3.8.1: Динамічна теорія припливів
- Page ID
- 1578
Поки земля була схематизована так, ніби вона повністю покрита водою, при цьому земля стрімко оберталася через повільно мінливий приплив. Для напівдобового припливу це еквівалентно поширюється приливної хвилі, що покриває всю окружність землі за один день. Насправді материки перешкоджають розвитку приливного еліпсоїда і сухопутні маси не рухаються через приплив, а рухають водні маси разом з ними. Також обмежена глибина води океанів перешкоджає розвитку рівноважного припливу. Це можна реалізувати при розгляді властивостей поширення приливної хвилі. Приливна хвиля є довгою хвилею, оскільки довжина хвилі\(L \gg h\) має невелику амплітуду (близько 1 м на середній глибині океанічної води 4000 м). Тому і якщо тертям можна знехтувати, швидкість поширення хвилі випливає з (див. 3.5.2):
\[c = \sqrt{gh}\label{eq3.8.1.1}\]
де
| \(c\) | швидкість поширення хвилі | \(m/s\) |
| \(g\) | прискорення гравітації | \(m/s^2\) |
| \(h\) | глибина води | \(m\) |
Зверніть увагу, що цю фазову швидкість також можна вивести безпосередньо на основі безперервності та шляхом балансування прискорення та градієнта тиску, див. Інтермеццо 3.5.
Приплив може бути описаний рівняннями мілководдя (наближення мілководдя до рівнянь Нав'є-Стокса). Для поширення припливів у відкритих океанах ми можемо спростити ці рівняння, нехтуючи адвекцією, тертям, горизонтальною дифузією та короткохвильовими ефектами. Також припускаємо невелику амплітуду припливу і ухил дна. Отримане рівняння імпульсу являє собою баланс між прискоренням (інерцією) і градієнтом тиску:
\[\dfrac{\partial u}{\partial t} = -g \dfrac{\partial \eta}{\partial x}\label{eq3.8.1.2}\]
де\(u\) - горизонтальна швидкість і\(\eta\) піднесення коливальної поверхні. Далі ми маємо вертикально інтегроване рівняння неперервності:
\[\dfrac{\partial \eta}{\partial t} = -h \dfrac{\partial u}{\partial x}\label{eq3.8.1.3}\]
де h - глибина води. Еквас. \(\ref{eq3.8.1.2}\)і\(\ref{eq3.8.1.3}\) разом описують приливне поширення.
\(\tfrac{\partial}{\partial t}\)Взяття еквалайзера. \(\ref{eq3.8.1.3}\)і віднімання\(h \tfrac{\partial}{\partial x}\) еквалайзера. \(\ref{eq3.8.1.2}\)дає класичне хвильове рівняння:
\[\dfrac{\partial^2 \eta}{\partial t^2} = gh \dfrac{\partial^2 \eta}{\partial x^2}\label{eq3.8.1.4}\]
Підстановка прогресивної синусоїди (або еквівалентно: косинус) хвилі\(\eta = a\sin (\omega t - kx)\) на Eq. \(\ref{eq3.8.1.4}\)врожайність:
\[\omega^2 = ghk^2\]
і таким чином (тільки приймаючи позитивне рішення для\(c\)):
\[c = \dfrac{\omega}{k} = \sqrt{gh}\]
Швидкість знаходиться в фазі з поверхневим піднесенням:
\[u = \dfrac{gak}{\omega} \sin (\omega t - kx)\]
Очевидно, що для прогресивних хвиль максимальні швидкості знаходяться під гребенем хвилі. Амплітуда швидкості становить:
\[\hat{u} = \dfrac{gak}{\omega} = \dfrac{a\omega}{kh} = a \sqrt{\dfrac{g}{h}}\label{eq3.8.1.8}\]
Порівняйте цей вираз з амплітудою швидкості відповідно до лінійної хвильової теорії в наближенні мілководдя (ур. 5.4.1.2). Як бачите, вона ідентична.
