1.6: Операції з матрицями

У попередньому розділі ми побачили важливий зв'язок між лінійними функціями та матрицями. У цьому розділі ми обговоримо різні операції над матрицями, які нам знадобляться в нашій подальшій роботі з лінійними функціями.

Алгебра матриць

Якщо\(M\) \(n \times m\)матриця with\(a_{i j}\) в\(i\) -му рядку і\(j\) й стовпці\(i=1,2, \ldots, n, j= 1,2, \ldots, m\), то напишемо\(M=\left[a_{i j}\right]\). За допомогою цього позначення визначення додавання, віднімання та скалярного множення для матриць є прямими.

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Припустимо\(N=\left[b_{i j}\right]\),\(M=\left[a_{i j}\right]\) і є\(n \times m\) матрицями і\(c\) є дійсним числом. Потім визначаємо

\[ M+N=\left[a_{i j}+b_{i j}\right],\]

\[M-N=\left[a_{i j}-b_{i j}\right],\]

і

\[c M=\left[c a_{i j}\right] .\]

Іншими словами, ми визначаємо додавання, віднімання та скалярне множення для матриць, виконуючи ці операції над окремими елементами матриць, подібно до того, як ми виконуємо ці операції над векторами.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Якщо

\ [M=\ left [\ begin {масив} {rrr}
1 & 2 & 3\\
-5 & 3 & -1
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

і

\ [N=\ left [\ begin {масив} {rrr}
3 & 1\\
1 & -3 & 2
\ end {масив}\ праворуч],\ nonumber\]

то, наприклад,

\ [\ почати {вирівняний}
&M+N=\ лівий [\ почати {масив} {rrr}
1+3 & 2+1 & 3+4\\
-5+1 & 3-3 & -1+2
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ початок {масив} {rrr}
4 & 3\\
-4 & 0 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч], \\
&M-N=\ лівий [\ почати {масив} {rrr}
1-3 & 2-1 & 3-4\\
-5-1 & 3+3 & -1-2
\ кінець {масив}\ справа] =\ лівий [\ begin {масив} {lll}
-2 & 1\\
-6 & 6 & -3
\ end {масив}\ праворуч],
\ end {вирівняний}\ nonumber\]

і

\ [3 M=\ лівий [\ begin {масив} {rrr}
3 & 6 & 9\\
-15 & 9 & -2
\ end {масив}\ праворуч]. \ номер\]

Ці операції мають природні інтерпретації з точки зору лінійних функцій. Припустимо\(K: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) ,\(L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) і є лінійними з\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) і\(K(\mathbf{x})=N \mathbf{x}\) для\(n \times m\) матриць\(M\) і\(N\). Якщо ми\(L+K: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}\) визначимо

\[ (L+K)(\mathbf{x})=L(\mathbf{x})+K(\mathbf{x}) ,\]

потім

\[ (L+K)\left(\mathbf{e}_{j}\right)=L\left(\mathbf{e}_{j}\right)+K\left(\mathbf{e}_{j}\right) \]

для\(j=1,2, \ldots, m\). Звідси\(j\) й стовпець матриці,\(L+K\) який представляє собою суму\(j\) го стовпців\(M\) і\(N\). Іншими словами,

\[ (L+K)(\mathbf{x})=(M+N) \mathbf{x}\]

для всіх\(\mathbf{x}\) в\(\mathbb{R}^{m}\). Аналогічно, якщо ми\(L-K: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) визначимо

\[ (L-K)(\mathbf{x})=L(\mathbf{x})-K(\mathbf{x}) ,\]

потім

\[(L-K)(\mathbf{x})=(M-N) \mathbf{x} .\]

Якщо, для будь-якого скаляра\(c\), ми визначаємо\(c L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) по

\[ c L(\mathbf{x})=c(L(\mathbf{x})) ,\]

потім

\[ c L\left(\mathbf{e}_{j}\right)=c\left(L\left(\mathbf{e}_{j}\right)\right) \]

для\(j=1,2, \ldots, m\). Звідси\(j\) й стовпець матриці, який представляє,\(cL\) є скалярним,\(c\) кращим від\(j\) го стовпця\(M\). Тобто,

\[ c L(\mathbf{x})=(c M) \mathbf{x} \]

для всіх\(\mathbf{x}\) в\(\mathbb{R}^{m}\). Коротше кажучи, операції додавання, віднімання та скалярного множення для матриць природним чином відповідають операціям додавання, віднімання та скалярного множення для лінійних функцій.

