6.7.2: Енергетичний підхід для поєднання хвиль і течій
- Page ID
- 1347
Bagnold отримує рецептури для зануреної ваги підвішеного вантажу\(I_s\) та транспортування навантаження на ліжко\(I_b\) (див. Текст нижче Eq. 6.4.1.2 для визначення занурених вантажоперевезень) для однонаправленого потоку. У його виведеннях було висунуто гіпотезу, що рідина діє як машина, що витрачає енергію з встановленою швидкістю ефективності, щоб компенсувати роботу, виконану при транспортуванні осаду. Його міркування тут коротко продемонстровані для перевезення вантажу ліжка.
Занурений вага маси навантаження ліжка\(m_b\) задається\(W = (\rho_s - \rho)/\rho_s gm_b\). Компонент цього положення перпендикулярно похилому ліжку - з нахилом ліжка\(\tan \alpha \) - є\(W \cos \alpha\), тоді як компонент паралельний ліжку є\(W \sin \alpha\). Значить, опір тертя при транспортуванні вниз по схилу дорівнює\(W (\mu \cos \alpha - \sin \alpha)\). Тут коефіцієнт тертя\(\mu = \tan \varphi_r\) з\(\varphi_r\) - кут спокою (Sect. 6.2). «Робота» визначається прикладеною силою на відстань, пройдену у напрямку сили. Тому виконана робота (за одиницю часу) з підтримання навантаження шару в русі дорівнює силі, необхідній для подолання опору тертю, що перевищує середню швидкість, з\(U_b\) якою рухаються зерна. Далі, оскільки\(U_b \cos \alpha\) є горизонтальною складовою швидкості зерна у вертикальному перерізі, швидкість транспортування зануреної маси через вертикальну ділянку визначається як\(I_b = WU_b \cos \alpha\). Тепер ми можемо написати:
\[\text{work done per unit time} = W(\mu \cos \alpha - \sin \alpha ) U_b = I_b (\tan \varphi_r - \tan \alpha )\]
Деяка\(\varepsilon_b\) частка потужності розсіюється рідини\(\omega\) витрачається, щоб компенсувати роботу, виконану в підтримці навантаження на ліжко.
Звідси:
\[I_b = \dfrac{\varepsilon_b \omega}{(\tan \varphi_r - \tan \alpha)}\label{eq6.7.2.2}\]
Подібне виведення для підвішеного навантаження призводить до:
\[I_s = \dfrac{\varepsilon_s \omega}{(w_s/U_s - \tan \alpha)}\label{eq6.7.2.3}\]
Еквас. \(\ref{eq6.7.2.2}\)і\(\ref{eq6.7.2.3}\) призначені для однонаправленого потоку вздовж похилого русла. Боуен (1980) переписує ці рівняння для крос-берегової ситуації з нормально падаючими хвилями.
Формулювання для миттєвої транспортної швидкості потім читають:
\[I_b = \dfrac{\varepsilon_b \rho c_f u^3}{\tan \varphi_r - u/|u| \tan \alpha}\label{eq6.7.2.4}\]
\[I_s = \dfrac{\varepsilon_s c_f \rho u^3 |u|}{w_s - u \tan \alpha}\label{eq6.7.2.5}\]
де:
| \(\varepsilon_b, \varepsilon_s\) | ефективність для ліжка та підвісного навантаження | - |
| \(c_f\) | коефіцієнт тертя | - |
| \(w_s\) | швидкість падіння осаду | \(m/s\) |
| \(\tan \varphi_r\) | тангенс кута спокою осаду | - |
| \(\tan \alpha\) | ухил ліжка | - |
| \(\rho\) | щільність води | \(kg/m^3\) |
Залежна від часу швидкість\(u\) визначається як позитивна до моря, напрямок\(x\) позитивного. Завантаження шару і швидкість підвішеного навантаження зерен (\(U_b\)і\(U_s\)) представлені\(u\). Крім того, потужність розсіюється рідини\(\omega\) (робота, виконана за одиницю часу) обчислюється як швидкість розсіювання енергії за рахунок нижнього тертя.\(D_f\) \(D_f\)задається добутком напруги зсуву шару\(\tau\) та потоку, що змінюється у часі поблизу дна\(u\). Вважається, що напруга зсуву ліжка описується квадратичним законом тертя\(\tau_b = \rho c_f |u|u\), так що\(\omega = D_f = \rho c_f u^2|u|\). Зверніть увагу, що таким чином враховується тільки розсіювання в хвильовому прикордонному шарі. Для застосувань у зоні серфінгу Roelvink та Stive (1989) додають до цього розсіювання енергії через турбулентність біля дна, викликану розривом хвиль. Знаки модуля в Eqs. \(\ref{eq6.7.2.4}\)і\(\ref{eq6.7.2.5}\) вибираються такі, щоб правильно враховувати напрямок транспорту з точки зору швидкості і нахилу. Отже, для морського транспорту (\(u\)позитивний) знаменники зменшуються; тому матеріал легше транспортується вниз по схилу.
