5.4.3: Хвильовий прикордонний шар

Малюнок 5.23: Швидкість на кордоні дорівнює нулю. На деякій відстані вище межі швидкість досягає постійної величини,$\hat{u}_0$ званої швидкістю вільного потоку. Область зміни швидкості у вертикалі або зсуву називається прикордонним шаром. Висота або товщина прикордонного шару дорівнює$\delta$

Можна очікувати, що більшість хвильових теорій будуть дійсними від рівня води до невеликої відстані від русла (рис. 5.23), де на потік все ще не впливає межа. Ближче до ліжка, в тонкому шарі, званому хвильовим прикордонним шаром, може генеруватися завихрність (обертання), яка не включена в лінійну теорію хвиль або в більшість інших (ірротаційних) хвильових теорій з цього питання. Відстань, що позначається як$\delta$ на рис. 5.23, - це товщина хвильового прикордонного шару, перехідного шару між шаром і шаром «нормального» коливального потоку. Товщина, як правило, становить від 1 см до 10 см для коротких хвиль періоду ($T < 10 s$). Причина такої невеликої товщини полягає в тому, що немає достатнього часу для того, щоб шар виростав у вертикальному напрямку, тому що струм регулярно змінюється.

Для коливальних прикордонних шарів характерно те, що максимальна швидкість потоку біля русла дещо більше (на кілька відсотків), ніж так звана швидкість вільного потоку. Амплітуда швидкості вільного потоку$\hat{u}_0$ відповідно до лінійної теорії задається Eq. 5.4.1.1 для$z = -h$:

$$\hat{u}_0 = \dfrac{\omega a}{\sinh kh}$$

Потік у прикордонному шарі хвилі, як правило, турбулентний через наявність елементів шорсткості на ліжку. Вода, що рухається уздовж ліжка, несе навантаження на зсув на ліжко. Це можна зрозуміти, уявляючи, що - в результаті в'язкості та турбулентності - потік прилипає до стіни (умова нековзання). Отже, орбітальна швидкість збільшується від нуля на руслі до непорушеної швидкості вільного потоку у верхній частині хвильового прикордонного шару$z = \delta$. Через тонкий прикордонний шар градієнти швидкості, перпендикулярні руслу, великі і породжують великі напруги в хвильовому прикордонному шарі. Тертя в хвильовому прикордонному шарі призводить до розсіювання хвильової енергії.

У прибережних водах турбулентні напруження, що виникають внаслідок турбулентних коливань швидкості, набагато більші, ніж в'язкі напруги, що виникають внаслідок маломасштабних нестабільних рухів молекул. Тепер подумайте про загальну горизонтальну швидкість$u$ і$w$ вертикальну швидкість, яка складається з середнього, хвилі і турбулентної частини, отже$u = U + \tilde{u} + u'$ і$w = W + \tilde{w} + w'$. Турбулентне напруження зсуву визначається як напруга, що вводиться при усередненні над турбулентним рухом:

$$\tau (z) = \rho \overline{u' w'}\label{eq5.4.3.2}$$

Детальне моделювання хвильового прикордонного шару є комплексним напрямком дослідження. Вона передбачає моделювання турбулентності в хвильовому прикордонному шарі, що викликається шорсткістю пласта. Така модель хвильового граничного шару дає детальний залежний від часу розподіл швидкості по хвильовому прикордонному шарі. Окрім чисто коливального потоку, знайдено ненульовий усереднений за хвилями горизонтальний потік - званий потоковим. Вперше це пояснив Лонгет-Хіггінс (1953), який продемонстрував, що для лінійних хвиль потік спрямований у напрямку поширення хвиль (див. Рис. 5.26). Тому це потенційно важливо для транспортування осаду на берег. Збурення хвильового руху внаслідок хвильового прикордонного шару призводить до додаткових напружень у хвильовому прикордонному шарі при усередненні над організованим хвильовим рухом. За аналогією з Eq. $\ref{eq5.4.3.2}$ці напруження задаються$\rho \overline{\tilde{u} \tilde{w}}$ (овербар тепер представляє усереднення над короткохвильовим рухом). Над хвильовим прикордонним шаром цим терміном взагалі можна знехтувати. У Intermezzo 5.5 показано, що термін у усередненому хвилями горизонтальному рівнянні імпульсу, що відповідає за потокове (пропорційний)$\partial \overline{\tilde{u} \tilde{w}} /\partial z$. Він діє як (змінюється глибиною) сила в хвильовому прикордонному шарі, що штовхає потік вперед. Вираз, знайдений Лонгето-Хиггінсом для середньої швидкості потоку у верхній частині прикордонного шару, такий:

$$U_0 = \dfrac{3}{4} \dfrac{\hat{u}_0^2}{c}\label{eq5.4.3.3}$$

Для практичних цілей, як правило, досить розглянути наступні аспекти хвильового прикордонного шару:

• Вода, що рухається уздовж ліжка, несе навантаження на зсув на ліжко. Орбітальний рух під хвилями, навіть без наявності рівномірного струму, дає змінюється в часі напруга зсуву на шарі, яке може привести зерна осаду в рух (див. Гл. 6);
• Через тертя шару хвильовий прикордонний шар розсіює енергію від потоку вище (це термін$D_f$ в еквалайзері. 5.2.1.2);
• Викликане хвилею потокове (ур. $\ref{eq5.4.3.3}$) повинні бути враховані для розрахунків нетто-осадового транспорту.

