3.5: Таблиці надзвичайних ситуацій

Таблиця надзвичайних ситуацій надає спосіб зображення даних, які можуть полегшити обчислення ймовірностей. Таблиця допомагає у визначенні умовних ймовірностей досить легко. Таблиця відображає вибіркові значення по відношенню до двох різних змінних, які можуть залежати або залежати одна від одної. Пізніше ми знову будемо використовувати таблиці на випадок непередбачених ситуацій, але по-іншому.

Приклад$\PageIndex{1}$

Припустимо, дослідження порушень швидкості і водіїв, які користуються стільниковими телефонами, видали такі вигадані дані:

	Порушення швидкості за останній рік	Відсутність порушення швидкості за останній рік	Всього
Користувач стільникового телефону	25	280	305
Чи не користувач стільникового телефону	45	405	450
Всього	70	685	755

Загальна кількість осіб у вибірці становить 755. Сумарні рядки - 305 і 450. Підсумки стовпців 70 і 685. Зверніть увагу, що 305 + 450 = 755 і 70 + 685 = 755.

Обчисліть наступні ймовірності за допомогою таблиці.

1. Знайти$P(\text{Person is a cell phone user})$.
2. Знайти$P(\text{person had no violation in the last year})$.
3. Знайти$P(\text{Person had no violation in the last year AND was a cell phone user})$.
4. Знайти$P(\text{Person is a cell phone user OR person had no violation in the last year})$.
5. Знайти$P(\text{Person is a cell phone user GIVEN person had a violation in the last year})$.
6. Знайти$P(\text{Person had no violation last year GIVEN person was not a cell phone user})$

Відповідь

1. $\dfrac{\text{number of cell phone users}}{\text{total number in study}}$=$\dfrac{305}{755}$
2. $\dfrac{\text{number that had no violation}}{\text{total number in study}} = \dfrac{685}{755}$
3. $\dfrac{280}{755}$
4. $\left(\dfrac{305}{755} + \dfrac{685}{755}\right) - \dfrac{280}{755} = \dfrac{710}{755}$
5. $\dfrac{25}{70}$(Простір вибірки скорочується до кількості осіб, які мали порушення.)
6. $\dfrac{405}{450}$(Вибірковий простір зменшується до кількості осіб, які не були користувачами стільникових телефонів.)

Вправа$\PageIndex{1}$

Таблиця показує кількість спортсменів, які розтягуються перед фізичними вправами і скільки отримали травми протягом минулого року.

	Травма в минулому році	Ніяких травм за минулий рік	Всього
тягнеться	55	295	350
Чи не розтягується	231	219	450
Всього	286	514	800

1. Що таке$P(\text{athlete stretches before exercising})$?
2. Що таке$P(\text{athlete stretches before exercising|no injury in the last year})$?

Відповідь

1. $P(\text{athlete stretches before exercising}) = \dfrac{350}{800} = 0.4375$
2. $P(\text{athlete stretches before exercising|no injury in the last year}) = \dfrac{295}{514} = 0.5739$

Приклад$\PageIndex{2}$

У таблиці наведено випадкову вибірку з 100 туристів та районів походів, які вони віддають перевагу.

Піші прогулянки Перевага

Секс	Берегова лінія	Біля озер і струмків	На гірських вершиках	Всього
Жіноча	18	16	___	45
Чоловічий	___	___	14	55
Всього	___	41	___	___

1. Доповніть таблицю.
2. Чи є події «бути жіночим» і «віддати перевагу береговій лінії» самостійними подіями? Нехай F = бути жіночим і нехай C = віддаючи перевагу береговій лінії.
   1. Знайти P (F І C).
   2. Знайти P (F) P (C)
   3. Ці два числа однакові? Якщо вони є, то F і C незалежні. Якщо їх немає, то F і C не є незалежними.
3. Знайти ймовірність того, що людина є чоловіком з огляду на те, що людина вважає за краще походи біля озер і струмків. Нехай$\text{M} =$ бути самцем, а нехай$\text{L} =$ воліє походи біля озер і струмків.
   1. Яке слово говорить вам, що це умовне?
   2. Заповніть пробіли і обчислите ймовірність:$P$ (___|___) = ___.
   3. Чи є вибірковим простором для цієї проблеми всі 100 туристів? Якщо ні, то що це таке?
4. Знайдіть ймовірність того, що людина жіноча або вважає за краще походи по гірських вершинам. Нехай$\text{F} =$ бути жіночим, і нехай$\text{P} =$ віддає перевагу гірські вершини.
   1. Знайти$P(\text{F})$.
   2. Знайти$P(\text{P})$.
   3. Знайти$P(\text{F AND P})$.
   4. Знайти$P(\text{F OR P})$.