Ухил ліжка обмежений наступними двома умовами:
\[\tan \alpha \to \tan \varphi_r \ \ \ \text{ giving avalanching or slumping}\label{eq6.7.2.6}\]
\[\tan \alpha \to \tan w_s/u \ \ \ \ \text{ giving autosuspension}\label{eq6.7.2.7}\]
Автопідвіска відноситься до того, що при певному ухилі ліжка (а отже, і певної кількості гравітаційної енергії) осад «призупиняється». Пізніше стверджувалося (Бейлар, 1981), що стан в Eq. \(\ref{eq6.7.2.7}\)також повинен бути забезпечений коефіцієнтом корисної дії (таким, що\(\varepsilon_s u\) замість цього\(u\) слід використовувати).
Зверніть увагу, що в моделі не вистачає ініціювання транспортного стану, як критичний параметр Shields, і що як навантаження на ліжко, так і транспорт підвішеного осаду миттєво реагують на поле потоку (на відміну від дифузійного підходу секти. 6.6).
У паралельному розвитку Бейлар (Bailard, 1981, 1982; Bailard & Inman, 1981) узагальнив модель Баньольда до загальної моделі навантаження переносу осаду, що змінюється в часі, через площину похилого шару. У формулюванні Бейлара вектори швидкості транспортування навантаження та підвішеного навантаження складаються з спричиненої швидкістю складової, спрямованої паралельно миттєвому вектору швидкості та гравітаційної складової, спрямованої вниз по схилу. Зараз розглядаються узберегові та наземно-морські течії, а також коливально-хвильовий орбітальний рух з локальним кутом падіння.
Тут ми не вдаємося в подробиці деривації і кінцевих виразів, а слідуємо Ролвінку і Стіву (1989), які пишуть формулювання Бейлар в загальних рисах (для спрощеного випадку швидкості, вирівняної з місцевим нахилом русла):
\[S(t) = \underbrace{C_1 u(t) |u(t)|^{n - 1}}_{\text{quasi-steady response to time-varying flow}} + \underbrace{C_2 |u(t)|^m \tan \alpha}_{\text{response to downslope gravity force}}\]
\(\tan \alpha\)Ось місцевий схил русла і\(u(t)\) є поперечно-береговим потоком, що змінюється біля дна. Для навантаження на ліжко повноваження є\(n = m = 3\), а для підвішеного навантаження повноваження є\(n = 4\) і\(m = 5\). Після усереднення часу (зазначено дужками) ми виявляємо, що:
- транспортування навантаження ліжка пропорційно\(\langle S_b \rangle\) непарному моменту\(\langle u|u|^2 \rangle\) і парному моменту\(\langle |u|^3 \rangle\); і
- транспортування\(\langle S_s \rangle\) підвішеного вантажу пропорційно непарному моменту\(\langle u|u|^3 \rangle\) і парному моменту\(\langle |u|^5 \rangle\)
Зауважте, що для парних моментів терміни в дужках (тобто до усереднення часу) є позитивними для кожного моменту часу, тоді як для непарних моментів ці терміни мають знак миттєвої швидкості. Транспортні терміни, що містять непарні моменти\(\langle u|u|^2 \rangle\) і\(\langle u|u|^3 \rangle\) відображають квазістійке навантаження шару і транспортування підвішеного осаду відповідно за рахунок зміни в часі потоку. Терміни, що містять парні моменти\(\langle |u|^3 \rangle\) і\(\langle |u|^5 \rangle\) відображають вниз схил спрямований гравітаційним транспортом і, як правило, на порядок менше, ніж терміни, що містять непарні моменти швидкості.
Тому ми могли б зробити наступне приблизне твердження:
\[\langle S_b \rangle \propto \langle u|u|^2 \rangle\]
\[\langle S_s \rangle \propto \langle u|u|^3 \rangle\]
Зверніть увагу, що в секті. 6.5.5, ми виявили аналогічні залежності для транспорту навантаження ліжка, а саме з\(n = 3\) до 4. Там ми також виявили, що чистий транспорт осаду відбувається або за рахунок чистих струмів, або через перекошені коливальні сигнали швидкості. Ця відмінність порівнянна з різницею між транспортом підвішеного осаду, пов'язаним із струмом та хвилею, як обговорюється в секті. 6.6.1. Ми далі вивчимо ці різні транспортні внески в секті. 7,5 (для перехресного транспортування осаду) і в сект. 9.7.2 (для транспортування осаду, спричиненого приливом).
Як було сказано раніше, критерій ініціації руху не враховувався в вищезгаданому підході до енергетики. Це може очікувати збільшення асиметрії при перемішуванні осаду. Іншим спрощенням є передбачуваний квазістійкий підхід для підвісних вантажних перевезень. Можна вважати, що грубий осад миттєво реагує на швидкість потоку, але для більш тонкого матеріалу це може бути не так. Тонкий матеріал в цьому відношенні визначається як має такий діаметр\(u_*/w_s > 1\), що, де\(u_*\) - швидкість зсуву і\(w_s\) швидкість падіння (див. 6.6.3). Чим більше цей параметр, тим більше часу потрібно осідати зваженим частинкам. В результаті цих часових відставань у вертикальному розподілі осаду швидкості транспортування можуть бути знижені (так як максимальні концентрації більше не збігаються з максимальними швидкостями на кожній висоті над шаром). Прикладом формулювання транспортування осаду, в якій враховуються такі ефекти затримки часу, є транспортна рецептура Dibajnia і Watanabe (1993).