3.17: Ефекти лінійних перетворень

Last updated
Save as PDF

Page ID: 98155

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Обчислити середнє значення перетвореної змінної
Обчислити дисперсію перетвореної змінної

У цьому розділі розглянуто вплив лінійних перетворень на міри центральної тенденції та мінливості. Почнемо з прикладу, який ми бачили раніше в розділі, який визначав лінійне перетворення: температури міст. Таблиця\(\PageIndex{1}\) показує температури\(5\) міст.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Температури в\(5\) містах на\(11/16/2002\)
Місто	Градуси за Фаренгейтом	Градуси за Цельсієм
Х'юстон Чікаго Міннеаполіс Майамі	54 37 31 78 70	12.22 2,78 -0,56 25.56 21.11
Середня медіана	54.000 54.000	12.20 12.20
дисперсія	330.00	101.852
СД	18.166	10.092

Нагадаємо, що для перетворення градусів Фаренгейта в градуси Цельсія використовуємо формулу

\[C = 0.556F - 17.778\]

що означає, що ми помножимо кожну температуру за Фаренгейтом на,\(0.556\) а потім віднімаємо\(17.778\). Як ви могли очікувати, ви помножуєте середню температуру в Фаренгейті на,\(0.556\) а потім віднімаєте,\(17.778\) щоб отримати середнє значення за Цельсієм. Тобто,\((0.556)(54) - 17.778 = 12.22\). Те ж саме справедливо і для медіани. Зверніть увагу, що це співвідношення зберігається, навіть якщо середнє та медіана не однакові, як у табл\(\PageIndex{1}\).

Формула стандартного відхилення так само проста: стандартне відхилення в градусах Цельсія дорівнює стандартному відхиленню в градусах Фаренгейта раз\(0.556\). Оскільки дисперсія є стандартним відхиленням у квадраті, дисперсія в градусах Цельсія дорівнює\(0.5562^2\) різниці в градусах Фаренгейта.

Підводячи підсумок, якщо змінна\(X\) має середнє значення\(\mu\), стандартне відхилення\(\sigma\) та дисперсію\(\sigma ^2\), то нова змінна\(Y\) створюється за допомогою лінійного перетворення

\[Y = bX + A\]

матиме середнє значення\(b\mu + A\), стандартне відхилення\(b\sigma\) і дисперсію\(b^2\sigma ^2\).

Слід зазначити, що термін «лінійне перетворення» визначається по-різному в області лінійної алгебри. Для отримання детальної інформації перейдіть за цим посиланням.