9: Вихровість

Last updated
Save as PDF

Page ID: 37197

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Перед обговоренням океанічних течій є ще одне ключове поняття, яке необхідно ввести: завихреність. По суті, завихреність така ж, як обертання в горизонтальній площині. Математично завихреність\(\zeta\) визначається як:

\[\zeta=\dfrac{dv}{dx}-\dfrac{du}{dy} \label{8.1}\]

Що також є лише завитком швидкості.

\[\zeta=\vec{∇⃗} \times \vec{v}\]

Позитивна завихреність означає, що рідина обертається проти годинникової стрілки, тоді як негативна завихреність передбачає обертання за Використовуючи горизонтальні рівняння балансу імпульсу\((1.2a)\) та\((1.2b)\) з розділу 1, можна побудувати рівняння завихреності, що описує часовий розвиток завихреності ділянки рідини. При припущенні, що щільність рідини постійна, це рівняння стає:

\[\dfrac{d\zeta}{dt}=\dfrac{d\left(\dfrac{dv}{dt}\right)}{dx}-\dfrac{d\left(\dfrac{du}{dt}\right)}{dy}= -f\left(\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dy}\right)-\beta v+K_h \left(\dfrac{d^2\zeta}{dx^2}+\dfrac{d^2\zeta}{dy^2}\right)+K_v\dfrac{d^2\zeta}{dz^2} \label{8.2} \]

с\(\beta=\dfrac{df}{dy}\). Терміни з правого боку рівняння можна інтерпретувати наступним чином:\(-f\left(\dfrac{du}{dx}+\dfrac{dv}{dy}\right)\) говорить про те, що горизонтальна розбіжність або збіжність потоку призводить до обертання за рахунок сили Коріоліса;\(\beta v\) це так званий\(\beta\) -ефект: як посилка рухається в меридіональному (Північ-Південь) напрямок, він має тенденцію до обертання, тому що сила Коріоліса сильніша на одній стороні посилки, ніж на іншій стороні; подальші терміни просто вказують на турбулентну дифузію завихреності.