2.1: Відображення даних

Стеблові та листові графіки (Stemplots), лінійні графіки та гістограми

Один простий графік, граф стебла і листя або стовбур, походить з області розвідувального аналізу даних. Це хороший вибір, коли набори даних невеликі. Для створення ділянки розділіть кожне спостереження даних на стебло і лист. Лист складається з кінцевої значущої цифри. Наприклад, 23 має стебло два і три листа. Число 432 має стебло 43 і два листа. Так само число 5432 має стебло 543 і два листа. Десятковий 9.3 має стебло дев'ять і три листа. Випишіть стебла вертикальною лінією від найменшого до найбільшого. Намалюйте вертикальну лінію праворуч від стебел. Потім напишіть листя у порядку збільшення поруч із відповідним стеблом.

Приклад$\PageIndex{2}$.1

Для весняного класу попереднього обчислення Сьюзан Дін бали за перший іспит були наступними (від найменших до найбільших):

33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 94; 94; 94; 96; 100

\ (\ pageIndex {1}\) Графік стебла і листа «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 1. Графік стебла і листя

Стебло	Лист
3	3
4	2 9 9
5	3 5 5
6	1 3 7 8 8 9 9
7	2 3 4 8
8	0 3 8 8
9	0 2 4 4 4 6
10	0

Stemplot показує, що більшість балів впали в 60-х, 70-х, 80-х і 90-х роках. Вісім з 31 балів або приблизно 26% (831) (831) були в 90-х або 100, досить висока кількість As.

Вправа$\PageIndex{2}$.1

Для баскетбольної команди Парк-Сіті бали за останні 30 ігор були наступними (від найменших до найбільших):

32; 32; 33; 34; 38; 40; 42; 42; 43; 44; 46; 47; 47; 48; 48; 49; 50; 50; 51; 52; 52; 53; 54; 56; 57; 57; 60; 61

Побудувати стовбуровий графік для даних.

Stemplot - це швидкий спосіб графіків даних і дає точну картину даних. Ви хочете шукати загальний візерунок і будь-які викиди. Викид - це спостереження за даними, які не відповідають решті даних. Його іноді називають екстремальним значенням. Коли ви графуєте викид, він, здається, не відповідає шаблону графіка. Деякі викиди пов'язані з помилками (наприклад, записуючи 50 замість 500), тоді як інші можуть вказувати на те, що відбувається щось незвичайне. Потрібна деяка довідкова інформація, щоб пояснити викиди, тому ми розглянемо їх більш детально пізніше.

Приклад$\PageIndex{2}$.2

Дані - відстані (у кілометрах) від будинку до місцевих супермаркетів. Створіть stemplot, використовуючи дані:

1.1; 1.5; 2.3; 2.5; 2.7; 3.2; 3.3; 3.3; 3.5; 3.8; 4.0; 4.2; 4,5; 4.5; 4.7; 4.8; 5.5; 5.6; 6.5; 6.7; 12.3

Здається, дані мають якусь концентрацію значень?

ПРИМІТКА

Листя знаходяться праворуч від десяткової.

Відповідь

Значення 12.3 може бути викидом. Значення, здається, концентруються на трьох і чотирьох кілометрах.

\ (\ індекс сторінки {2}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 2.

Стебло	Лист
1	1 5
2	3 5 7
3	2 3 3 5 8
4	0 2 5 5 7 8
5	5 6
6	5 7
7
8
9
10
11
12	3

Вправа$\PageIndex{2}$.2

Наступні дані показують відстані (у милі) від будинків студентів статистики поза кампусом до коледжу. Створіть стовбурову ділянку, використовуючи дані, і визначте будь-які викиди:

0.5; 0,7; 1.1; 1.2; 1.2; 1.3; 1.3; 1.5; 1.5; 1.7; 1.7; 1.8; 1,9; 2.0; 2.2; 2.5; 2.6; 2.8; 2.8; 2.8; 3.5; 3.8; 4.4; 4.8; 4.9; 5.2; 5,5; 5.7; 5.8; 8.0

Приклад$\PageIndex{2}$.3

Бічний графік стебла та листа дозволяє порівнювати два набори даних у двох стовпцях. На ділянці зі стеблом та листям два набори листя мають один і той же стебло. Листя знаходяться зліва і праворуч від стебел. У таблиці$\PageIndex{2}$ .4 та табл.$\PageIndex{2}$ 5 показано вік президентів під час їх інавгурації та смерті. Побудуйте пліч-о-пліч ділянку стебла та листа, використовуючи ці дані.