У секті. 5.5.6 коротко вказано, як можна вирішити вертикальну структуру середнього потоку (включаючи хвильовий прикордонний шар) за допомогою відносно простої моделі турбулентності вихрової в'язкості. До цього часу ми будемо розглядати лише інтегровані в глибину рівняння імпульсу, які, отже, містять інваріантні величини глибини. Наприклад, ми розглядаємо напругу зсуву ліжка простим параметризованим способом, так що нам не доведеться турбуватися про розподіл напруги зсуву по глибині.

Напруга зсуву ліжка

Якщо ми утримуємося від моделювання турбулентності, тертя (ліжка) є основним невідомим, яке має бути визначено за допомогою (емпіричних) законів тертя. Це вводить коефіцієнти, які потрібно відкалібрувати, що робить калібрування цих моделей важливою.

Для визначення напруги зсуву шару Йонссон (1967) ввів поняття хвильового коефіцієнта тертя по аналогії з чинним коефіцієнтом тертя (див. Інтермеццо 5.2). Поточний коефіцієнт тертя пов'язує напруження зсуву шару до глибини усередненої швидкості струму, тоді як коефіцієнт тертя хвилі пов'язує напруження зсуву шару зі швидкістю вільного потоку. Тільки для струму величина напруги зсуву шару дорівнює$\tau_c = c_f \rho U^2$ (з потоком, вирівняним з$x$ віссю -, див. Інтермеццо 5.2). Під хвилями напруга зсуву шару змінюється в часі і змінюється залежно від напрямку орбітальних швидкостей.

Для лінійних хвиль зі швидкістю$u = \hat{u}_0 \cos \omega t$ вільного потоку Йонссон визначив коефіцієнт тертя$f_w$ через наступний вираз для величини максимального напруження зсуву шару:

$$\hat{\tau}_w = 0.5 \rho f_w \hat{u}_0^2$$

Для грубого шару та турбулентного потоку непросто визначити коефіцієнт тертя, оскільки його неможливо виміряти безпосередньо. Коефіцієнт тертя, як правило, залежатиме від матеріалу ліжка та форм ліжка (наприклад, брижі). Наступні змінні можна знайти у виразах$f_w$ для грубого турбулентного потоку:

• шорсткість$k_s$ шару (шорсткість Nikuradse) або$r$ стінки; шорсткість шару являє собою розмір елементів шорсткості, наприклад зерен;
• амплітуда екскурсії частинок, близька до шару$\hat{\xi}_0 = \hat{u}_0 /\omega$ (див. Eq. 5.4.1.3 і додаток. А).

Intermezzo 5.2 Тільки струм напруження зсуву ліжка

Припустимо, що поточна ситуація з середньою глибиною швидкості потоку$\vec{U} = (U, V)$ в ($x,y$) -напрямку. Нижнє напруження зсуву діє у напрямку струму і може бути описано квадратичним законом тертя:

$$\tau_b = \rho c_f |\vec{U}| \vec{U}$$

Коефіцієнт тертя$c_f$ - це безрозмірний коефіцієнт, що пов'язує напругу зсуву шару до квадрата швидкості. Лінійні закони тертя використовуються рідко, оскільки вони не мають фізичного обґрунтування.

$c_f$можна очікувати залежати від матеріалу ліжка та форм ліжка (шорсткість ліжка). Для рівномірного потоку в каналі, керованому малим ухилом середньої поверхні води, Чези теоретично вивів коефіцієнт Чезі,$C = 18 \log 12h/r$ де$r$ шорсткість$h$ дна і глибина води. Коефіцієнт Чезі$C$ відноситься до$c_f$ наступного:

$$c_f = \dfrac{g}{C^2}$$

Альтернативами є призначення висоти шорсткості Нікурадсе$k_N$ або емпіричного значення Меннінга$n$. Шорсткість Нікурадсе та значення Меннінга можуть бути пов'язані з$c_f$. Вибір між методами впливає на залежність глибини$c_f$ і тому може мати важливі наслідки для обчислюваних полів потоку.

Розглянемо два випадки, в яких$\hat{u}_0$ однаковий, але$T$ відрізняється. Для випадку з великим значенням for$T$, значення$\hat{\xi}_0$ більше, ніж у випадку з меншим значенням для$T$.