Відповідь s

а.

Піші прогулянки Перевага

Секс	Берегова лінія	Біля озер і струмків	На гірських вершин	Всього
Жіночі	18	16	11	45
Чоловічий	16	25	14	55
Всього	34	41	25	100

б.

$P(\text{F AND C}) = \dfrac{18}{100} = 0.18$

$P(\text{F})P(\text{C}) = \left(\dfrac{45}{100}\right) \left(\dfrac{34}{100}\right) = (0.45)(0.34) = 0.153$

$P(\text{F AND C}) \neq P(\text{F})P(\text{C})$, Тому події$\text{F}$ і не$\text{C}$ є самостійними.

c.

1. Слово «дано» говорить вам, що це умовне.
2. $P(\text{M|L}) = \dfrac{25}{41}$
3. Ні, вибірковим простором для цієї проблеми є 41 туристи, які віддають перевагу озерам і струмкам.

д.

1. Знайти$P(\text{F})$.
2. Знайти$P(\text{P})$.
3. Знайти$P(\text{F AND P})$.
4. Знайти$P(\text{F OR P})$.

д.

1. $P(\text{F}) = \dfrac{45}{100}$
2. $P(\text{P}) = \dfrac{25}{100}$
3. $P(\text{F AND P}) = \dfrac{11}{100}$
4. $P(\text{F OR P}) = \dfrac{45}{100} + \dfrac{25}{100} - \dfrac{11}{100} = \dfrac{59}{100}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Таблиця показує випадкову вибірку з 200 велосипедистів і маршрути, які вони віддають перевагу. Нехай$\text{M} =$ самці і$\text{H} =$ горбиста стежка.

Стать	Озеро Стежка	Горбиста стежка	Лісиста стежка	Всього
Жіночі	45	38	27	110
Чоловічий	26	52	12	90
Всього	71	90	39	200

1. З самців, яка ймовірність того, що велосипедист вважає за краще горбисту стежку?
2. Чи є події «бути чоловічим» і «віддати перевагу горбистій стежці» самостійними подіями?

Відповідь

1. Р (Н | М)$\dfrac{52}{90}$ = 0,5778
2. Щоб М і Н були незалежними, покажіть Р (Н | М) = Р (Н)
   Р (Н | М) = 0,5778, Р (Н)$\dfrac{90}{200}$ = 0,45
   P (H | M) не дорівнює P (H), тому M і H НЕ є незалежними.

Приклад$\PageIndex{3}$

Каламутна миша живе в клітці з трьома дверима. Якщо Мудді виходить з перших дверей, ймовірність того, що його спіймає кішка Аліса, є$\dfrac{1}{5}$ і ймовірність, що його не спіймають, є$\dfrac{4}{5}$. Якщо він виходить за другі двері, ймовірність того, що його спіймає Аліса, є$\dfrac{1}{4}$ і ймовірність, що його не спіймають, є$\dfrac{3}{4}$. Імовірність того, що Алісса ловить Мудді, що виходить з третіх дверей, є$\dfrac{1}{2}$ і ймовірність, що вона не зловить Мудді, є$\dfrac{1}{2}$. Не менш ймовірно, що Muddy вибере будь-яку з трьох дверей, тому ймовірність вибору кожної двері є$\dfrac{1}{3}$.

Вибір дверей

Спійманий чи ні	Двері одна	Двері дві	Двері три	Всього
Спійманий	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{6}$	____
Чи не спійманий	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{3}{12}$	$\dfrac{1}{6}$	____
Всього	____	____	____	1

• Перший$\dfrac{1}{15} = \left(\dfrac{1}{5}\right) \left(\dfrac{1}{3}\right)$ запис$P(\text{Door One AND Caught})$
• Запис$\dfrac{4}{15} = \left(\dfrac{4}{5}\right) \left(\dfrac{1}{3}\right)$ є$P(\text{Door One AND Not Caught})$

Перевірте інші записи.

1. Заповніть таблицю ймовірності непередбачених ситуацій. Обчисліть записи для підсумкових підсумків. Переконайтеся, що запис у правому нижньому куті дорівнює 1.
2. Яка ймовірність того, що Алісса не ловить Каламутного?
3. Яка ймовірність того, що Мудді вибирає двері одну АБО двері дві, враховуючи, що Мудді спіймає Алісса?

