14.3: Загальна рівновага

ЦІЛІ НАВЧАННЯ

1. Що відбувається в загальній рівновазі, коли більше двох людей купують більше двох товарів?
2. Чи дає справа Кобба-Дугласа розуміння?

Ми проілюструємо загальну рівновагу для випадку, коли всі споживачі мають корисність Кобба-Дугласа в біржовій економіці. Біржова економіка - це економіка, де пропозиція кожного товару є лише загальним забезпеченням цього блага, і немає виробництва. Припустимо, що існує N людей, проіндексованих\(\begin{equation}n = 1, 2, … , N\end{equation}\) There are G товарів, проіндексованих по\(\begin{equation}g=1,2, \ldots, G\end{equation}\). Особа n має корисність Кобба-Дугласа, яку ми можемо уявити за допомогою показників α (n, g), так що корисність людини n може бути представлена як\(\begin{equation}\Pi g=1 G \times(n, g) a(n, g)\end{equation}\), де x (n, g) є споживанням людини n хорошого г Припустимо, що\(\begin{equation}a(n, g) \geq 0\end{equation}\) для всіх n і g, що становить припущення, що продукти, по суті, товари є товарами. Без втрати загальності ми можемо вимагати\(\begin{equation}\sum g=1 G a(n, g)=1\end{equation}\) для кожного n. (Щоб побачити це, зауважте, що максимізація функції U еквівалентна максимізації функції U ^β для будь-якого позитивного β.)

Нехай y (n, g) бути наділеністю людини n добра г Мета загальної рівноваги полягає в тому, щоб знайти ціни p ₁, p ₂,..., p _G на товар таким чином, щоб попит на кожен товар точно дорівнює пропозиції товару. Подача хорошого g - це лише сума обдаровувань цього блага. Ціни дають багатство для людини n рівне W n = g=1 G p g y (n, g).

Будемо вважати, що\(\begin{equation}\Sigma \mathrm{n}=1 \mathrm{N} \mathrm{a}(\mathrm{n}, \mathrm{g}) \mathrm{y}(\mathrm{n}, \mathrm{i})>0\end{equation}\) для кожної пари товарів g і i. Це припущення стверджує, що для будь-якої пари товарів існує принаймні один агент, який цінує хороший g і має обдарованість добром i. Припущення гарантує, що завжди є хтось, хто готовий і здатний торгувати, якщо ціна достатня привабливий. Припущення набагато сильніше, ніж потрібно, але корисне для експозиції. Припущення також гарантує, що обдарування кожного блага є позитивним.

Утиліта Cobb-Douglas спрощує аналіз через особливість, з якою ми вже стикалися у випадку з двома товарами, яка стверджує, що частка багатства для споживача n на хорошому g дорівнює показнику α (n, g). Таким чином, загальний попит на хороший г становить\(\begin{equation}\mathrm{X} \mathrm{g}=\Sigma \mathrm{n}=1 \mathrm{N} \mathrm{a}(\mathrm{n}, \mathrm{g}) \mathrm{W} \mathrm{n} \mathrm{p} \mathrm{g}\end{equation}\).

Тоді умови рівноваги можуть бути виражені, сказавши, що пропозиція (сума обдаровувань) дорівнює попиту; або, для кожного хорошого g,\(\begin{equation}\mathrm{X} \mathrm{g}=\Sigma \mathrm{n}=1 \mathrm{N} \mathrm{a}(\mathrm{n}, \mathrm{g}) \mathrm{W} \mathrm{n} \mathrm{p} \mathrm{g}\end{equation}\)

Ми можемо переписати цей вираз за умови, що p _g > 0 (і воно повинно бути, бо інакше попит нескінченний), щоб бути

\ begin {рівняння} p g-\ Сигма i=1 G p i\ Сигма n=1 N y (n, i) a (n, g)\ Сигма n=1 N y (n, g) =0\ end {рівняння}

Нехай B - матриця G × G, чий (g, i) термін b\(\begin{equation}g i=\sum n=1 N y(n, i) a(n, g) \sum n=1 N y(n, g)\end{equation}\)

Нехай p - вектор цін. Тоді ми можемо записати умови рівноваги як (I — B) p = 0, де 0 - нульовий вектор. Таким чином, щоб рівновага (крім p = 0) існувала, B повинен мати власне значення, рівне 1, і відповідний власний вектор p, який є додатним у кожній складовій. Більше того, якщо така пара власний вектор — власне значення існує, це рівновага, тому що попит дорівнює пропозиції на кожне благо.