Відповідь

\ (\ Індекс сторінки {3}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 3.

Вік на інавгурації		Віки на смерть
9 9 8 7 7 7 6 3 2	4	6 9
8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 0	5	3 6 6 7 7 8
9 8 5 4 2 1 1 1 0	6	0 0 3 3 4 4 5 6 7 7 7 8
	7	0 0 1 1 4 7 8 8 9
	8	0 1 3 5 8
	9	0 0 3 3

\ (\ pageIndex {4}\) Президентський вік на інавгурації «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 4. Президентський вік на інавгурації

Президент	Вік	Президент	Вік	Президент	Вік
Вашингтон	57	Лінкольн	52	Гувер	54
Адамс Дж.	61	Джонсон А.	56	Рузвельт Ф.М.	51
Джефферсон	57	Грант	46	Трумен	60
Медісон	57	Хейс	54	Ейзенхауер	62
Монро	58	Гарфілд	49	Кеннеді	43
Адамс Дж.	57	Артур	51	Джонсон Л.	55
Джексон	61	Клівленд	47	Ніксон	56
Ван Бюрен	54	Б. Гаррісон	55	Ford	61
Гаррісон У.	68	Клівленд	55	Картер	52
Тайлер	51	Мак-Кінлі	54	Рейган	69
Полк	49	Рузвельт Т.	42	Буш Г.У.	64
Тейлор	64	Taft	51	Клінтон	47
Філмор	50	Вілсон	56	Буш-молодший	54
Пірс	48	Хардінг	55	Обама	47
Б'юкенен	65	Кулідж	51	Трамп	70

\ (\ pageIndex {5}\) Президентський вік при смерті «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 5. Президентський вік при смерті

Президент	Вік	Президент	Вік	Президент	Вік
Вашингтон	67	Лінкольн	56	Гувер	90
Адамс Дж.	90	Джонсон А.	66	Рузвельт Ф.М.	63
Джефферсон	83	Грант	63	Трумен	88
Медісон	85	Хейс	70	Ейзенхауер	78
Монро	73	Гарфілд	49	Кеннеді	46
Адамс Дж.	80	Артур	56	Джонсон Л.	64
Джексон	78	Клівленд	71	Ніксон	81
Ван Бюрен	79	Б. Гаррісон	67	Ford	93
Гаррісон У.	68	Клівленд	71	Рейган	93
Тайлер	71	Мак-Кінлі	58
Полк	53	Рузвельт Т.	60
Тейлор	65	Taft	72
Філмор	74	Вілсон	67
Пірс	64	Хардінг	57
Б'юкенен	77	Кулідж	60

Іншим типом графіка, який корисний для конкретних значень даних, є лінійний графік. У конкретному лінійному графіку, показаному в прикладі$\PageIndex{4}$, вісь x (горизонтальна вісь) складається зі значень даних, а вісь y (вертикальна вісь) складається з точок частоти. Частотні точки з'єднуються за допомогою відрізків ліній.

Приклад$\PageIndex{2}$.4

В ході опитування 40 матерів запитали, скільки разів на тиждень підлітку потрібно нагадувати, щоб він займався своїми справами. Результати наведені в табл.$\PageIndex{2}$ 6 і на малюнку$\PageIndex{2}$ .2.

\ (\ Індекс сторінки {6}\) «>

Кількість разів нагадують підлітку	Частота
0	2
1	5
2	8
3	14
4	7
5	4

Таблиця 2.6

Малюнок 2.2

Вправа$\PageIndex{4}$

В ході опитування 40 людей запитали, скільки разів на рік вони мали свій автомобіль в цеху для ремонту. Результати наведені в табл$\PageIndex{7}$. Побудувати лінійний графік.

\ (\ Індекс сторінки {7}\) «>

Кількість разів у магазині	Частота
0	7
1	10
2	14
3	9

Таблиця 2.2.7

Гістограми складаються з стовпчиків, які відокремлені один від одного. Бруски можуть бути прямокутниками або це можуть бути прямокутні коробки (використовуються в об'ємних ділянках), причому вони можуть бути вертикальними або горизонтальними. Гістограма, показана$\PageIndex{5}$ у прикладі, містить вікові групи, представлені на осі x, і пропорції на осі y.

Вправа$\PageIndex{1}$

Додайте сюди текст вправ.

Відповідь

Рішення 2.5

Малюнок$\PageIndex{2}$ 3.

