7.5: Стандартний нормальний розподіл

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 7.4: Демонстрація сортів
- 7.6: Нормальне наближення до біноміалу

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Встановити середнє і стандартне відхилення стандартного нормального розподілу
Використовуйте $Z$ таблицю
Скористайтеся звичайним калькулятором
Перетворення необроблених даних у $Z$ бали

Як обговорювалося у вступному розділі, нормальні розподіли не обов'язково мають однакові кошти і стандартні відхилення. Нормальний розподіл із середнім значенням $0$ і стандартним відхиленням $1$ називається стандартним нормальним розподілом.

Області нормального розподілу часто представлені таблицями стандартного нормального розподілу. Частина таблиці стандартного нормального розподілу наведена в табл $\PageIndex{1}$ .

Таблиця $\PageIndex{1}$ : Частина таблиці стандартного нормального розподілу
Z	Площа нижче
-2.5	0,0062
-2.49	0,0064
-2.48	0.0066
-2.47	0.0068
-2.46	0,0069
-2.45	0,0071
-2.44	0.0073
-2.43	0,0075
-2.42	0,0078
-2.41	0,008
-2.4	0,0082
-2.39	0,0084
-2.38	0,0087
-2.37	0,0089
-2.36	0,0091
-2.35	0,0094
-2.34	0,0096
-2.33	0,0099
-2.32	0.0102

Перший стовпець під назвою $Z$ "" містить значення стандартного нормального розподілу; другий стовпець містить область нижче $Z$ . Оскільки розподіл має середнє значення $0$ і стандартне відхилення $1$ , $Z$ колонка дорівнює числу стандартних відхилень нижче (або вище) середнього. Наприклад, a $Z$ of $-2.5$ являє собою значення $2.5$ стандартних відхилень нижче середнього. Область нижче $Z$ є $0.0062$ .

Цю ж інформацію можна отримати за допомогою наступного аплету Java. На малюнку $\PageIndex{1}$ показано, як він може бути використаний для обчислення площі нижче значення $-2.5$ за стандартним нормальним розподілом. Зверніть увагу, що середнє значення встановлено, $0$ а стандартне відхилення встановлено значення $1$ .

Малюнок $\PageIndex{1}$ : Приклад з аплету

Обчислити площі

Значення з будь-якого нормального розподілу може бути перетворено у відповідне його значення за стандартним нормальним розподілом за такою формулою:

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$

де $Z$ - значення на стандартному нормальному розподілі, $X$ - це значення на початковому розподілі, $\mu$ є середнім показником вихідного розподілу і $\sigma$ є стандартним відхиленням початкового розподілу.

Приклад $\PageIndex{1}$

Як просте застосування, яка частина нормального розподілу із середнім значенням $50$ і стандартним відхиленням $10$ нижче $26$ ?

Рішення

Застосовуючи формулу, отримуємо

$Z = \frac{26 - 50}{10} = -2.4$

З таблиці $\PageIndex{1}$ , ми бачимо, що $0.0082$ of the distribution is below $-2.4$ . There is no need to transform to $Z$ if you use the applet as shown in Figure $\PageIndex{2}$ .

Малюнок $\PageIndex{2}$ : Площа нижче $26$ в нормальному розподілі із середнім значенням $50$ і стандартним відхиленням $10$

Якщо всі значення в розподілі перетворені в $Z$ бали, то розподіл матиме середнє значення $0$ і стандартне відхилення $1$ . Цей процес перетворення розподілу на одиницю із середнім значенням $0$ та стандартним відхиленням $1$ називається стандартизацією розподілу.