Для розвитку рівноважного припливу напівдобовий приплив повинен охоплювати половину окружності землі за один період 12 годин 25 хвилин. Окружність на екваторі є\(2\pi R = 2\pi \times 6.37 \times 10^3\ km = 4.00 \times 10^4 \ km\) і, отже, необхідна швидкість поширення
\[c = 4.00 \times 10^4 \ km /(2 \times 12.42h) = 447\ m/s.\]
Це означає, що приливна хвиля вимагає глибини води 20 км - набагато більше, ніж глибина океанів - щоб подорожувати досить швидко (використовуйте Eq. \(\ref{eq3.8.1.1}\)). Відстань руху зменшується до полюсів, а отже, необхідна швидкість поширення та глибина води. Результатом є те, що глибина води стає меншою обмеженням у більш високих широтах.
Тільки в Південній півкулі на широті близько 65° С рівноважний приплив може більш-менш існувати. На південь Африки, Південної Америки та Австралії земля обведена безперервною смугою води таким чином, що приливна хвиля може подорожувати навколо землі. Крім того, на цій широті глибина води не стільки обмежує швидкість поширення, щоб оригінальний еліпсоїд міг розвиватися.
Приблизно з 65° С приливна хвиля поширюється на північ в Атлантичний, Індійський і Тихий океани. Оскільки потрібен час, щоб приливна хвиля прогресувала через океани, приливні складові в певному місці далеко від області приливної генерації (близько 65° S) відстають від теоретичних складових теорії рівноваги. Чим далі розташування знаходиться далеко від Південного полюса, тим довший часовий зсув між небесною подією і його появою у вигляді припливу.
Припускаючи середню глибину в океані 4000 м, швидкість поширення приливної хвилі становить близько\(200\ m/s\) і для\(T = 12.42\ h\) довжини хвилі\(L = 9000\ km\). Зі швидкістю\(200\ m/s\) (або\(720\ km/h\)), і якщо ви подорожуєте по більш менш прямій лінії, це займає приливна хвиля менше доби, щоб подорожувати від 65° S, щоб сказати, Шотландія. Щоб дістатися до Нідерландів, приливної хвилі потрібно перетнути мілководний басейн Північного моря. Останнє займає ще один день або близько того, оскільки швидкість розмноження сильно знижується на мілководді Північного моря. Це означає, що в Нідерландах весняний і припливний приплив відбуваються приблизно через два дні після відповідних місячних конфігурацій (див. Рис. 3.22).
На своєму шляху приливна хвиля спотворюється локальними відмінностями в глибині води і - через сухопутні маси - обмеженням ширини або відбиття. Період не змінюється, змінюється лише довжина хвилі через зміну швидкості поширення. Останнє можна проілюструвати наступним чином. Для довгої приливної хвилі хвиля швидкість хвилі пропорційна квадратному кореню глибини води. Коли приливні хвилі потрапляють у більш дрібну воду, швидкість зменшиться, що призводить до концентрації енергії і, таким чином, збільшення амплітуди припливів (порівнянна з мілководдним ефектом вітрових хвиль на мілководді; див. Розділ. 5.2.2). У більш дрібній воді вздовж узбережжя океану та мілководних морях, таких як Північне море, ми маємо, наприклад, довжину хвилі\(L = 450\ km\) (з\(h = 10\ m\) і\(c = 10\ m/s\)). Залежно від геометрії затоки, морського або океанського басейну може виникати резонанс, що призводить до посилення припливної амплітуди на узбережжі (стоячі хвилі або — у поєднанні з Коріолісом — обертові стоячі хвилі, див. 3.8.2).
У глибоких водах приливні швидкості течії дуже малі. Для глибини океану\(4000\ m\) і приливної амплітуди, наприклад,\(0.25\ m\) ми отримуємо з Eq. \(\ref{eq3.8.1.8}\)амплітуда приливної швидкості\(1.2\ cm/s\). У більш дрібній воді це зовсім інакше: амплітуда припливів і швидкості припливної течії більше. Якщо\(a = 1\ m\) і швидкість\(h = 10\ m\) припливної течії є\(1\ m/s\), значить, на два порядки більше.