Приклад$\PageIndex{5}$

До кінця 2011 року Facebook налічував понад 146 мільйонів користувачів у Сполучених Штатах. У таблиці$\PageIndex{2}$ .8 наведено три вікові групи, кількість користувачів у кожній віковій групі та частка (%) користувачів у кожній віковій групі. Побудувати гістограму, використовуючи ці дані.

\ (\ Індекс сторінки {8}\) «>

Вікові групи	Кількість користувачів Facebook	Частка (%) користувачів Facebook
13—25	65 082 280	45%
26—44	53 300 200	36%
45—64	27 885 100	19%

Таблиця 2.2.8

Рішення

Вправа$\PageIndex{5}$

Додайте сюди текст вправ.

Відповідь

Населення в Парк-Сіті складається з дітей, дорослих працездатного віку та пенсіонерів. Таблиця$\PageIndex{9}$ показує три вікові групи, кількість людей у місті від кожної вікової групи та частку (%) людей у кожній віковій групі. Побудувати гістограму, що показує пропорції.

\ (\ Індекс сторінки {9}\) «>

Вікові групи	Кількість людей	Частка населення
Діти	67 059	19%
Дорослі працездатного віку	152 198	43%
Пенсіонери	131 662	38%

Таблиця 2.2.9

Приклад$\PageIndex{2}$.6

Стовпці в таблиці$\PageIndex{2}$ .10 містять: расу або етнічну приналежність учнів державних шкіл США для класу 2011 року, відсотки для розширеного розміщення досліджують населення для цього класу та відсотки для загальної кількості учнів. Створіть гістограму зі студентською расою або етнічною приналежністю (якісні дані) на осі x, а також відсотки населення досліджуваного Advanced Placement на осі y.

\ (\ Індекс сторінки {10}\) «>

Раса/етнічна приналежність	Обстежуване населення AP	Загальне студентське населення
1 = Азіатський, азіатсько-американський або тихоокеанський остров'янин	10,3%	5,7%
2 = Чорний або афроамериканець	9.0%	14,7%
3 = латиноамериканський або латиноамериканський	17.0%	17,6%
4 = Американський індійський або Аляска корінних	0,6%	1,1%
5 = Білий	57,1%	59,2%
6 = Не повідомляється/інше	6.0%	1,7%

Таблиця 2.2.10

Відповідь

Рішення 2.6

$\PageIndex{2}$Малюнок 4.

Вправа$\PageIndex{2}$.6

Додайте сюди текст вправ.

Відповідь

Паркове місто розбито на шість виборчих округів. У таблиці наведено відсоток від загальної кількості зареєстрованих виборців, що проживає в кожному окрузі, а також відсоток загальної кількості всього населення, що проживає в кожному окрузі. Побудувати гістограму, яка показує зареєстроване населення виборців за районами.

\ (\ Індекс сторінки {11}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 1.1

Район	Зареєстроване населення виборців	Загальна чисельність населення міста
1	15,5%	19,4%
2	12,2%	15,6%
3	9,8%	9.0%
4	17,4%	18,5%
5	22,8%	20,7%
6	22,3%	16,8%

Приклад$\PageIndex{2}$.7

Нижче наведена двостороння таблиця із зазначенням типів домашніх тварин, якими володіють чоловіки та жінки:

\ (\ Індекс сторінки {12}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 1.2

	Собаки	Кішки	Риба	Всього
Чоловіки	4	2	2	8
Жінкам	4	6	2	12
Всього	8	8	4	20

З огляду на ці дані, обчислити умовні розподіли для субпопуляції чоловіків, які володіють кожним типом вихованця.

Відповідь

• Чоловіки, які володіють собаками = 4/8 = 0,5
• Чоловіки, які володіють кішками = 2/8 = 0,25
• Чоловіки, які володіють рибою = 2/8 = 0,25

Примітка: Сума всіх умовних розподілів повинна дорівнювати одиниці. У цьому випадку 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1; отже, рішення «перевіряє».

Гістограми, частотні багатокутники та графіки часових рядів

Для більшої частини роботи, яку ви виконуєте в цій книзі, ви будете використовувати гістограму для відображення даних. Однією з переваг гістограми є те, що вона може легко відображати великі набори даних. Емпіричне правило полягає у використанні гістограми, коли набір даних складається з 100 значень або більше.

