула обчислення ймовірностей, які є з процесу Пуассона, така:

\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]

де\(P(X)\) - ймовірність успіхів,\(\mu\) (вимовляється мю) - очікувана кількість успіхів,\(e\) це натуральний логарифм приблизно дорівнює\(2.718\), і\(X\) це кількість успіхів на одиницю, як правило, за одиницю часу.