3.5: Діаграми Венна

Діаграма Венна - це картина, яка представляє результати експерименту. Як правило, він складається з коробки, яка представляє простір зразка S разом з колами або овалами. Кола або овали представляють події. Діаграми Венна також допомагають нам перетворити загальні англійські слова в математичні терміни, які допомагають додати точності.

Діаграми Венна названі на честь свого винахідника Джона Венна, професора математики в Кембриджі та англіканського міністра. Його основна робота велася в кінці 1870-х років і породила цілу галузь математики і новий спосіб підходу до питань логіки. Ми розробимо правила ймовірності, щойно покриті, використовуючи цей потужний спосіб продемонструвати постулати ймовірності, включаючи правило додавання, правило множення, правило доповнення, незалежність та умовну ймовірність.

Приклад 3.27

Припустимо, експеримент має результати 1, 2, 3,..., 12, де кожен результат має однакові шанси на виникнення. Нехай подія\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) і подія\(B = \{6, 7, 8, 9\}\). Потім\(A\) перетинаються\(B = A \cap B=\{6\}\) і\(A\) об'єднуються\(B = A\cup B=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Діаграма Венна виглядає наступним чином:

Малюнок 3.6

На малюнку 3.6 показана найосновніша залежність серед цих чисел. По-перше, числа знаходяться в групах, які називаються множинами; набір A і множина B. Деякі числа знаходяться в обох множині; ми говоримо\(\cap \) в множині A в множині B Англійське слово «і» означає включно, що означає, що має характеристики як A, так і B, або в даному випадку, будучи частиною обох A і B. Ця умова називається ПЕРЕТИНОМ два набори. Всі члени, які є частиною обох множин, складають перетин двох множин. Перетин записується так, як\(A\cap B\) де\(\cap\) математичний символ перетину. Заява A\ cap BA\ cap B читається як «A перетинається B» Про це можна згадати, подумавши про перетин двох вулиць.

Є також ті цифри, які утворюють групу, яка для членства має бути або в одній, або в іншій групі. Число не повинно бути в ОБОХ групах, а натомість лише в одній з двох. Ці числа називаються UNION двох множин, і в цьому випадку вони є числами 1-5 (виключно від A), 7-9 (з набору B виключно), а також 6, що є в обох наборах A і B. Символ для UNION є\(\cup \), таким чином,\(A\cup B=\) числа 1-9, але виключає число 10, 11 і 12. Значення 10, 11 і 12 є частиною Всесвіту, але не є ні в одному з двох наборів.

Переклад англійського слова «AND» в математичний логічний символ\ cap, перетин, а слово «OR» в математичний символ\ cup, union, забезпечує дуже точний спосіб обговорення питань ймовірності та логіки. Загальна термінологія для трьох областей діаграми Венна на малюнку 3.6 показана на малюнку 3.7.

Вправа 3.27

Припустимо, експеримент має результати чорного, білого, червоного, оранжевого, жовтого, зеленого, синього та фіолетового кольорів, де кожен результат має однакові шанси на виникнення. Нехай подія C = {зелений, синій, фіолетовий} і подія P = {червоний, жовтий, синій}. Потім\(C\cap P=\{blue\}\) і\(C \cup P=\{\text { green, blue, purple, red, yellow }\}\). Намалюйте діаграму Венна, що представляє цю ситуацію.

Приклад 3.28

Переверніть дві справедливі монети. Нехай A = хвости на першій монеті. Нехай B = хвости на другу монету. Потім A = {TT, TH} і B = {TT, HT}. Тому,\(A\cap B=\{TT\}\). \(A\cup B=\{TH, TT, HT\}\).

Простір зразка, коли ви перевертаєте дві справедливі монети X = {HH, HT, TH, TT}. Результат HH не в НІ A, НІ B. Діаграма Венна виглядає наступним чином:

Малюнок 3.7

Вправа 3.28

Скачайте справедливу, шестигранну плашку. Нехай A = просте число точок згортається. Нехай B = непарна кількість точок згортається. Потім A = {2, 3, 5} і B = {1, 3, 5}. Тому,\(A\cap B=\{3, 5\}\). \(A\cup B=\{1, 2, 3, 5\}\). Простір зразка для прокатки ярмаркової матриці S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Намалюйте діаграму Венна, що представляє цю ситуацію.

Приклад 3.29

Людина з кров'ю типу O і негативним резус-фактором (Rh-) може здати кров будь-якій людині з будь-якою групою крові. Чотири відсотки афроамериканців мають кров типу O та негативний резус-фактор, 5− 10% афроамериканців мають резус-фактор, а 51% мають кров типу O.

