3.8.3: хвилі Кельвіна
- Page ID
- 1561
Як берегові інженери нас цікавить припливне поширення і приливний діапазон уздовж кордонів океанів і морів. Щоб зрозуміти більше про поширення уздовж замкнутих прибережних кордонів, нам потрібно подальше розуміння поворотної хвилі, що утворює амгідромну систему. Ці хвилі залежать від існування замкнутої межі. Ескіз визначення наведено на рис.3.32. Поширення хвиль знаходиться в позитивному\(y\) -напрямку в Північній півкулі (NH), отже\(c\), позитивне. Така хвиля відхилилася б від цієї східної межі в Південній півкулі (SH) через Коріоліса. Тому для SH ми очікуємо хвилю, що поширюється в негативному\(y\) -напрямку (\(c\)негативному).
Як і раніше, ми припускаємо більш-менш горизонтальний ухил дна і невелику амплітуду припливів в порівнянні з глибиною води. Балансування інерції, Коріоліса, градієнт тиску та тертя шару призводить до наступних зменшених рівнянь мілководдя у двох горизонтальних розмірах:
\[\dfrac{\partial u}{\partial t} - fv = -g \dfrac{\partial \eta}{\partial x} - \dfrac{\tau_{b,x}}{\rho h}\label{eq3.8.3.1}\]
\[\dfrac{\partial v}{\partial t} + fu = -g \dfrac{\partial \eta}{\partial y} - \dfrac{\tau_{b,y}}{\rho h}\label{eq3.8.3.2}\]
де
| \(u, v\) | швидкість в\(x,y\) -напрямку | \(m/s\) |
| \(f\) | \(2 \omega_e \sin \varphi\)- параметр Коріоліса з кутовою швидкістю Землі\(\omega_e = 72.9 \times 10^{-6}\ rad/s\) і широтою\(\varphi\) позитивної в NH і негативною в SH | \(1/s\) |
| \(\eta\) | коливальна зміна рівня води | \(m\) |
| \(\tau_{b, x}\) | нижнє напруження зсуву в\(x\) напрямку | \(N/m^2\) |
| \(\tau_{b, y}\) | нижнє напруження зсуву в\(x\) напрямку | \(N/m^2\) |
| \(\rho\) | щільність води | \(kg/m^3\) |
| \(h\) | глибина води | \(m\) |
Прискорення Коріоліса було введено у вищезазначених рівняннях руху таким чином, що воно робить прямий кут зі швидкістю частинок і діє вправо (праворуч) у NH та вліво (до порту) у SH (див. Intermezzo 3.1). Перевірте самі ознаки термінів Коріоліса в Eqs. \(\ref{eq3.8.3.1}\)і\(\ref{eq3.8.3.2}\). При цьому зауважте, що\(\varphi\) широта і, отже, параметр Коріоліса\(f\) мають позитивні значення в NH та негативні значення в SH.
Безперервність вимагає:
\[\dfrac{\partial \eta}{\partial t} + h \left (\dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial v}{\partial y} \right ) = 0\]
Якщо знехтувати тертям і зрозуміти, що швидкість\(u\) на замкнутій межі (берегова лінія) дорівнює нулю, рівняння балансу зводяться до:
\[-fv = -g \dfrac{\partial \eta}{\partial x}\label{eq3.8.3.3}\]
\[\dfrac{\partial v}{\partial t} = -g \dfrac{\partial \eta }{\partial y} \label{eq3.8.3.4}\]
\[h \dfrac{\partial v}{\partial y} = -\dfrac{\partial \eta}{\partial t}\label{eq3.8.3.5}\]
Зверніть увагу, що баланс імпульсу крос-шор (\(x\)) (ур. \(\ref{eq3.8.3.3}\)) є геодестрофічним: існує баланс між силою Коріоліса і градієнтом тиску через перепади рівня води. Це можна порівняти з впливом Коріоліса на потік в обмеженому каналі (див. Інтермеццо 3.6). Баланс імпульсу вздовж берега, ур. \(\ref{eq3.8.3.4}\), такий же, як і для мілководних гравітаційних хвиль (прогресивні приливні хвилі від Intermezzo 3.5). Рівняння,\(\ref{eq3.8.3.4}\) поєднане з приведеним рівнянням неперервності, Eq \(\ref{eq3.8.3.5}\)дає набір рівнянь, які еквівалентні Eqs. 3.8.1.2 і 3.8.1.3 і, таким чином, має еквівалентне рішення. Тепер підставляємо це рішення\(\eta = \hat{\eta} \cos (\omega t - ky)\) і\(v = g/c \eta\) з\(c = \pm \sqrt{gh}\) в рівнянні геустрофічного потоку, Eq. \(\ref{eq3.8.3.3}\). Отримане рівняння тепер дає рішення, відоме як хвиля Кельвіна:
\[\eta (x, y, t) = \eta_0 e^{(\tfrac{fx}{c})} \cos (\omega t - ky)\]
\[v(x, y, t) = \tfrac{c}{h} \eta_0 e^{(\tfrac{fx}{c})} \cos (\omega t - ky)\]
Хвиля Кельвіна поширюється по узбережжю (в\(y\) -напрямку) зі швидкістю мілководдя. Швидкість вздовж берега знаходиться в фазі з рівнем води (що стосується розповсюджуючої хвилі Intermezzo 3.5). Амплітуда максимальна на узбережжі (\(\eta_0\)), а потім розпадається з віддаленістю від узбережжя (в негативному\(x\) -напрямку). Масштаб розпаду,\(c/f\) в якому змінними є широта і глибина води:
\[\dfrac{c}{f} = \sqrt{gh} \dfrac{1}{1.46 \times 10^{-4} \times \sin \varphi} = 21453 \dfrac{\sqrt{h}}{\sin \varphi}\]
На 45° широти це становить близько 1900 км для глибоких океанів із середньою глибиною води 4000 м і до хороших 200 км для мілкого моря з типовою глибиною води 50 м.