Фактичний вектор ціни не повністю ідентифікований, оскільки якщо p є рівноважним ціновим вектором, то таким є будь-який позитивний скалярний час p. Масштабування цін не змінює рівновагу, оскільки і ціни, і багатство (яке базується на ендаументах) зростають на скалярний фактор. Зазвичай економісти призначають один товар числівником, а це означає, що всі інші товари індексуються з точки зору цього товару; а ціна чисельника штучно встановлюється рівною 1. Будь-яке масштабування вектора ціни ми будемо розглядати як один і той же вектор.

Відповідною теоремою є теорема Перрона-Фробенія Оскара Перрона (1880—1975) та Георга Фробеніуса (1849—1917). Він стверджує, що якщо B - додатна матриця (кожна складова додатна), то існує власне значення λ > 0 і асоційований позитивний власний вектор p; і, крім того, λ є найбільшим (в абсолютному значенні) власним вектором B. Теорема Перрона-Фробеніуса, як зазвичай зазначається, тільки припускає, що B є невід'ємним і що B є невід'ємним. Виходить, що строго позитивна матриця незведена, тому цієї умови достатньо для виклику теореми. Крім того, ми все ще можемо застосувати теорему, навіть коли B має деякі нулі в ній, за умови, що вона незведена. Нескорочуваність означає, що економіку не можна розділити на дві економіки, де люди в одній економіці не можуть купувати у людей другу економіку, тому що вони не наділені нічим, що цінують люди в першій економіці. Якщо B не є незвідним, то деякі люди можуть закінчити споживати нуль речей, які вони цінують. Цей висновок робить більшу частину роботи з демонстрації існування рівноваги. Єдина умова, що залишилася для перевірки, полягає в тому, що власне значення фактично дорівнює 1, так що (I — B) p = 0.

Припустимо, що власне значення дорівнює λ. Тоді λ р = Bp. Таким чином, для кожного г,

\ begin {рівняння} λ р г = ‣ i = 1 Г ‣ n=1 N α (n, g) y (n, i) m=1 N y (m, g) p i\ end {рівняння}

або

\ begin {рівняння} λ р g θ m=1 N y (м, г) = i = 1 G n=1 N α (n, g) y (n, i) p i. \ end {рівняння}

Підсумовуючи обидві сторони над g,

\ почати {рівняння} λ ⟩ g = 1 Г р g θ м = 1 Н у (м, г) = ⟩ г=1 Г ⟩ I = 1 Г ⟩ Н = 1 Н α (n, g) y (n, i) p i = ⟩ I = 1 Г ⸺=1 Г α (n, g) y (n, i) p i = θ i = 1 G θ n = 1 G α (n, g) y (n, i) p i = θ i = 1 G θ n = 1 N у (n, i) р i. \ end {рівняння}

Таким чином, λ = 1 за бажанням.

