6.7.2: Енергетичний підхід для поєднання хвиль і течій

Bagnold отримує рецептури для зануреної ваги підвішеного вантажу$I_s$ та транспортування навантаження на ліжко$I_b$ (див. Текст нижче Eq. 6.4.1.2 для визначення занурених вантажоперевезень) для однонаправленого потоку. У його виведеннях було висунуто гіпотезу, що рідина діє як машина, що витрачає енергію з встановленою швидкістю ефективності, щоб компенсувати роботу, виконану при транспортуванні осаду. Його міркування тут коротко продемонстровані для перевезення вантажу ліжка.

Занурений вага маси навантаження ліжка$m_b$ задається$W = (\rho_s - \rho)/\rho_s gm_b$. Компонент цього положення перпендикулярно похилому ліжку - з нахилом ліжка$\tan \alpha$ - є$W \cos \alpha$, тоді як компонент паралельний ліжку є$W \sin \alpha$. Значить, опір тертя при транспортуванні вниз по схилу дорівнює$W (\mu \cos \alpha - \sin \alpha)$. Тут коефіцієнт тертя$\mu = \tan \varphi_r$ з$\varphi_r$ - кут спокою (Sect. 6.2). «Робота» визначається прикладеною силою на відстань, пройдену у напрямку сили. Тому виконана робота (за одиницю часу) з підтримання навантаження шару в русі дорівнює силі, необхідній для подолання опору тертю, що перевищує середню швидкість, з$U_b$ якою рухаються зерна. Далі, оскільки$U_b \cos \alpha$ є горизонтальною складовою швидкості зерна у вертикальному перерізі, швидкість транспортування зануреної маси через вертикальну ділянку визначається як$I_b = WU_b \cos \alpha$. Тепер ми можемо написати:

$$\text{work done per unit time} = W(\mu \cos \alpha - \sin \alpha ) U_b = I_b (\tan \varphi_r - \tan \alpha )$$

Деяка$\varepsilon_b$ частка потужності розсіюється рідини$\omega$ витрачається, щоб компенсувати роботу, виконану в підтримці навантаження на ліжко.

Звідси:

$$I_b = \dfrac{\varepsilon_b \omega}{(\tan \varphi_r - \tan \alpha)}\label{eq6.7.2.2}$$

Подібне виведення для підвішеного навантаження призводить до:

$$I_s = \dfrac{\varepsilon_s \omega}{(w_s/U_s - \tan \alpha)}\label{eq6.7.2.3}$$

Еквас. $\ref{eq6.7.2.2}$і$\ref{eq6.7.2.3}$ призначені для однонаправленого потоку вздовж похилого русла. Боуен (1980) переписує ці рівняння для крос-берегової ситуації з нормально падаючими хвилями.

Формулювання для миттєвої транспортної швидкості потім читають:

$$I_b = \dfrac{\varepsilon_b \rho c_f u^3}{\tan \varphi_r - u/|u| \tan \alpha}\label{eq6.7.2.4}$$

$$I_s = \dfrac{\varepsilon_s c_f \rho u^3 |u|}{w_s - u \tan \alpha}\label{eq6.7.2.5}$$

де:

$\varepsilon_b, \varepsilon_s$	ефективність для ліжка та підвісного навантаження	-
$c_f$	коефіцієнт тертя	-
$w_s$	швидкість падіння осаду	$m/s$
$\tan \varphi_r$	тангенс кута спокою осаду	-
$\tan \alpha$	ухил ліжка	-
$\rho$	щільність води	$kg/m^3$

Залежна від часу швидкість$u$ визначається як позитивна до моря, напрямок$x$ позитивного. Завантаження шару і швидкість підвішеного навантаження зерен ($U_b$і$U_s$) представлені$u$. Крім того, потужність розсіюється рідини$\omega$ (робота, виконана за одиницю часу) обчислюється як швидкість розсіювання енергії за рахунок нижнього тертя.$D_f$ $D_f$задається добутком напруги зсуву шару$\tau$ та потоку, що змінюється у часі поблизу дна$u$. Вважається, що напруга зсуву ліжка описується квадратичним законом тертя$\tau_b = \rho c_f |u|u$, так що$\omega = D_f = \rho c_f u^2|u|$. Зверніть увагу, що таким чином враховується тільки розсіювання в хвильовому прикордонному шарі. Для застосувань у зоні серфінгу Roelvink та Stive (1989) додають до цього розсіювання енергії через турбулентність біля дна, викликану розривом хвиль. Знаки модуля в Eqs. $\ref{eq6.7.2.4}$і$\ref{eq6.7.2.5}$ вибираються такі, щоб правильно враховувати напрямок транспорту з точки зору швидкості і нахилу. Отже, для морського транспорту ($u$позитивний) знаменники зменшуються; тому матеріал легше транспортується вниз по схилу.