Малюнок 3.8

Коло «О» представляє афроамериканців з кров'ю типу O. «Rh- «овал представляє афроамериканців з резус-фактором.

Ми візьмемо в середньому 5% і 10% і використаємо 7,5% як відсоток афроамериканців, які мають резус-фактор. Нехай O = афроамериканець з кров'ю типу O і R = афроамериканець з резус-фактором.

1. Р (О) = ___________
2. Р (Р) = ___________
3. \(P(O\cap R)=\)___________
4. \(P(O\cup R)=\)____________
5. На діаграмі Венна опишіть область перекриття, використовуючи повне речення.
6. На діаграмі Венна опишіть область прямокутника, але поза колом і овалом, використовуючи повне речення.

Відповідь

Рішення 3.29

а. 0,51; б. 0,075; c. 0.04; d. 0.545; е. площа представляє афроамериканців, які мають тип O крові і резус-фактор. f. Площа представляє афроамериканців, які не мають ні типу O крові, ні резус-фактора.

Приклад 3.30

П'ятдесят відсотків робітників на заводі працюють на другій роботі, 25% мають чоловіка, який також працює, 5% працюють на другій роботі і мають чоловіка, який також працює. Намалюйте діаграму Венна, яка показує відносини. Нехай W = працює на другій роботі, а S = чоловік також працює.

Відповідь

Сорок відсотків студентів місцевого коледжу належать до клубу і 50% працюють неповний робочий день. П'ять відсотків студентів працюють неповний робочий день і належать до клубу. Намалюйте діаграму Венна, яка показує відносини. Нехай C = студент належить клубу, а PT = студент працює неповний робочий день.

Малюнок 3.9

Якщо студент обраний навмання, знайдіть

• ймовірність того, що студент належить до клубу. Р (С) = 0,40
• ймовірність того, що студент працює неповний робочий день. Р (ПТ) = 0,50
• ймовірність того, що студент належить до клубу І працює неповний робочий день. \(P(C\cap PT)=0.05\)
• ймовірність того, що студент належить до клубу з огляду на те, що студент працює неповний робочий день. \(P(C | P T)=\frac{P(C \cap P T)}{P(P T)}=\frac{0.05}{0.50}=0.1\)
• ймовірність того, що студент належить до клубу АБО працює неповний робочий день. \(P(C \cup P T)=P(C)+P(P T)-P(C \cap P T)=0.40+0.50-0.05=0.85\)

Для того, щоб розв'язати приклад 3.30, нам довелося спиратися на поняття умовної ймовірності з попереднього розділу. Там ми використовували ієрархічні діаграми, щоб відстежувати зміни ймовірностей, тому що простір вибірки змінювався, як ми малювали без заміни. Коротше кажучи, умовна ймовірність - це шанс, що щось трапиться з огляду на те, що якась інша подія вже трапилася. Іншим шляхом, ймовірність того, що щось трапиться, обумовлена ситуацією, що щось інше також вірно. У прикладі 3.30 ймовірність P (C||PT) - це умовна ймовірність того, що випадково намальований студент є членом клубу, обумовлена тим, що студент також працює неповний робочий день. Це дозволяє нам побачити зв'язок між діаграмами Венна і постулатами ймовірності.

Вправа 3.30

У книжковому магазині ймовірність того, що клієнт купує роман, становить 0,6, а ймовірність того, що клієнт придбає книгу нон-фікшн, дорівнює 0,4. Припустимо, що ймовірність того, що клієнт купує обидва, дорівнює 0,2.

1. Намалюйте діаграму Венна, що представляє ситуацію.
2. Знайдіть ймовірність того, що замовник купує або роман, або нехудожню книгу.
3. На діаграмі Венна опишіть область перекриття, використовуючи повне речення.
4. Припустимо, що деякі покупці купують тільки компакт-диски. Намалюйте овал на вашій діаграмі Венна, що представляє цю подію.

Приклад 3.31

Спостерігається набір з 20 німецьких вівчарок. 12 - самці, 8 - самки, 10 мають деяку коричневу забарвлення, а 5 мають кілька білих ділянок хутра. Дайте відповідь на наступне за допомогою діаграм Венна.

Намалюйте діаграму Венна, просто показуючи набори чоловічих і жіночих собак.

Відповідь

Рішення 3.31

Діаграма Венна нижче демонструє ситуацію взаємовиключних подій, коли результати є незалежними подіями. Якщо собака не може бути і самцем, і самкою, то перетину немає. Бути чоловіком виключає бути жінкою, а бути жінкою виключає бути чоловіком: у цьому випадку характерна стать, отже, взаємовиключна. Діаграма Венна показує це як дві множини без перетину. Перетин, як кажуть, є нульовим набором з використанням математичного символу ∅.

