10.6: Вступ до довірчих інтервалів

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 10.5: Інтервали довіри
- 10.7: Довірчий інтервал для середнього

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначити довірчий інтервал
Створіть, чому довірчий інтервал не є ймовірністю, що інтервал містить параметр

Скажімо, вас зацікавила середня вага $10$ -річних дівчат, які проживають в Сполучених Штатах. Оскільки було б недоцільно зважувати всіх $10$ -річних дівчат у Сполучених Штатах, ви взяли зразок $16$ і виявили, що середня вага становить $90$ фунти. Це вибіркове середнє значення $90$ є точковою оцінкою середнього чисельності населення. Точкова оцінка сама по собі має обмежену корисність, оскільки вона не виявляє невизначеності, пов'язаної з оцінкою; ви не маєте гарного уявлення про те, наскільки це середнє значення вибірки може бути від середнього рівня популяції. Наприклад, чи можете ви бути впевнені, що середнє населення знаходиться в межах $5$ фунтів $90$ ? Ви просто не знаєте.

Довірчі інтервали дають більше інформації, ніж точкові оцінки. Довірчі інтервали для засобів - це інтервали, побудовані за допомогою процедури (представленої в наступному розділі), яка буде містити населення означає певну частку часу, як правило, $95\%$ або $99\%$ часу. Ці інтервали називаються $95\%$ і $99\%$ довірчими інтервалами відповідно. Приклад $95\%$ довірчого інтервалу наведено нижче:

$72.85 < \mu < 107.15$

Є вагомі підстави вважати, що населення означає лежить між цими двома межею $72.85$ і $107.15$ оскільки $95\%$ інтервали довіри часу містять справжнє середнє значення.

Якби повторні зразки були взяті і $95\%$ довірчий інтервал обчислюється для кожної $95\%$ вибірки, інтервали б містити середнє значення популяції. Природно, що $5\%$ з інтервалів не містило б середнє населення.

Природно інтерпретувати $95\%$ довірчий інтервал як інтервал з $0.95$ ймовірністю стримування середнього значення популяції. Однак правильне тлумачення не таке вже й просте. Однією з проблем є те, що обчислення довірчого інтервалу не враховує жодної іншої інформації, яку ви можете мати про значення середнього значення популяції. Наприклад, якби численні попередні дослідження мали всі знайдені вибіркові засоби вище $110$ , не було б сенсу робити висновок, що існує $0.95$ ймовірність того, що середнє значення популяції знаходиться між $72.85$ і $107.15$ . А як щодо ситуацій, в яких немає попередньої інформації про цінність населення, значить? Навіть тут трактування складне. Проблема полягає в тому, що може бути більше однієї процедури, яка виробляє інтервали, що містять параметр $95\%$ популяції часу. Яка процедура виробляє «справжній» $95\%$ довірчий інтервал? Хоча різні методи рівні з чисто математичної точки зору, стандартний метод обчислення довірчих інтервалів має дві бажані властивості: кожен інтервал симетричний щодо точкової оцінки, а кожен інтервал є суміжним. Згадаймо зі вступного розділу в главі про ймовірність того, що для деяких цілей ймовірність найкраще розглядати як суб'єктивну. Розумно, хоча і не вимагається законами ймовірності, щоб прийняти суб'єктивну ймовірність $0.95$ того, що $95\%$ довірчий інтервал, як правило, обчислюється, містить відповідний параметр.

Довірчі інтервали можуть бути обчислені для різних параметрів, а не тільки середнього. Наприклад, пізніше в цьому розділі ви побачите, як обчислити довірчий інтервал для $\rho$ , значення населення Пірсона $r$ , на основі вибіркових даних.