Гістограма складається з суміжних (прилеглих) коробок. Він має як горизонтальну вісь, так і вертикальну вісь. Горизонтальна вісь позначається тим, що представляють дані (наприклад, відстань від вашого будинку до школи). Вертикальна вісь позначається або частотою, або відносною частотою (або відсотковою частотою або ймовірністю). Графік матиме однакову форму з будь-якою міткою. Гістограма (наприклад, стовбур) може дати вам форму даних, центр та розкид даних.

Відносна частота дорівнює частоті для спостережуваного значення даних, поділеного на загальну кількість значень даних у вибірці. (Пам'ятайте, частота визначається як кількість разів, коли виникає відповідь.) Якщо:

• $f$= частота
• $n$= загальна кількість значень даних (або сума окремих частот), і
• $RF$= відносна частота,

потім:

\ [\ RF=\ frac {f} {n}\ nonnumber]

Наприклад, якщо троє учнів у класі англійської мови пана Ахаба з 40 студентів отримали від 90% до 100%, то$f = 3$,$n = 40$,, і$RF = \frac{f}{n} = \frac{3}{40} = 0.075$. 7,5% учнів отримали 90— 100%. 90— 100% - кількісні показники.

Щоб побудувати гістограму, спочатку визначте, скільки барів або інтервалів, які також називаються класами, представляють дані. Багато гістограми складаються з п'яти-15 барів або класів для наочності. Кількість брусків потрібно вибирати. Виберіть початкову точку, щоб перший інтервал був менше найменшого значення даних. Зручна відправна точка - це менша величина, винесена на один десятковий розряд більше, ніж значення з найбільшою кількістю десяткових знаків. Наприклад, якщо значення з найбільшою кількістю десяткових знаків дорівнює 6,1 і це найменша величина, зручною відправною точкою буде 6,05 (6,1 — 0,05 = 6,05). Ми говоримо, що 6.05 має більшу точність. Якщо значення з найбільшою кількістю десяткових знаків дорівнює 2,23, а найменше - 1,5, зручною відправною точкою буде 1,495 (1,5 — 0,005 = 1,495). Якщо значення з найбільшою кількістю десяткових розрядів дорівнює 3,234, а найменше - 1,0, зручною відправною точкою буде 0,9995 (1,0 — 0,0005 = 0,9995). Якщо всі дані виявляються цілими числами, а найменше значення - два, то зручною відправною точкою буде 1,5 (2 — 0,5 = 1,5). Крім того, коли початкова точка та інші межі переносяться до одного додаткового знака після коми, жодне значення даних не потраплятиме на межу. Наступні два приклади докладно розповідають про те, як побудувати гістограму з використанням безперервних даних і як створити гістограму за допомогою дискретних даних.

Приклад$\PageIndex{2}$.8

Наступні дані - це висоти (в дюймах до найближчої половини дюйма) 100 чоловіків-напівпрофесійних футболістів. Висоти є безперервними даними, так як висота вимірюється.

60; 60.5; 61; 61; 61.5 63.5;
63.5 64; 64; 64; 64;
64; 64; 64; 64; 64.5; 64.5; 64.5; 64.5; 64.5; 64.5 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66;
66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66.5; 66,5; 66,5; 66,5; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67.5; 67.5; 67.5; 67.5; 67.5; 67.5
68; 68; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69.5; 69.5; 69.5; 69.5
; 69.5 70; 70; 70; 70; 70; 70; 70; 70; 70.5; 70.5; 71
; 71; 72; 72.5; 2.5; 73; 73,5
74

Найменше значення даних - 60. Оскільки дані з найбільшою кількістю десяткових знаків мають одну десяткову кому (наприклад, 61,5), ми хочемо, щоб наша початкова точка мала два знака після коми. Так як числа 0,5, 0,05, 0,005 і т.д. є зручними числами, використовуйте 0,05 і відніміть його з 60, найменшого значення, для зручної відправної точки.

60 - 0,05 = 59,95, що є більш точним, ніж, скажімо, 61,5 на один десятковий знак. Тоді відправною точкою є 59,95.

Найбільше значення - 74, тому 74 + 0,05 = 74,05 - кінцеве значення.