Припускаючи рівне значення для$r$, це означає, що випадок з більшим значенням для хвильового періоду дає менші значення коефіцієнта тертя хвилі. Це можна зрозуміти, враховуючи, що товщина прикордонного шару змінюється з часом. У разі більшого хвильового періоду більше часу доступно для розробки прикордонного шару, який, таким чином, досягає більшої максимальної товщини. Отже, градієнти швидкості в прикордонному шарі менші, що призводить до меншого максимального напруження зсуву і коефіцієнта тертя.

Часто застосовується вираз для$f_w$ Jonsson (1967), переписаний Swart (1974) на:

$$f_w = \exp \left [-5.977 + 5.213 \left (\dfrac{\hat{\xi}_0}{r} \right )^{-0.194} \right ] \label{eq5.4.3.7}$$

$$f_w = 0.30 \ \ \ \text{ for} \left (\dfrac{\hat{\xi}_0}{r} \right ) < 1.59 \label{eq5.4.3.8}$$

Існує багато простіших відносин, таких як (Soulsby, 1994):

$$f_w = 1.39 \left (\dfrac{\hat{\xi}_0}{r/30} \right )^{-0.52} \label{eq5.4.3.9}$$

$$f_{w, \max} = 0.3 \label{eq5.4.3.10}$$

Для величини шорсткості$r$ часто використовується так$k_s$ звана шорсткість Нікурадзе, яка зазвичай встановлюється як функція діаметра розміру зерна.

Малюнок 5.24: Коефіцієнт тертя$f_w$ як функція екскурсії частинок на шарі,$\hat{\xi}_0$ розділеної на шорсткість шару$r = k_s$. Співвідношення Eq. $\ref{eq5.4.3.7}$і$\ref{eq5.4.3.8}$ (після Чорного, 1974, чорна, суцільна лінія) порівнюється з більш простим виразом Eq. $\ref{eq5.4.3.9}$і$\ref{eq5.4.3.10}$ (після Soulsby, 1994, сіра, пунктирна лінія).

$\ref{eq5.4.3.8}$Рівняння$\ref{eq5.4.3.7}$ і показано графічно на рис. 5.24 і в порівнянні з більш простим формулюванням Eq. $\ref{eq5.4.3.9}$і$\ref{eq5.4.3.10}$. Як і очікувалося, коефіцієнт тертя$f_w$ збільшується, якщо$\hat{\xi}_0 /r$ зменшується. Верхня межа$f_w$ була поставлена під сумнів різними дослідниками: деякі припускають, що немає верхньої межі і що коефіцієнт тертя залишається пропорційним$\hat{\xi}_0 /r$.

У випадку нерегулярних хвиль амплітуда приліжкової орбітальної швидкості у вищезазначених виразах повинна базуватися на середньоквадратичній висоті хвилі та параметрі хвилі орбітальної екскурсії біля русла на середньоквадратичній висоті хвилі та піковому періоді. У прикладі 5.4.3.1 наведено приклад обчислення напружень зсуву шару.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вхідні параметри

Глибина води Висота$h = 3m$
шорсткості Висота$r = 0.06 m$
$H = 1.18 m$
хвилі Період хвилі$T = 8 s$

Необхідне напруження зсуву знизу

Вихід Амплітуду швидкості біля русла можна знайти з лінійної теорії хвиль:

$$\hat{u}_0 = \dfrac{\omega H}{2} \dfrac{1}{\sinh kh} = 1 m/s \ \text{ and }\ \hat{\xi}_0 = \dfrac{\hat{u}_0 T}{2\pi} 1.27m$$

Для значення$\hat{\xi}_0 /r > 1.59$ коефіцієнта тертя дорівнює:

$$f_w = \exp \left [-5.977 + 5.213 (\hat{\xi}_0/r)^{-0.194} \right ] = 0.045$$

Максимальне нижнє напруження зсуву випливає з:

$$\hat{\tau}_w = \dfrac{1}{2} \rho f_w \hat{u}_0^2 = 22.5 N/m^2$$

Обговорення Для максимальної орбітальної швидкості біля ліжка 1$m/s$ нижнє напруження зсуву через хвилі дорівнює 22,5$N/m^2$. Тепер розглянемо ситуацію середнього струму 1$m/s$. Припустимо, що висота шорсткості і глибина води такі ж, як і вище. За допомогою$C = 18 \log 12h/r = 50 m^{1/2}/s$ знаходимо:

$$\tau_c = \rho \dfrac{g}{C^2} U^2 = 3.9 N/m^2$$

Напруга зсуву шару внаслідок хвиль з максимальною орбітальною швидкістю біля шару 1$m/s$ майже в 6 разів перевищує значення для напруги зсуву шару через середню швидкість струму 1$m/s$. Це є прямими наслідками відмінностей товщини прикордонного шару і, отже, приліжкових градієнтів швидкості. Хвильовий прикордонний шар обмежений по товщині, тоді як поточний прикордонний шар, як правило, займає всю товщу води.