2.5: Середнє геометричне

Середнє (арифметичне), медіана і режим - це все міри «центру» даних, «середнього». Всі вони по-своєму намагаються виміряти «загальну» точку всередині даних, те, що є «нормальним». У випадку з середнім арифметичним це вирішується пошуком значення, від якого всі точки дорівнюють лінійним відстаням. Ми можемо собі уявити, що всі значення даних об'єднуються шляхом додавання, а потім розподіляються назад до кожної точки даних в рівних кількостях. Сума всіх значень - це те, що перерозподіляється в рівних кількостях таким чином, щоб загальна сума залишилася колишньою.

Середнє геометричне перерозподіляє не суму значень, а добуток множення всіх окремих значень з подальшим перерозподілом їх рівними частинами таким чином, щоб загальний твір залишився колишнім. Це видно з формули для середнього геометричного,\(\tilde{x}\): (Вимовляється\(x\) -тильда)

\[\tilde{x}=\left(\prod_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\nonumber\]

де\(\pi\) ще один математичний оператор, який говорить нам помножити всі\(x_{i}\) числа так само, як велика грецька сигма говорить нам скласти всі\(x_{i}\) числа. Пам'ятайте, що дробовий показник викликає n-й корінь числа, таким чином, експонента 1/3 - це кубічний корінь числа.

Геометричне середнє відповідає на питання: «якби всі величини мали однакову величину, якою була б ця величина, щоб досягти того ж продукту?» Середнє геометричне отримує свою назву від того, що при перерозподілі таким чином сторони утворюють геометричну форму, для якої всі сторони мають однакову довжину. Щоб переконатися в цьому, візьмемо приклад чисел 10, 51.2 і 8. Середнє геометричне є добутком множення цих трьох чисел разом (4,096) і прийняття кубового кореня, оскільки є три числа, між якими цей твір повинен бути розподілений. Таким чином, середнє геометричне цих трьох чисел дорівнює 16. Це описує куб 16х16х16 і має обсяг 4096 одиниць.

Геометричне середнє актуально в економіці та фінансах для боротьби зі зростанням: зростанням ринків, інвестиціями, чисельністю населення та іншими змінними, зростанням яких є інтерес. Уявіть, що наша коробка з 4096 одиниць (можливо, доларів) - це вартість інвестицій через три роки, і що інвестиційна віддача у відсотках була трьома числами в нашому прикладі. Середнє геометричне дасть нам відповідь на питання, яка середня норма прибутковості: 16 відсотків. Середнє арифметичне цих трьох чисел становить 23,6 відсотка. Причина цієї різниці, 16 проти 23,6, полягає в тому, що середнє арифметичне є адитивним і, таким чином, не враховує відсотки на відсотки, складні відсотки, вбудовані в процес зростання інвестицій. Це ж питання виникає, коли запитують середні темпи зростання населення або продажів або проникнення на ринок тощо, знаючи річні темпи зростання. Формула середньогеометричної норми прибутковості, або будь-якого іншого темпу зростання, така:

\[r_{s}=\left(x_{1} \cdot x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}-1\nonumber\]

Маніпулювання формулою для середнього геометричного може також забезпечити розрахунок середньої швидкості зростання між двома періодами, знаючи тільки початкове значення a0a0 і кінцеве значення anan і кількість періодів, nn. Наступна формула надає цю інформацію:

\[\left(\frac{a_{n}}{a_{0}}\right)^{\frac{1}{n}}=\tilde{x}\nonumber\]

Наостанок відзначимо, що формула середнього геометричного вимагає, щоб всі числа були додатними, більшими за нуль. Причина, звичайно, полягає в тому, що корінь від'ємного числа не визначено для використання поза математичною теорією. Однак існують способи уникнути цієї проблеми. У випадку ставок прибутковості та інших простих проблем зростання ми можемо перетворити негативні значення в значущі позитивні еквівалентні значення. Уявіть, що річна прибутковість за останні три роки становить +12%, -8% і +2%. Використання десяткових еквівалентів множника 1,12, 0,92 та 1,02 дозволяє обчислити середнє геометричне 1,0167. Віднімання 1 з цього значення дає середнє геометричне значення +1,67% як чистий темп приросту населення (або фінансової віддачі). З цього прикладу ми бачимо, що середнє геометричне надає нам цю формулу для розрахунку геометричної (середньої) норми прибутковості для серії річних норм прибутковості:

\[r_{s}=\tilde{x}-1\nonumber\]

де\(r_{s}\) середня норма прибутковості і\(\tilde{x}\) геометричне середнє значення прибутковості протягом деякої кількості часових періодів. Зверніть увагу, що тривалість кожного часового періоду повинна бути однаковою.

Як правило, слід перетворити значення відсотків у десятковий еквівалентний множник. Важливо визнати, що при роботі з відсотками середнє геометричне значення відсотків не дорівнює геометричному середньому еквівалентів десяткового множника, і саме десятковий множник еквівалент геометричного середнього значення є актуальним.