Малюнок 3.10

Намалюйте другу діаграму Венна, яка ілюструє, що 10 собак самців мають коричневе забарвлення.

Відповідь

Рішення 3.31

Діаграма Венна нижче показує перекриття між чоловічим і коричневим, де в ній розміщено число 10. Це являє собою\(\text{ Male}\cap \text{Brown }\): як чоловічий, так і коричневий. Це перетин цих двох характеристик. Щоб отримати союз Мале і Брауна, то це просто дві обведені ділянки мінус перекриття. Якщо говорити належним\( \text{ Male}\cup \text{ Brown }=\text { Male }+\text { Brown }-\text { Male } \cap \text { Brown}\) чином, дасть нам кількість собак в союзі цих двох наборів. Якби ми не віднімали перехрестя, ми б двічі підрахували частину собак.

Малюнок 3.11

Тепер намалюйте ситуацію із зображенням сценарію, в якому не затінена область представляє «Немає білого хутра і жінки», або White fur′\ cap Female. прайм над «хутром» вказує «не біле хутро». Просте вище множини означає, що не в цьому наборі, наприклад, не\(\mathrm{A}^{\prime}\) означає\(\mathrm{A}\). Іноді використовується позначення є рядком над літерою. Наприклад,\(\overline{A}=\mathrm{A}^{\prime}\).

Відповідь

Рішення 3.31

Малюнок 3.12

Правило доповнення ймовірності

Ми зустріли правило додавання раніше, але без допомоги діаграм Венна. Діаграми Венна допомагають візуалізувати процес підрахунку, який притаманний обчисленню ймовірності. Щоб відновити правило ймовірності додавання:

\[P(A \cup B)=P(\mathrm{A})+P(B)-P(A \cap B)\nonumber\]

Пам'ятайте, що ймовірність - це просто частка цікавлять нас об'єктів щодо загальної кількості об'єктів. Ось чому ми можемо побачити корисність діаграм Венна. Приклад 3.31 показує, як ми можемо використовувати діаграми Венна для підрахунку кількості собак у союзі коричневого та самця, нагадуючи нам відняти перетин коричневого та самця. Ми можемо побачити вплив цього безпосередньо на ймовірності в правилі додавання.

Приклад 3.32

Давайте візьмемо зразки 50 студентів, які перебувають у класі статистики. 20 - першокурсники і 30 - другокурсники. 15 студентів отримують «Б» в курсі, а 5 студентів обидва отримують «Б» і є першокурсниками.

Знайдіть ймовірність вибору студента, який або заробляє «Б» АБО є першокурсником. Ми переводимо слово АБО на математичний символ для правила додавання, яке є об'єднанням двох множин.

Відповідь

Рішення 3.32

Ми знаємо, що в нашій вибірці 50 студентів, тому ми знаємо знаменник нашої фракції, щоб дати нам ймовірність. Потрібно лише знайти кількість учнів, що відповідають цікавим нам характеристикам, тобто будь-якого першокурсника і будь-якого студента, який заробив оцінку «Б». За допомогою правила ймовірності додавання ми можемо перейти безпосередньо до ймовірностей.

Нехай «А» = кількість першокурсників, а нехай «В» = клас «Б». Нижче ми можемо побачити процес використання діаграм Венна для вирішення цього питання.

The\(P(A)=\frac{20}{50}=0.40, P(B)=\frac{15}{50}=0.30, \text { and } P(A \cap B)=\frac{5}{50}=0.10\)

Тому\(P(A \cap B)=0.40+0.30-0.10=0.60\)

Малюнок 3.13

Якщо дві події взаємовиключні, то, як і на прикладі, де ми наводимо діаграму самця і самки собак, правило складання спрощується до справедливого\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)−0\). Це вірно тому, що, як ми бачили раніше, об'єднання взаємовиключних подій - це нульова множина, ∅. Наведені нижче схеми демонструють це.

Малюнок 3.14

Правило множення ймовірності

Відновивши правило ймовірності множення за допомогою позначення діаграм Венна, ми маємо:

\[P(A\cap B)=P(A|B)⋅P(B)\nonumber\]

Правило множення може бути змінено за допомогою трохи алгебри в наступне умовне правило. Потім діаграми Венна можуть бути використані для демонстрації процесу.