Далі обчислюємо ширину кожного бару або інтервал класу. Щоб розрахувати цю ширину, відніміть початкову точку від кінцевого значення і розділіть на кількість брусків (необхідно вибрати потрібну кількість брусків). Припустимо, ви вибрали вісім барів.

$$\frac{74.05−59.95}{8}=1.76\non\nonumber$$

ПРИМІТКА

Ми округляємо до двох і зробимо кожен бар або інтервал класу двома одиницями шириною. Округлення до двох - це один із способів запобігти падінню значення на межі. Округлення до наступного числа часто необхідно, навіть якщо воно йде врозріз зі стандартними правилами округлення. Для цього прикладу також працюватиме використання 1.76 як ширини. Орієнтир, за яким слідують деякі для ширини бару або інтервалу класу, полягає в тому, щоб взяти квадратний корінь кількості значень даних, а потім округлити до найближчого цілого числа, якщо це необхідно. Наприклад, якщо є 150 значень даних, візьміть квадратний корінь 150 і округляйте до 12 стовпчиків або інтервалів.

Межею є:

• 59,95
• 59,95 + 2 = 61,95
• 61,95 + 2 = 63,95
• 63,95 + 2 = 65,95
• 65,95 + 2 = 67,95
• 67,95 + 2 = 69,95
• 69,95 + 2 = 71,95
• 71,95 + 2 = 73,95
• 73,95 + 2 = 75,95

Висоти від 60 до 61,5 дюймів знаходяться в інтервалі 59,95—61,95. Висоти, які становлять 63,5, знаходяться в інтервалі 61,95—63,95. Висоти, які від 64 до 64,5 знаходяться в інтервалі 63,95—65,95. Висоти від 66 до 67,5 знаходяться в інтервалі 65,95—67,95. Висоти з 68 по 69,5 знаходяться в інтервалі 67,95—69,95. Висоти від 70 до 71 знаходяться в інтервалі 69,95—71,95. Висоти від 72 до 73,5 знаходяться в інтервалі 71,95—73,95. Висота 74 знаходиться в інтервалі 73,95—75,95.

Наступна гістограма відображає висоту на осі x та відносну частоту на осі y.

$\PageIndex{2}$Малюнок 5.

Вправа$\PageIndex{2}$.8

Наступні дані - розміри взуття 50 студентів-чоловіків. Розміри є безперервними даними, оскільки вимірюється розмір взуття. Побудувати гістограму і обчислити ширину кожного бару або інтервалу класу. Припустимо, ви вибрали шість брусків.

9; 9; 9,5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11;
11; 11; 11; 11; 11; 11; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5; 11.5;
11.5; 11.5; 11.5; 11.5;; 12; 12; 12; 12; 12,5; 12.5; 12.5; 12.5; 14

Приклад$\PageIndex{2}$.9

Створіть гістограму для наступних даних: кількість книг, придбаних 50 студентами заочного коледжу ABC College. Кількість книг - це дискретні дані, так як книги підраховуються.

1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1;
2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3;
3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3;
4; 4; 4; 4; 4; 4; 4;
5; 5; 5; 5;
6;

Одинадцять студентів купують одну книгу. Десять студентів купують дві книги. Шістнадцять учнів купують три книжки. Шість учнів купують чотири книжки. П'ятеро студентів купують п'ять книг. Двоє студентів купують шість книг.

Оскільки дані є цілими числами, відніміть 0.5 з 1, найменше значення даних і додайте 0.5 до 6, найбільше значення даних. Тоді початкова точка дорівнює 0,5, а кінцеве значення - 6,5.

Далі обчислюємо ширину кожного бару або інтервал класу. Якщо дані дискретні і різних значень не дуже багато, то ширина, яка розміщує значення даних посередині бару або інтервалу класів, є найбільш зручною. Так як дані складаються з чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, а початкова точка дорівнює 0,5, ширина одного ставить 1 в середині інтервалу від 0,5 до 1,5, 2 в середині інтервалу від 1,5 до 2,5, 3 в середині інтервалу від 2,5 до 3,5, 4 в середині інтервалу від _____ __ до _______, 5 в середині інтервалу від _______ до _______, і _______ в середині інтервалу від _______ до _______.

Рішення

Розраховують кількість брусків наступним чином:

$$\frac{6.5−0.5}{\text{number of bars}}=1\nonumber$$

де 1 - ширина бруса. Тому брусків = 6.

Наступна гістограма відображає кількість книг на осі x та частоту на осі y.

$\PageIndex{2}$Малюнок 6.

Приклад$\PageIndex{2}$.10

Використовуючи цей набір даних, побудувати гістограму.

