12.7: Корельовані пари

Цілі навчання

• Визначте, чи є у вас корельовані пари або незалежні групи
• Обчислити тест t для корельованих пар

Розглянемо, як проаналізувати дані з тематичного дослідження «Лікування СДУГ». Ці дані складаються з балів$24$ дітей із СДУГ за завданням із затримкою задоволення (DOG). Кожна дитина була протестована під чотирма дозовими рівнями. У цьому розділі ми будемо стосуватися лише тестування різниці між середнім станом плацебо ($D0$) та середнім умовою найвищої дозування ($D60$). Перше питання полягає в тому, чому різницю між засобами не слід перевіряти за допомогою процедури, описаної в розділі Різниця між двома засобами (незалежними групами). Відповідь полягає в тому, що в цьому експерименті у нас немає самостійних груп. Оцінки в$D0$ умові взяті з тих же предметів, що й бали в$D60$ умові. Існує лише одна група суб'єктів, кожен предмет тестується як в умовах, так$D0$ і в$D60$ умовах.

Малюнок$\PageIndex{1}$ показує графік розкиду$60$ -mg балів ($D60$) як функція$0$ -mg балів ($D0$). Зрозуміло, що діти, які стають більш правильними в$D0$ стані, як правило, стають більш правильними в$D60$ стані. Кореляція між двома умовами висока:$r = 0.80$. Очевидно, що ці дві змінні не є незалежними.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Кількість правильних відповідей, зроблених у стані$60$ -mg як функція кількості правильних відповідей у стані$0$ -mg

Обчислення

Ви можете згадати, що метод перевірки різниці між цими засобами був представлений в розділі, присвяченому «Тестуванню єдиного середнього». Обчислювальна процедура полягає в тому, щоб обчислити різницю між$D60$ і$D0$ умовами для кожної дитини і перевірити, чи суттєво відрізняється середня різниця від$0$. Показники різниці наведені в табл$\PageIndex{1}$. Як показано в розділі про тестування єдиного середнього, середня різниця балів,$4.96$ яка значно відрізняється від$0$:$t = 3.22,\; df = 23,\; p = 0.0038$. Цей$t$ тест має різні назви, включаючи "$t$корельований тест" та "$t$тест пов'язаних пар».

Загалом, корельований$t$ тест обчислюється спочатку обчисленням різниці між двома балами для кожного предмета. Потім на середнє значення цих різницевих балів обчислюється тест єдиного середнього.

Таблиця$\PageIndex{1}$: БАЛИ DOG в залежності від дозування

D0	D60	Д60-Д0
57	62	5
27	49	22
32	30	-2
31	34	3
34	38	4
38	36	-2
71	77	6
33	51	18
34	45	11
53	42	-11
36	43	7
42	57	15
26	36	10
52	58	6
36	35	-1
55	60	5
36	33	-3
42	49	7
36	33	-3
54	59	5
34	35	1
29	37	8
33	45	12
33	29	-4

Якби ви помилково використовували метод для$t$ перевірки незалежних груп з цими даними, ви б виявили$t = 1.42$, що$df = 46$, і$p = 0.15$. Тобто різниця між засобами не була б виявлена статистично значущою. Це типовий результат: корельовані$t$ тести майже завжди мають більшу потужність, ніж$t$ тести незалежних груп. Це пояснюється тим, що в корелюваних$t$ тестах кожен бал різниці - це порівняння продуктивності в одному стані з продуктивністю того самого предмета в іншому стані. Це робить кожен суб'єкт «своїм контролем» і утримує відмінності між суб'єктами від вступу в аналіз. Результатом є те, що стандартна похибка різниці між засобами менша в корелюваному$t$ тесті і, оскільки цей термін знаходиться в знаменнику формули для$t$, призводить до більшого$t$.

Детально про стандартну похибку різниці між засобами (необов'язково)

Щоб зрозуміти, чому стандартна похибка різниці між засобами менша в корельованому$t$ тесті, розглянемо дисперсію балів різниці. Як показано в розділі, присвяченому Закону суми дисперсії, дисперсія суми або різниці двох змінних$X$ і$Y$ становить:

$$S_{X\pm Y}^{2} = S_{X}^{2} + S_{Y}^{2} \pm 2rS_XS_Y$$

Отже, дисперсія різницевих балів - це дисперсія в першій умові ($X$) плюс дисперсія у другій умові ($Y$) мінус удвічі добуток

1. кореляція,
2. стандартне відхилення$X$, і
3. стандартне відхилення від$Y$. Для поточного прикладу$r = 0.80$ і відхилення і стандартні відхилення наведені в табл$\PageIndex{2}$.

Таблиця$\PageIndex{2}$: Відхилення та стандартні відхилення

	D0	D60	Д60 - Д0
дисперсія	128.02	151.78	56.82
Sd	11.31	12.32	7.54

Дисперсію різницевих балів$56.82$ можна обчислити як:

$$128.02 + 151.78 - (2)(0.80)(11.31)(12.32)$$

яка дорівнює$56.82$ за винятком похибки округлення. Зверніть увагу, що чим вище кореляція, тим нижче стандартна похибка середнього.