Рішення

Вибір дверей

Спійманий чи ні	Двері одна	Двері дві	Двері три	Всього
Спійманий	$\dfrac{1}{15}$	$\dfrac{1}{12}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{19}{60}$
Чи не спійманий	$\dfrac{4}{15}$	$\dfrac{3}{12}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{41}{60}$
Всього	$\dfrac{5}{15}$	$\dfrac{4}{12}$	$\dfrac{2}{6}$	1

б.$\dfrac{41}{60}$

c.$\dfrac{9}{19}$

Приклад$\PageIndex{4}$

Таблиця містить кількість злочинів на 100 000 жителів з 2008 по 2011 рік в США.

Показники індексу злочинності в США на 100 000 жителів 2008—2011

Рік	Пограбування	Крадіжка зі зломом	Ріпак	Транспортний засіб	Всього
2008	145.7	732.1	29.7	314,7
2009	133.1	717.7	29.1	259.2
2010	119,3	701	27.7	239.1
2011	113,7	702.2	26.8	229.6
Всього

ВСЬОГО кожен стовпець і кожен рядок. Всього даних = 4,520,7

1. Знайти$P(\text{2009 AND Robbery})$.
2. Знайти$P(\text{2010 AND Burglary})$.
3. Знайти$P(\text{2010 OR Burglary})$.
4. Знайти$P(\text{2011|Rape})$.
5. Знайти$P(\text{Vehicle|2008})$.

Відповідь

а. 0,0294, б. 0,1551, с. 0,7165, д. 0,2365, е. 0,2575

Вправа$\PageIndex{3}$

Таблиця пов'язує ваги і висоти групи осіб, які беруть участь в спостережному дослідженні.

Вага/Висота	Високий	Середній	Короткий	Підсумки
ожиріння	18	28	14
Нормальний	20	51	28
Недолік ваги	12	25	9
Підсумки

1. Знайдіть підсумок для кожного рядка та стовпця
2. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана особина з цієї групи є Tall.
3. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана особина з цієї групи є ожирінням і високим.
4. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана особа з цієї групи є високим, враховуючи, що людина страждає ожирінням.
5. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана особа з цієї групи є ожирінням, враховуючи, що індивід високий.
6. Знайти ймовірність випадково обраної особи з цієї групи є високий і недостатній вага.
7. Чи є події Ожиріння і високий незалежні?

Відповідь

Вага/Висота	Високий	Середній	Короткий	Підсумки
ожиріння	18	28	14	60
Нормальний	20	51	28	99
Недолік ваги	12	25	9	46
Підсумки	50	104	51	205

1. Кількість рядків: 60, 99, 46. Загальна кількість стовпців: 50, 104, 51.
2. $P(\text{Tall}) = \dfrac{50}{205} = 0.244$
3. $P(\text{Obese AND Tall}) = \dfrac{18}{205} = 0.088$
4. $P(\text{Tall|Obese}) = \dfrac{18}{60} = 0.3$
5. $P(\text{Obese|Tall}) = \dfrac{18}{50} = 0.36$
6. $P(\text{Tall AND Underweight}) = \dfrac{12}{205} = 0.0585$
7. Ні. $P(\text{Tall})$не дорівнює$P(\text{Tall|Obese})$.

Посилання

1. «Типи крові». Американський Червоний Хрест, 2013. Доступний в Інтернеті за адресою www.redcrossblood.org/learn-a... od/крові типів (доступ до 3 травня 2013).
2. Дані Національного центру статистики охорони здоров'я, що входить до складу Міністерства охорони здоров'я та соціальних служб США.
3. Дані сенату Сполучених Штатів Америки. Доступний в Інтернеті за адресою www.senate.gov (доступ 2 травня 2013).
4. Хайман, Крістофер А., Даніель О. Страм, Лінн Р. Вілкенс, Малком Пайк, Лоуренс Колонель, Брайен Хендерсон та Лоїк Ле Маршан. «Етнічні та расові відмінності в ризику раку легенів, пов'язаних з курінням». Медичний журнал Нової Англії, 2013. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa033250 (доступний 2 травня 2013 р.).
5. «Групи крові людини». Об'єднайте служби крові, 2011. Доступний в Інтернеті за адресою www.UnitedBloodservices.org/Learnmore.aspx (доступ до 2 травня 2013 р.).
6. Семюель, Т.М. «Дивні факти про резус-негативну кров». eHow Health, 2013. Доступний в Інтернеті за адресою www.ehow.com/facts_5552003_st... ive-blood.html (доступ до 2 травня 2013).
7. «Сполучені Штати: Єдиний звіт про злочинність - Державна статистика за 1960—2011 рр.» Центр катастроф. Доступно в Інтернеті за адресою http://www.disastercenter.com/crime/ (доступ до 2 травня 2013 р.).

