3.17: Ефекти лінійних перетворень

Last updated

Oct 28, 2022
Save as PDF
- 3.16: Порівняння демо дистрибутивів
- 3.18: Закон суми дисперсії I - некорельовані змінні

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Обчислити середнє значення перетвореної змінної
Обчислити дисперсію перетвореної змінної

У цьому розділі розглянуто вплив лінійних перетворень на міри центральної тенденції та мінливості. Почнемо з прикладу, який ми бачили раніше в розділі, який визначав лінійне перетворення: температури міст. Таблиця $\PageIndex{1}$ показує температури $5$ міст.

Таблиця $\PageIndex{1}$ : Температури в $5$ містах на $11/16/2002$
Місто	Градуси за Фаренгейтом	Градуси за Цельсієм
Х'юстон Чікаго Міннеаполіс Майамі	54 37 31 78 70	12.22 2,78 -0,56 25.56 21.11
Середня медіана	54.000 54.000	12.20 12.20
дисперсія	330.00	101.852
СД	18.166	10.092

Нагадаємо, що для перетворення градусів Фаренгейта в градуси Цельсія використовуємо формулу

$C = 0.556F - 17.778$

що означає, що ми помножимо кожну температуру за Фаренгейтом на, $0.556$ а потім віднімаємо $17.778$ . Як ви могли очікувати, ви помножуєте середню температуру в Фаренгейті на, $0.556$ а потім віднімаєте, $17.778$ щоб отримати середнє значення за Цельсієм. Тобто, $(0.556)(54) - 17.778 = 12.22$ . Те ж саме справедливо і для медіани. Зверніть увагу, що це співвідношення зберігається, навіть якщо середнє та медіана не однакові, як у табл $\PageIndex{1}$ .

Формула стандартного відхилення так само проста: стандартне відхилення в градусах Цельсія дорівнює стандартному відхиленню в градусах Фаренгейта раз $0.556$ . Оскільки дисперсія є стандартним відхиленням у квадраті, дисперсія в градусах Цельсія дорівнює $0.5562^2$ різниці в градусах Фаренгейта.

Підводячи підсумок, якщо змінна $X$ має середнє значення $\mu$ , стандартне відхилення $\sigma$ та дисперсію $\sigma ^2$ , то нова змінна $Y$ створюється за допомогою лінійного перетворення

$Y = bX + A$

матиме середнє значення $b\mu + A$ , стандартне відхилення $b\sigma$ і дисперсію $b^2\sigma ^2$ .

Слід зазначити, що термін «лінійне перетворення» визначається по-різному в області лінійної алгебри. Для отримання детальної інформації перейдіть за цим посиланням.