Умовне правило:\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

Використовуючи ті ж факти з Прикладу 3.32 вище, знайдіть ймовірність того, що хтось запрацює «Б», якщо він «першокурсник».

\[P(A | B)=\frac{0.10}{0.30}=\frac{1}{3}\nonumber\]

Малюнок 3.15

Правило множення також має бути змінено, якщо дві події незалежні. Незалежні події визначаються як ситуація, коли умовною ймовірністю є просто ймовірність цікавить події. Формально незалежність подій визначається як\(P(A|B)=P(A)\) або\(P(B|A)=P(B)\). При гортанні монет результат другого сальто не залежить від результату першого сальто; монети не мають пам'яті. Правило множення ймовірності для незалежних подій таким чином стає:

\[P(A\cap B)=P(A)⋅P(B)\nonumber\]

Один простий спосіб запам'ятати це - розглянути те, що ми маємо на увазі під словом «і». Ми бачимо, що Правило множення переклало слово «і» на позначення Венна для перетину. Тому результат повинен відповідати двом умовам першокурсників і класу «В» у наведеному вище прикладі. Складніше, менш імовірно, виконати дві умови, ніж тільки одна або якась інша. Ми можемо спробувати побачити логіку Правила ймовірності множення через те, що дробів, помножених один на одного, стають меншими.

Розвиток Правил ймовірності з використанням діаграм Венна може бути показано, щоб допомогти, оскільки ми хочемо обчислити ймовірності за даними, розташованими в таблиці надзвичайних ситуацій.

Приклад 3.33

Таблиця 3.11 взята з вибірки з 200 осіб, яких запитали, скільки освіти вони закінчили. Колони представляють вищу освіту, яку вони закінчили, а ряди розділяють особин чоловічої та жіночої статі.

Таблиця 3.11

	Менше, ніж випускник середньої школи	Вища школа	Якийсь коледж	Випускник коледжу	Всього
Чоловічий	5	15	40	60	120
Жіноча	8	12	30	30	80
Всього	13	27	70	90	200

Тепер ми можемо використовувати цю таблицю, щоб відповісти на питання ймовірності. Наступні приклади розроблені, щоб допомогти зрозуміти формат вище при підключенні знань як до діаграм Венна, так і до правил ймовірності.

Яка ймовірність того, що обраний людина як закінчив коледж, так і є жіночим?

Відповідь

Рішення 3.33

Це просте завдання знайти значення, де дві характеристики перетинаються на таблиці, а потім застосувати постулат ймовірності, який стверджує, що ймовірність події - це частка результатів, які відповідають події, в якій нас цікавить, як частка всього можливого результати.

\(P(\text {College Grad } \cap \text { Female })=\frac{30}{200}=0.15\)

Яка ймовірність вибору або жінки, або того, хто закінчив коледж?

Відповідь

Рішення 3.33

Це завдання передбачає використання правила додавання для вирішення цієї ймовірності.

\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female })=P(F)+P(C G)-P(F \cap C G)\)

\(P(\text { College Grad } \cup \text{ Female }) =\frac{80}{200}+\frac{90}{200}-\frac{30}{200}=\frac{140}{200}=0.70\)

Яка ймовірність вибору випускника середньої школи, якщо ми вибираємо лише з групи чоловіків?

Відповідь

Рішення 3.33

Тут ми повинні використовувати правило умовної ймовірності (модифіковане правило множення) для вирішення цієї ймовірності.

\(P (\text{HS Grad } | \text { Male }）=\frac{P(\mathrm{HS} \text { Grad } \cap \mathrm{Male})}{\mathrm{P}(\mathrm{Male})}=\frac{\left(\frac{15}{200}\right)}{\left(\frac{120}{200}\right)}=\frac{15}{120}=0.125\)

Чи можемо ми зробити висновок, що рівень освіти, досягнутий цими 200 людьми, не залежить від статі людини?

Відповідь

Рішення 3.33

Є два способи наблизитися до цього тесту. Перший метод прагне перевірити, чи дорівнює перетин двох подій добутку подій окремо пам'ятаючи, що якщо дві події є незалежними, ніж\(P(A)^{*} P(B)=P(A \cap B)\). Для простоти ми можемо використовувати обчислені значення зверху.

Чи є\(P(\text { College Grad } \cap \text { Female })=P(C G) \cdot P(F)\)?

\(\frac{30}{200} \neq \frac{90}{200} \cdot \frac{80}{200}\)тому що 0,15 ≠ 0,18.

Тому гендер і освіта тут не є самостійними.

Другий метод полягає в перевірці, чи дорівнює умовна ймовірність A заданого B ймовірності А. знову для простоти можна використовувати вже розраховане значення зверху.

Чи є\(P(H S \text { Grad } | \text { Male })=P(H S \text { Grad) }\)?

\(\frac{15}{120} \neq \frac{27}{200}\)тому що 0,125 ≠ 0,135.

Тому знову гендер і освіта тут не є самостійними.