Рецензія

Існує кілька інструментів, які ви можете використовувати, щоб допомогти організувати та сортувати дані при обчисленні ймовірностей. Таблиці надзвичайних ситуацій допомагають відображати дані і особливо корисні при обчисленні ймовірностей, які мають кілька залежних змінних.

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні чотири вправи. Таблиця показує випадкову вибірку музикантів і те, як вони навчилися грати на своїх інструментах.

Стать	Самоучка	Навчався в школі	Приватна інструкція	Всього
Жіночі	12	38	22	72
Чоловічий	19	24	15	58
Всього	31	62	37	130

Вправа 3.5.4

Знайти П (музикант - жінка).

Вправа 3.5.5

Знайти$P(\text{musician is a male AND had private instruction})$.

Відповідь

$P(\text{musician is a male AND had private instruction}) = \dfrac{15}{130} = \dfrac{3}{26} = 0.12$

Вправа 3.5.6

Знайти Р (музикант - жінка АБО самовчиться).

Вправа 3.5.7

Чи є події «бути жінкою-музикантом» і «навчання музиці в школі» взаємовиключними подіями?

Відповідь

Події не є взаємовиключними. Можна бути жінкою-музикантом, яка вчилася музиці в школі.

З'єднавши його разом

Використовуйте наступну інформацію, щоб відповісти на наступні сім вправ. Стаття в New England Journal of Medicine, повідомила про дослідження курців в Каліфорнії і на Гаваях. В одній частині доповіді були надані самозвітні рівні етнічної приналежності та куріння на день. З людей, які палять не більше десяти сигарет на день, було 9,886 афроамериканців, 2745 корінних гаваїв, 12 831 латиноамериканців, 8,378 японських американців та 7650 білих. З людей, які палять від 11 до 20 сигарет на день, було 6,514 афроамериканців, 3062 корінних гавайських жителів, 4932 латиноамериканців, 10,680 японських американців та 9877 білих. З людей, які палять від 21 до 30 сигарет на день, було 1671 афроамериканців, 1419 корінних гаваїв, 1406 латиноамериканців, 4715 японських американців та 6062 білих. З людей, які палять щонайменше 31 сигарету на день, було 759 афроамериканців, 788 корінних гаваїв, 800 латиноамериканців, 2,305 японських американців та 3970 білих.

Вправа 3.5.8

Заповніть таблицю, використовуючи надані дані. Припустимо, що випадковим чином вибирається одна людина з дослідження. Знайдіть ймовірність того, що людина курила від 11 до 20 сигарет в день.

Рівні куріння за етнічною приналежністю

Рівень куріння	Афро-американець	Рідний гавайський	Латиноамериканець	Японські американці	Білий	ПІДСУМКИ
1—10
11—20
21—30
31+
ПІДСУМКІВ

Вправа 3.5.9

Припустимо, що випадковим чином вибирається одна людина з дослідження. Знайдіть ймовірність того, що людина курила від 11 до 20 сигарет в день.

Відповідь

$\dfrac{35,065}{100,450}$

Вправа 3.5.10

Знайдіть ймовірність того, що людина був латиноамериканцем.

Вправа 3.5.11

На словах поясніть, що означає вибрати одну людину з дослідження, хто «японський американець І курить від 21 до 30 сигарет в день». Також знайдіть ймовірність.

Відповідь

Вибрати одну людину з дослідження, яка є японським американцем І викурює від 21 до 30 сигарет на день, означає, що людина повинна відповідати обом критеріям: як японський американець, так і курить від 21 до 30 сигарет. Простір зразка повинен включати всіх, хто бере участь у дослідженні. Імовірність є$\dfrac{4,715}{100,450}$.

Вправа 3.5.12

На словах поясніть, що означає вибрати одну людину з дослідження, яка «японський американець OR курить від 21 до 30 сигарет на день». Також знайдіть ймовірність.

Вправа 3.5.13

На словах поясніть, що означає вибрати одну людину з дослідження, яка є «Японський американець GIVEN, що людина курить від 21 до 30 сигарет на день». Також знайдіть ймовірність.

Відповідь

Вибрати одну людину з дослідження, яка є японським американцем, враховуючи, що людина курить 21-30 сигарет на день, означає, що людина повинна відповідати обом критеріям, і простір вибірки зменшується для тих, хто палить 21-30 сигарет на день. Імовірність є$\dfrac{4,715}{15,273}$.

Вправа 3.5.14

Доведіть, що рівень куріння в день і етнічна приналежність залежні події.

Глосарій

таблиця надзвичайних ситуацій

метод відображення частотного розподілу у вигляді таблиці з рядками і стовпцями, щоб показати, як дві змінні можуть бути залежними (залежними) один від одного; таблиця надає простий спосіб обчислення умовних ймовірностей.