Тепер розглянемо випадок, де\(L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{p}\) і\(K: \mathbb{R}^{p} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) знаходяться лінійні функції. \(M\)Дозволяти\(p \times m\) матриця така, що\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\) для всіх\(\mathbf{x}\) в\(\mathbb{R}^{m}\) і нехай\(N\) буде\(n \times p\) матриця така, що\(K(\mathbf{x})=N \mathbf{x}\) для всіх\(\mathbf{x}\) в\(\mathbb{R}^{p}\). Так як для будь-якого\(\mathbf{x}\) в\(\mathbb{R}^{m}\),\(L(\mathbf{x})\) знаходиться в\(\mathbb{R}^{p}\), ми можемо сформувати\(K \circ L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\), склад\(K\) з\(L\), визначається

\[ K \circ L(\mathbf{x})=K(L(\mathbf{x})). \]

Зараз

\[ K(L(\mathbf{x}))=N(M \mathbf{x}) ,\]

тому було б природно визначити\(NM\), добуток матриць\(N\) і\(M\), щоб бути матрицею\(K \circ L\), в цьому випадку ми б

\[ N(M \mathbf{x})=(N M) \mathbf{x}.\]

Таким чином, ми хочемо, щоб\(j\) той стовпець\(NM\)\(j=1,2, \ldots, m\),, бути

\[K \circ L\left(\mathbf{e}_{j}\right)=N\left(L\left(\mathbf{e}_{j}\right)\right),\]

який є лише точковим\(L\left(\mathbf{e}_{j}\right)\) добутком з рядків\(N\). Але\(L\left(\mathbf{e}_{j}\right)\) це\(j\) й стовпець\(M\), тому стовпець з\(NM\) формується шляхом прийняття точкового добутку\(j\) го стовпця\(M\) з рядків\(N\).\(j\) Іншими словами, запис у\(i\) -му рядку та\(j\) стовпці\(NM\) - це крапковий\(i\) добуток го рядка\(N\) з\(j\) го стовпчика\(M\). Ми виписуємо це явно в наступному визначенні.

Визначення\(\PageIndex{2}\)

Якщо\(N=\left[a_{i j}\right]\)\(n \times p\) матриця і\(M=\left[b_{i j}\right]\) є\(p \times m\) матрицею, то визначаємо добуток\(N\) і\(M\) бути\(n \times m\) матрицею\(N M=\left[c_{i j}\right]\), де

\[ c_{i j}=\sum_{k=1}^{p} a_{i k} b_{k j} , \]

\(i=1,2, \ldots, n \text { and } j=1,2, \ldots, m . \)

Зауважте, що\(NM\) є\(n \times m\) матрицею, оскільки\(K \circ L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\). Причому\(NM\) добуток двох матриць\(N\) і\(M\) визначається тільки тоді, коли кількість стовпців\(N\) дорівнює числу рядків\(M\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Якщо

\ [N=\ left [\ begin {масив} {rr}
1 & 2\\
-1 & 3\\
2 & -2
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

і

\ [M=\ left [\ begin {масив} {rrrr}
2 & -2 & 1\\
1 & 2 & -1 & -2
\ end {масив}\ праворуч],\ nonumber\]

потім

\ begin {вирівняний}
N M &=\ лівий [\ begin {масив} {rr}
1 & 2\\
-1 & 3\
2 & -2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ begin {масив} {rrrr}
2 & -2 & 1\\
1 & 2 & 1 & 2 & -1 & -2
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
&=\ ліворуч [\ почати {масив} {rrrr}
2+2 & -2+4 & 1-2\\
-2+3 & 2+6 & -1-3 & -3-6\\
4-2 & -4-4 & 2+2 & 6+4
\ end {масив}\ праворуч]\\
&=\ лівий [\ почати {масив} {rrrr}
4 & 2 & -1 & -1\\
1 & 8 & -4 & -9\\
2 & -8 & 4 & 10
\ end {масив}\ праворуч].
\ end {вирівняний}