Ухил ліжка обмежений наступними двома умовами:

$$\tan \alpha \to \tan \varphi_r \ \ \ \text{ giving avalanching or slumping}\label{eq6.7.2.6}$$

$$\tan \alpha \to \tan w_s/u \ \ \ \ \text{ giving autosuspension}\label{eq6.7.2.7}$$

Автопідвіска відноситься до того, що при певному ухилі ліжка (а отже, і певної кількості гравітаційної енергії) осад «призупиняється». Пізніше стверджувалося (Бейлар, 1981), що стан в Eq. $\ref{eq6.7.2.7}$також повинен бути забезпечений коефіцієнтом корисної дії (таким, що$\varepsilon_s u$ замість цього$u$ слід використовувати).

Зверніть увагу, що в моделі не вистачає ініціювання транспортного стану, як критичний параметр Shields, і що як навантаження на ліжко, так і транспорт підвішеного осаду миттєво реагують на поле потоку (на відміну від дифузійного підходу секти. 6.6).

У паралельному розвитку Бейлар (Bailard, 1981, 1982; Bailard & Inman, 1981) узагальнив модель Баньольда до загальної моделі навантаження переносу осаду, що змінюється в часі, через площину похилого шару. У формулюванні Бейлара вектори швидкості транспортування навантаження та підвішеного навантаження складаються з спричиненої швидкістю складової, спрямованої паралельно миттєвому вектору швидкості та гравітаційної складової, спрямованої вниз по схилу. Зараз розглядаються узберегові та наземно-морські течії, а також коливально-хвильовий орбітальний рух з локальним кутом падіння.

Тут ми не вдаємося в подробиці деривації і кінцевих виразів, а слідуємо Ролвінку і Стіву (1989), які пишуть формулювання Бейлар в загальних рисах (для спрощеного випадку швидкості, вирівняної з місцевим нахилом русла):

$$S(t) = \underbrace{C_1 u(t) |u(t)|^{n - 1}}_{\text{quasi-steady response to time-varying flow}} + \underbrace{C_2 |u(t)|^m \tan \alpha}_{\text{response to downslope gravity force}}$$

$\tan \alpha$Ось місцевий схил русла і$u(t)$ є поперечно-береговим потоком, що змінюється біля дна. Для навантаження на ліжко повноваження є$n = m = 3$, а для підвішеного навантаження повноваження є$n = 4$ і$m = 5$. Після усереднення часу (зазначено дужками) ми виявляємо, що:

• транспортування навантаження ліжка пропорційно$\langle S_b \rangle$ непарному моменту$\langle u|u|^2 \rangle$ і парному моменту$\langle |u|^3 \rangle$; і
• транспортування$\langle S_s \rangle$ підвішеного вантажу пропорційно непарному моменту$\langle u|u|^3 \rangle$ і парному моменту$\langle |u|^5 \rangle$

Зауважте, що для парних моментів терміни в дужках (тобто до усереднення часу) є позитивними для кожного моменту часу, тоді як для непарних моментів ці терміни мають знак миттєвої швидкості. Транспортні терміни, що містять непарні моменти$\langle u|u|^2 \rangle$ і$\langle u|u|^3 \rangle$ відображають квазістійке навантаження шару і транспортування підвішеного осаду відповідно за рахунок зміни в часі потоку. Терміни, що містять парні моменти$\langle |u|^3 \rangle$ і$\langle |u|^5 \rangle$ відображають вниз схил спрямований гравітаційним транспортом і, як правило, на порядок менше, ніж терміни, що містять непарні моменти швидкості.

Тому ми могли б зробити наступне приблизне твердження:

$$\langle S_b \rangle \propto \langle u|u|^2 \rangle$$

$$\langle S_s \rangle \propto \langle u|u|^3 \rangle$$

Зверніть увагу, що в секті. 6.5.5, ми виявили аналогічні залежності для транспорту навантаження ліжка, а саме з$n = 3$ до 4. Там ми також виявили, що чистий транспорт осаду відбувається або за рахунок чистих струмів, або через перекошені коливальні сигнали швидкості. Ця відмінність порівнянна з різницею між транспортом підвішеного осаду, пов'язаним із струмом та хвилею, як обговорюється в секті. 6.6.1. Ми далі вивчимо ці різні транспортні внески в секті. 7,5 (для перехресного транспортування осаду) і в сект. 9.7.2 (для транспортування осаду, спричиненого приливом).

Як було сказано раніше, критерій ініціації руху не враховувався в вищезгаданому підході до енергетики. Це може очікувати збільшення асиметрії при перемішуванні осаду. Іншим спрощенням є передбачуваний квазістійкий підхід для підвісних вантажних перевезень. Можна вважати, що грубий осад миттєво реагує на швидкість потоку, але для більш тонкого матеріалу це може бути не так. Тонкий матеріал в цьому відношенні визначається як має такий діаметр$u_*/w_s > 1$, що, де$u_*$ - швидкість зсуву і$w_s$ швидкість падіння (див. 6.6.3). Чим більше цей параметр, тим більше часу потрібно осідати зваженим частинкам. В результаті цих часових відставань у вертикальному розподілі осаду швидкості транспортування можуть бути знижені (так як максимальні концентрації більше не збігаються з максимальними швидкостями на кожній висоті над шаром). Прикладом формулювання транспортування осаду, в якій враховуються такі ефекти затримки часу, є транспортна рецептура Dibajnia і Watanabe (1993).