Теорема Перрона-Фробеніуса фактично дає ще два корисні висновки. По-перше, рівновага унікальна. Це особливість утиліти Cobb-Douglas і не обов'язково зустрічається для інших функцій утиліти. Більш того, рівновага легко наближається. Позначають B ^t добуток В з собою t раз. Тоді для будь-якого позитивного вектора v,\(\begin{equation}\lim t \rightarrow \infty \text { B } t v=p\end{equation}\). Хоча наближення дуже корисні для великих систем (велика кількість товарів), система може бути легко обчислена саме з невеликою кількістю товарів, навіть з великою кількістю осіб. Більш того, наближення можна інтерпретувати потенційно корисним чином. Нехай v буде кандидатом на рівноважний вектор ціни. Використовуйте v, щоб дозволити людям обчислити своє багатство, яке для людини n є\(\begin{equation}\mathrm{W} \mathrm{n}=\Sigma \mathrm{i}=1 \mathrm{G} \mathrm{v} \text { i } \mathrm{y}(\mathrm{n}, \mathrm{i})\end{equation}\). Враховуючи рівень багатства, які ціни очищають ринок? Попит на хороший g є\(\begin{equation}x g (v)= ∑ n=1 N α(n,g) W n = ∑ i=1 G v i ∑ n=1 N α(n,g)y(n,i) \end{equation}\), і ринок очищається, враховуючи рівні багатства\(\begin{equation}p g = ∑ i=1 G v i ∑ n=1 N α(n,g)y(n,i) ∑ n=1 N y(n,g)\end{equation}\), якщо, що еквівалентно p = Bv. Це визначає ітераційний процес. Почніть з довільного вектора ціни, обчислити рівні багатства, а потім обчислити вектор ціни, який очищає ринок для заданих рівнів багатства. Використовуйте цю ціну для перерахунку рівнів багатства, а потім обчислити новий вектор ціни на кліринг для нових рівнів багатства. Цей процес може бути ітераційним і, по суті, сходиться до рівноважного цінового вектора з будь-якої відправної точки.

Закінчуємо цей розділ розглядом трьох особливих випадків. Якщо є два товари, можна пустити α _n = αα (n, 1), а потім зробити висновок, що α (n, 2) = 1 — an. Тоді нехай Y g = n=1 N y (n, g) буде наділенням добра g, тоді матриця B дорівнює

\ почати {рівняння} B= (1 Y 1 θ n=1 N y (n1) a n 1 Y 1 Y 1 n = 1 N y (n, 2) a n 1 Y 2 θ n=1 N y (n,1) (1− a n) 1 Y 2 θ n=1 N y (n, 2) (1− a n)) = (1 Y 1 n = 1 N y (n, 1) 1 Y 1 n = 1 Н у (n, 2) a n 1 Y 2 (Y 1 − n = 1 N y (n, 1) a n) 1− 1 Y 2 ⟩ n = 1 Н у (n, 2) а п). \ end {рівняння}

Відповідним власним вектором B є\(\begin{equation}p=( ∑ n=1 N y(n,2) a n ∑ n=1 N y(n,1)(1− a n ) ) .\end{equation}\)

Загальний рівень цін не закріплений - будь-який скалярний кратний p також є рівноважною ціною - тому відповідним терміном є цінове співвідношення, яке є ціною Good 1 з точки зору Good 2, або

\ begin {рівняння} p 1 p 2 = θ n=1 N y (n,2) a n θ n=1 N y (n,1) (1− a n). \ end {рівняння}

Ми можемо легко бачити, що збільшення пропозиції Good 1, або зменшення пропозиції Good 2, знижує цінове співвідношення. Збільшення переваги Good 1 збільшує ціну Good 1. Коли люди, які цінують добре 1 відносно високо наділені великою кількістю хорошого 2, співвідношення між перевагою для хорошого 1, і обдарування добре 2 вище. Чим вище кореляція, тим вище співвідношення ціни. Інтуїтивно, якщо люди, які мають багато Good 2, хочуть багато Good 1, ціна Good 1 буде вище. Так само, якщо люди, які мають багато Good 1, хочуть багато Good 2, ціна Good 1 буде нижчою. Таким чином, співвідношення між ендаументами та преференціями також має значення для співвідношення цін.

У нашому другому особливому випадку ми розглядаємо людей з однаковими уподобаннями, але які починають з різних ендаументів. Гіпотеза однакових уподобань відкладає кореляцію між ендаументами та уподобаннями, знайденими у випадку з двома хорошими. Так як люди однакові, α (n, g) = Ag для всіх n. в даному випадку\(\begin{equation} b gi = ∑ n=1 N y(n,i)α(n,g) ∑ n=1 N y(n,g) = A g Y i Y g\end{equation}\), тоді як перед\(\begin{equation}Y g = ∑ n=1 N y(n,g)\end{equation}\) - сумарне наділення добрим g Матриця B має особливу структуру, і в даному випадку\(\begin{equation}p g=A g Y g\end{equation}\) - рівноважний вектор ціни. Ціни пропорційні перевазі для блага, розділеного на загальну суму пожертвування для цього блага.