\ (\ Індекс сторінки {13}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 1.3

Кількість годин, які мої однокласники проводили за відеоіграми у вихідні дні
9,95	10	2.25	16.75	0
19.5	22.5	7.5	15	12.75
5.5	11	10	20.75	17.5
23	21.9	24	23.75	18
20	15	22,9	18.8	20.5

Відповідь

Рішення 2.10

$\PageIndex{2}$Малюнок 7.

Деякі значення в цьому наборі даних потрапляють на межі інтервалів класів. Значення підраховується в класовому інтервалі, якщо воно потрапляє на ліву межу, але не якщо воно потрапляє на праву межу. Різні дослідники можуть встановлювати гістограми для одних і тих же даних по-різному. Існує більш ніж один правильний спосіб налаштувати гістограму.

Багатокутники частоти

Частотні полігони аналогічні лінійним графікам, і так само, як лінійні графіки роблять безперервні дані візуально легко інтерпретувати, так само як і частотні полігони.

Щоб побудувати частотний багатокутник, спочатку вивчіть дані та визначте кількість інтервалів, або інтервалів класу, які слід використовувати на осі x та осі y. Після вибору відповідних діапазонів приступайте до побудови точок даних. Після того як всі точки нанесені, проведіть відрізки лінії, щоб з'єднати їх.

Приклад$\PageIndex{2}$.11

Багатокутник частоти був побудований з таблиці частот нижче.

\ (\ Індекс сторінки {14}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ .14: Розподіл частот для остаточних тестових балів обчислення

Нижня межа	Верхня межа	Частота	Накопичувальна частота
49.5	59,5	5	5
59,5	69.5	10	15
69.5	79.5	30	45
79.5	89.5	40	85
89.5	99.5	15	100

$\PageIndex{2}$Малюнок 8.

Перша мітка на осі x - 44.5. Це являє собою інтервал, що простягається від 39,5 до 49,5. Оскільки найнижчий показник тесту дорівнює 54,5, цей інтервал використовується лише для того, щоб графік стосувався осі x. Точка з позначкою 54,5 представляє наступний інтервал, або перший «реальний» інтервал з таблиці, і містить п'ять балів. Це міркування дотримується для кожного з інших інтервалів з точкою 104,5, що представляє інтервал від 99,5 до 109,5. Знову ж таки, цей інтервал не містить даних і використовується лише для того, щоб графік стосувався осі x. Дивлячись на графік, ми говоримо, що цей розподіл перекошений, оскільки одна сторона графіка не відображає іншу сторону.

Вправа$\PageIndex{2}$.11

Побудувати частотний багатокутник віку президентів США на інавгурації показано в табл$\PageIndex{15}$.

\ (\ Індекс сторінки {15}\) «>

Вік на інавгурації	Частота
41.5—46.5	4
46.5—51.5	11
51.5—56.5	14
56.5—61.5	9
61,5—66,5	4
66,5—71,5	2

Таблиця 2.2.15

Частотні полігони корисні для порівняння розподілів. Це досягається шляхом накладання частотних полігонів, намальованих для різних наборів даних.

Приклад$\PageIndex{2}$.12

Ми побудуємо багатокутник частоти накладення, порівнюючи бали з Прикладу$\PageIndex{11}$ з підсумковим числовим оцінкою учнів.

\ (\ Індекс сторінки {16}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ .16: Розподіл частот для остаточних тестових балів обчислення

Нижня межа	Верхня межа	Частота	Накопичувальна частота
49.5	59,5	5	5
59,5	69.5	10	15
69.5	79.5	30	45
79.5	89.5	40	85
89.5	99.5	15	100

\ (\ Індекс сторінки {17}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ .17: Розподіл частот для підсумкових класів обчислення

Нижня межа	Верхня межа	Частота	Накопичувальна частота
49.5	59,5	10	10
59,5	69.5	10	20
69.5	79.5	30	50
79.5	89.5	45	95
89.5	99.5	5	100

$\PageIndex{2}$Малюнок 9.

Побудова графіка часових рядів

Припустимо, що ми хочемо вивчити температурний діапазон того чи іншого регіону протягом цілого місяця. Кожен день опівдні відзначаємо температуру і записуємо це в журнал. З цими даними можна було б провести різноманітні статистичні дослідження. Ми могли знайти середню або середню температуру за місяць. Ми могли б побудувати гістограму, яка відображає кількість днів, коли температури досягають певного діапазону значень. Однак усі ці методи ігнорують частину даних, які ми зібрали.

