10.6: Вступ до довірчих інтервалів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98034

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Визначити довірчий інтервал
Створіть, чому довірчий інтервал не є ймовірністю, що інтервал містить параметр

Скажімо, вас зацікавила середня вага\(10\) -річних дівчат, які проживають в Сполучених Штатах. Оскільки було б недоцільно зважувати всіх\(10\) -річних дівчат у Сполучених Штатах, ви взяли зразок\(16\) і виявили, що середня вага становить\(90\) фунти. Це вибіркове середнє значення\(90\) є точковою оцінкою середнього чисельності населення. Точкова оцінка сама по собі має обмежену корисність, оскільки вона не виявляє невизначеності, пов'язаної з оцінкою; ви не маєте гарного уявлення про те, наскільки це середнє значення вибірки може бути від середнього рівня популяції. Наприклад, чи можете ви бути впевнені, що середнє населення знаходиться в межах\(5\) фунтів\(90\)? Ви просто не знаєте.

Довірчі інтервали дають більше інформації, ніж точкові оцінки. Довірчі інтервали для засобів - це інтервали, побудовані за допомогою процедури (представленої в наступному розділі), яка буде містити населення означає певну частку часу, як правило,\(95\%\) або\(99\%\) часу. Ці інтервали називаються\(95\%\) і\(99\%\) довірчими інтервалами відповідно. Приклад\(95\%\) довірчого інтервалу наведено нижче:

\[72.85 < \mu < 107.15\]

Є вагомі підстави вважати, що населення означає лежить між цими двома межею\(72.85\) і\(107.15\) оскільки\(95\%\) інтервали довіри часу містять справжнє середнє значення.

Якби повторні зразки були взяті і\(95\%\) довірчий інтервал обчислюється для кожної\(95\%\) вибірки, інтервали б містити середнє значення популяції. Природно, що\(5\%\) з інтервалів не містило б середнє населення.

Природно інтерпретувати\(95\%\) довірчий інтервал як інтервал з\(0.95\) ймовірністю стримування середнього значення популяції. Однак правильне тлумачення не таке вже й просте. Однією з проблем є те, що обчислення довірчого інтервалу не враховує жодної іншої інформації, яку ви можете мати про значення середнього значення популяції. Наприклад, якби численні попередні дослідження мали всі знайдені вибіркові засоби вище\(110\), не було б сенсу робити висновок, що існує\(0.95\) ймовірність того, що середнє значення популяції знаходиться між\(72.85\) і\(107.15\). А як щодо ситуацій, в яких немає попередньої інформації про цінність населення, значить? Навіть тут трактування складне. Проблема полягає в тому, що може бути більше однієї процедури, яка виробляє інтервали, що містять параметр\(95\%\) популяції часу. Яка процедура виробляє «справжній»\(95\%\) довірчий інтервал? Хоча різні методи рівні з чисто математичної точки зору, стандартний метод обчислення довірчих інтервалів має дві бажані властивості: кожен інтервал симетричний щодо точкової оцінки, а кожен інтервал є суміжним. Згадаймо зі вступного розділу в главі про ймовірність того, що для деяких цілей ймовірність найкраще розглядати як суб'єктивну. Розумно, хоча і не вимагається законами ймовірності, щоб прийняти суб'єктивну ймовірність\(0.95\) того, що\(95\%\) довірчий інтервал, як правило, обчислюється, містить відповідний параметр.

Довірчі інтервали можуть бути обчислені для різних параметрів, а не тільки середнього. Наприклад, пізніше в цьому розділі ви побачите, як обчислити довірчий інтервал для\(\rho\), значення населення Пірсона\(r\), на основі вибіркових даних.