Значення\(c/f\) не може бути негативним, оскільки це призведе до зростання рівня моря експоненціально в офшорі. Це означає, як і очікувалося, що хвиля Кельвіна\(f\) поширюється в позитивному\(y\) напрямку в NH (де позитивний) і в негативному\(y\) -напрямку в SH (де\(f\) негативний).
Якщо потік відбувається в обмеженому каналі або каналі, що запобігає відхиленню курсу (тобто постійний струм), прискорення Коріоліса спричиняє градієнт тиску через трубопровід:
\[\dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial p}{\partial n} = 2 \omega_e V \sin \varphi\]
де
| \(\rho\) | щільність води | \(kg/m^3\) |
| \(\rho\) | тиск води | \(N/m^2\) |
| \(n\) | нормальний і спрямований на правий борт струму\(V\) | - |
У потоці відкритого каналу градієнт тиску стає видимим як градієнт водної поверхні:
\[\dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial p}{\partial n} = g \dfrac{\partial \eta}{\partial n}\]
Примітка: при порівнянні двох вищезазначених рівнянь (Eqs. 3.45 та 3.46) з повною інтегрованою глибиною рівняннями мілководдя видно, що зберігається лише градієнт тиску, обумовлений поверхнею рівня води та прискорення Коріоліса.
Як приклад ми обчислюємо різницю рівня моря через Флоридську протоку. Флоридська течія розташована на широті 26° с.ш.; швидкість течії близько 1 м/с; ширина Флоридської протоки близько 80 км.
\[\dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial p}{\partial n} = 2 \cdot 0.729 \times 10^4 \cdot \sin 26^{\circ} \cdot 1 = 6.4 \times 10^{-5} m/s^2\]
Перепад висот понад 80 км обчислюється наступним чином:
\[\Delta \eta = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial p}{\partial n} \dfrac{\Delta x}{g} = \dfrac{6.4 \times 10^{-5}}{9.81} \cdot 80 \times 10^3 = 0.52m\]
Спостережувана величина - 0,45 м, що близько до нашої оцінки. (Подібні обчислення можуть бути зроблені для, наприклад, Західної Шельди, Британського каналу або Голландського Texel Inlet).
Хвиля Кельвіна - це прибережна хвиля; їй потрібна берегова лінія. У NH хвиля поширюється на полюс вздовж східної межі та екватора вздовж західної межі з максимальною амплітудою на кордоні. Таким чином, він утворює хвилю, захоплену до кордону і обертається проти годинникової стрілки навколо амгідромної точки (як стояча хвиля, але зараз обертається). Обертання відбувається за годинниковою стрілкою в Ш.
У Північному морі можна спостерігати множинні амгідромні точки (див. Рис. 3.31). Хвиля Кельвіна входить в басейн Північного моря з півночі. Частина енергії розсіюється в басейні, а частина відбивається від мілководних ділянок в південній частині Північного моря. Ця відбита хвиля формує власну амгідромну систему.
Для ідеальної хвилі Кельвіна тертя не враховується. Нехтування тертям може бути хорошим наближенням для більш глибокої води. Біля узбережжя інерція відносно неважлива, але потрібно враховувати тертя дна. Потім швидкість регулюється балансом між тертям дна та градієнтом рівня води вздовж берега. Більш докладно це буде розглянуто в гл. 5.