Однією з особливостей даних, які ми можемо захотіти розглянути, є час. Оскільки кожна дата поєднується з показаннями температури за день, нам не потрібно думати про дані як про випадкові. Натомість ми можемо використовувати дані часи, щоб накласти хронологічний порядок даних. Графік, який розпізнає цей порядок і відображає зміну температури в міру прогресування місяця, називається графіком часових рядів.

Щоб побудувати графік часових рядів, ми повинні розглянути обидві частини нашого парного набору даних. Почнемо зі стандартної декартової системи координат. Горизонтальна вісь використовується для побудови приросту дати або часу, а вертикальна вісь використовується для побудови значень змінної, яку ми вимірюємо. Роблячи це, ми робимо кожну точку на графіку відповідною датою і виміряної величиною. Точки на графіку зазвичай з'єднуються прямими лініями в тому порядку, в якому вони відбуваються.

Приклад$\PageIndex{2}$.13

Наступні дані показують щорічний індекс споживчих цін щомісяця протягом десяти років. Побудуйте графік часових рядів лише для даних річного індексу споживчих цін.

\ (\ Індекс сторінки {18}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 1.8

Рік	Січ	лют.	бер.	Квітень	Травень	черв.	Лип
2003	181.7	183.1	184.2	183.8	183.5	183.7	183.9
2004	185.2	186.2	187.4	188.0	189.1	189,7	189.4
2005	190.7	191.8	193.3	194.6	194.4	194.5	195.4
2006	198.3	198,7	199.8	201.5	202.5	202.9	203.5
2007	202.416	203.499	205.352	206.686	207.949	208.352	208.299
2008	211.080	211.693	213.528	214.823	216.632	218.815	219.964
2009	211.143	212.193	212.709	213.240	213 856	215.693	215.351
2010	216.687	216.741	217.631	218.009	218.178	217.965	218.011
2011	220.223	221.309	223.467	224,906	225.964	225.722	225.922
2012	226,665	227.663	229.392	230.085	229.815	229.478	229.104

\ (\ Індекс сторінки {19}\) «>

Таблиця$\PageIndex{2}$ 1.9

Рік	серп.	вер.	Жовт	Лис	Груд	Щорічний
2003	184.6	185.2	185.0	184.5	184.3	184.0
2004	189.5	189,9	190.9	191.0	190.3	188.9
2005	196.4	198.8	199.2	197.6	196.8	195.3
2006	203.9	202.9	201.8	201.5	201.8	201.6
2007	207.917	208.490	208.936	210.177	210.036	207.342
2008	219.086	218.783	216.573	212.425	210.228	215.303
2009	215.834	215.969	216.177	216.330	215.949	214.537
2010	218.312	218.439	218.711	218.803	219.179	218.056
2011	226.545	226.889	226.421	226.230	225.672	224,939
2012	230.379	231.407	231.317	230.221	229.601	229.594

Відповідь

Рішення 2.13

Малюнок$\PageIndex{2}$ 1.0

Вправа$\PageIndex{2}$.13

Наступна таблиця є частиною набору даних з www.worldbank.org. Використовуйте таблицю для побудови графіка часових рядів для викидів CO ₂ для США.

\ (\ Індекс сторінки {20}\) «>

Таблиця$\PageIndex{20}$: викиди CO ₂

Рік	Україна	Сполучене Королівство	Сполучені Штати
2003	352 259	540 640	5 681 664
2004	343 121	540 409	5 790 761
2005	339 029	541 990	5 826 394
2006	327 797	542 045	5 737 615
2007	328 357	528 631	5 828 697
2008	323 657	522 247	5 656 839
2009	272 176	474 579	5 299 563

Використання графіка часових рядів

Графіки часових рядів є важливими інструментами в різних додатках статистики. При запису значень однієї і тієї ж змінної протягом тривалого періоду часу іноді важко розрізнити будь-яку тенденцію або закономірність. Однак, як тільки ті ж точки даних відображаються графічно, деякі функції вискакують. Графіки часових рядів дозволяють легко помітити тенденції.