Тепер розглянемо третій особливий випадок, коли на преференції не нав'язується загальна структура, а обдарування пропорційні один одному; тобто обдарування людини n - це частка wn від загального обдарування. Це означає, що ми можемо написати\(\begin{equation}\mathrm{y}(\mathrm{n}, \mathrm{g})=\mathrm{w}_{\mathrm{n}} \mathrm{Y}_{\mathrm{g}}\end{equation}\), рівняння, яке передбачається утримувати для всіх людей n і товарів g Зауважте\(\begin{equation}∑ n=1 N w n =1\end{equation}\), що за конструкцією, оскільки значення wn являє собою частку n загальної обдарованості. У цьому випадку ми маємо

\ почати {рівняння} b gi = θ n=1 N y (n, i) α (n, g) θ n=1 N y (n, g) = Y i Y g θ n=1 N w n α (n, g)\ end {рівняння}

Ці матриці також мають особливу будову, і легко перевіряється, що рівноважний вектор ціни задовольняє\(\begin{equation}p g = 1 Y g ∑ n=1 N w n α(n,g) .\end{equation}\)

Ця формула отримує подібне тлумачення - ціна хорошого g - це сила переваги для хорошого g, де сила переваги - це середньозважене багатство індивідуальних переваг, розділене на обдарування блага. Таке тлумачення гарантується припущенням переваг Кобба-Дугласа, так як вони мають на увазі, що індивіди витрачають постійну частку свого багатства на кожне благо. Він також узагальнює висновок, знайдений у випадку з двома хорошими, до більшої кількості товарів, але з обмеженням, що тепер кореляція між багатством та уподобаннями. Особливий випадок має чесноту, що індивідуальне багатство, яке є ендогенним, оскільки воно залежить від цін, можна легко визначити.

Ключові виноси

• Загальна рівновага об'єднує споживчий вибір та теорію виробника, щоб знайти набори цін, які очищають багато ринків.
• Для випадку довільної кількості товарів і довільної кількості споживачів - кожен з утилітою Кобба-Дугласа - існує замкнута форма кривих попиту, а вектор ціни можна знайти, розташувавши власний вектор певної матриці. Рівновага унікальна (вірно для Кобба-Дугласа, але не вірно в цілому).
• Фактичний вектор ціни не повністю ідентифікований, оскільки якщо p є рівноважним ціновим вектором, то таким є будь-який позитивний скалярний час p. Масштабування цін не змінює рівновагу, оскільки і ціни, і багатство (яке базується на ендаументах) зростають на скалярний фактор.
• Інтуїція, що виникає з однодобрих моделей, може зазнати невдачі через взаємодію з іншими ринками - збільшення переваг на благо (зміщення попиту) змінює значення пожертвувань таким чином, що потім реверберує систему.

ВПРАВА

1. Розглянемо споживача з Cobb-Douglas утиліти\(\begin{equation} U= ∏ i=1 G x i a i\end{equation}\), де\(\begin{equation}\Sigma i=1 \mathrm{G} \mathrm{a} \mathrm{i}=1\end{equation}\) і стикається з бюджетним\(\begin{equation}W= ∑ i=1 G p i x i\end{equation}\) обмеженням.Показати, що споживач максимізує корисність, вибираючи\(\begin{equation}x i = a i W p i\end{equation}\) для кожного товару i. (Підказка: Висловіть обмеження бюджету як\(\begin{equation}x G = 1 p G ( W− ∑ i=1 G−1 p i x i )\end{equation}\), і, таким чином, корисність, як\(\begin{equation}U=( ∏ i=1 G−1 x i a i ) ( 1 p G ( W− ∑ i=1 G−1 p i x i ) ) a G.)\end{equation}\) Ця функція тепер може бути максимально невимушено. Переконайтеся, що результат максимізації може бути виражений як\(\begin{equation}p i x i = a i a G p G x G\end{equation}\), і\(\begin{equation}W= ∑ i=1 G p i x i = ∑ i=1 G a i a G p G x G = p G x G a G \end{equation}\), отже, який дає\(\begin{equation}p i x i = a i W \end{equation}\)