Як не брехати зі статистикою

Важливо пам'ятати, що сама причина, по якій ми розробляємо різноманітні методи представлення даних, полягає в тому, щоб розробити уявлення про предмет того, що представляють спостереження. Ми хочемо отримати «відчуття» даних. Чи всі спостереження дуже схожі, або вони поширюються по широкому діапазону значень, вони згруповані на одному кінці спектра або вони розподілені рівномірно і так далі. Ми намагаємося отримати наочну картину числових даних. Незабаром ми розробимо формальні математичні заходи даних, але наше візуальне графічне уявлення може сказати багато про що. Це, на жаль, також може сказати багато, що відволікає, заплутано і просто неправильно з точки зору враження, яке залишає візуальний. Багато років тому Даррелл Хафф написав книгу «Як брехати зі статистикою». Він пройшов 25 плюс друків і продано понад півтора мільйона примірників. Його перспектива була суворою і використовувала багато реальних прикладів, які були покликані ввести в оману. Він хотів, щоб люди знали про такий обман, але, можливо, важливіше виховувати, щоб інші ненароком не допускали однакових помилок.

Знову ж таки, мета полягає в тому, щоб просвітити візуальні ефекти, які розповідають історію даних. Кругові діаграми мають ряд загальних проблем, коли використовуються для передачі повідомлення даних. Занадто багато шматочків пирога переповнюють читача. Більше, ніж, можливо, п'ять-шість категорій повинні дати уявлення про відносну важливість кожного твору. Це врешті-решт мета кругової діаграми, яка підмножина має найбільше значення щодо інших. Якщо є більше компонентів, ніж це, то, можливо, альтернативний підхід був би кращим або, можливо, деякі можуть бути об'єднані в категорію «інша». Кругові діаграми не можуть відображати зміни з часом, хоча ми бачимо цю спробу занадто часто. У федеральних, державних та міських фінансових документах часто представлені кругові діаграми, щоб показати компоненти доходів, доступних керівному органу для присвоєння: податок на прибуток, податок з продажів, податки на транспортні засоби тощо. Сама по собі це цікава інформація і може бути красиво зроблено за допомогою кругової діаграми. Помилка виникає, коли два роки встановлені пліч-о-пліч. Оскільки загальні доходи змінюються з року в рік, але розмір пирога фіксований, реальної інформації не надається і відносний розмір кожного шматка пирога не може бути осмислено порівнювати.

Гістограми можуть бути дуже корисними для розуміння даних. Правильно представлені, вони можуть бути швидким візуальним способом представити ймовірності різних категорій простим візуальним порівнянням відносних областей у кожній категорії. Тут помилка, цілеспрямована чи ні, полягає в варіюванні ширини категорій. Це, звичайно, робить порівняння з іншими категоріями неможливим. Це прикрашає важливість категорії з розширеною шириною, оскільки вона має більшу площу, недоречно, і, таким чином, візуально «говорить», що ця категорія має більшу ймовірність виникнення.

Графіки часових рядів, мабуть, є найбільш зловживаними. Графік деякої змінної протягом часу ніколи не повинен бути представлений на осях, які змінюють шлях частини сторінки або у вертикальному або горизонтальному вимірі. Можливо, часові рамки змінюються від років до місяців. Можливо, це для економії місця або тому, що щомісячні дані були недоступні протягом перших років. У будь-якому випадку це ставить в тупик уявлення і знищує будь-яке значення графіка. Якщо це зробити не для того, щоб цілеспрямовано заплутати читача, то це, безумовно, або лінива, або неакуратна робота.

Зміна одиниць виміру осі може згладити падіння або акцентувати одну. Якщо ви хочете показати великі зміни, то вимірюйте змінну в невеликих одиницях, копійки, а не в тисячах доларів. І звичайно, щоб продовжити шахрайство, будьте впевнені, що вісь починається не з нуля, нуля. Якщо вона починається з нуля, нуля, то стає очевидним, що віссю маніпулювали.

Можливо, у вас є клієнт, який стурбований волатильністю портфеля, яким ви керуєте. Простий спосіб представити дані полягає у використанні тривалих періодів часу на графіку часових рядів. Використовуйте місяці або краще, квартали, а не щоденні або щотижневі дані. Якщо це не знижує волатильність, то розподіліть вісь часу відносно швидкості прибутковості або осі оцінки портфеля. Якщо ви хочете показати «швидке» різке зростання, то зменшіть часову вісь. Будь-яке позитивне зростання покаже візуально «високі» темпи зростання. Зверніть увагу, що якщо зростання буде негативним, то цей трюк покаже, що портфель руйнується з різкою швидкістю.

Знову ж таки, мета описової статистики полягає в тому, щоб передати змістовні візуальні ефекти, які розповідають історію даних. Цілеспрямована маніпуляція - це шахрайство і неетично в гіршому випадку, але навіть в кращому випадку внесення такого роду помилок призведе до плутанини з боку аналізу.