Зверніть увагу, що\(N\) є\(3 \times 2\),\(M\) є\(2 \times 4\), і\(NM\) є\(3 \times 4\). Також врахуйте, що неможливо сформувати товар в іншому порядку.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\)Дозволяти лінійну функцію, визначену

\[ L(x, y)=(3 x-2 y, x+y, 4 y) \nonumber \]

і нехай\(K: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) буде лінійна функція, визначена

\[ K(x, y, z)=(2 x-y+z, x-y-z). \nonumber\]

Тоді матриця\(L\) для

\ [M=\ left [\ begin {масив} {rr}
3 & -2\\
1 & 1\\
0 & 4
\ end {масив}\ праворуч],\ nonumber\]

матриця\(K\) для

\ [N=\ left [\ begin {масив} {rrr}
2 & -1 & 1\
1 & -1 & -1
\ end {масив}\ праворуч],\ nonumber\]

і матриця\(K \circ L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) для

\ [N M =\ лівий [\ початок {масив} {rrr}
2 & -1 & 1\
1 & -1 & -1
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ початок {масив} {rr}
3 & -2\\
1 & 1\\
0 & 4
\ end {масив}\ праворуч] =\ left [\ begin {масив} {ll}
6-1+0 & -4-1+4\\
3-1+0 & -2-1-4
\ end {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ begin {масив} {ll}
5 & -1\\
2 & -7
\ end {масив}\ праворуч]. \ номер\]

Іншими словами,

\ [K\ circ L (x, y) =\ лівий [\ почати {масив} {ll}
5 & -1\\
2 & -7
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ початок {масив} {l}
x\
y
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ початок {масив} {c}
5 x-y\
2 x-7 y
\ кінець {масив}\ право]. \ номер\]

Відзначимо, що саме в цьому випадку можна сформувати композицію в іншому порядку. Матриця\(L \circ K: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\) для

\ [M N =\ лівий [\ початок {масив} {rr}
3 & -2\\
1 & 1\\
0 & 4
\ кінець {масив}\ праворуч]\ лівий [\ початок {масив} {rrr}
2 & -1 &
1\ -1 & -1
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {rrr}
6-2 & -3+2 & 3+2\\
2+1 & -1-1 & 1-1\\
0+4 & 0-4 & 0-4
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {rrr}
4 & -1 & 5\\
3 & -2 & 0\\
4 & -4 & -4 & -4
\ кінець {масив }\ право],\ nonnumber\]

і так

\ [L\ circ K (x, y, z) =\ лівий [\ почати {масив} {rrr}
4 & -1 & 5\\
3 & -2 & 0\\
4 & -4 & -4
\ end {масив}\ справа]\ лівий [\ початок {масив} {l}
x\
y\
z
\ кінець {масив}\ праворуч] =\ лівий [\ почати {масив} {c}
4 x-y+5 z\\
3 x-2 y\\
4 x-4 y-4 z
\ end {масив}\ праворуч]. \ номер\]

Зокрема, відзначимо, що не тільки є\(N M \neq M N\), але насправді\(NM\) і\(MN\) навіть не однакового розміру.

Детермінанти

Поняття детермінанти матриці тісно пов'язане з ідеєю площі та обсягу. Для початку нашого визначення розглянемо\(2 \times 2\) матрицю

\ [M=\ left [\ begin {масив} {ll}
a_ {1} & a_ {2}\\
b_ {1} & b_ {2}
\ end {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Паралелограм в\(\mathbb{R}^{2}\) з суміжними сторонами\(\mathbf{a}\) і\(\mathbf{b}\)

і нехай\(\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right)\) і\(\mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right)\). Якщо\(P\) паралелограм, який має\(\mathbf{a}\) і\(\mathbf{b}\) для суміжних сторін і\(A\) є площею\(P\) (див. Рис. 1.6.1), то ми побачили в розділі 1.3 що

\[ A=\left\|\left(a_{1}, a_{2}, 0\right) \times\left(b_{1}, b_{2}, 0\right)\right\|=\|\left(0,0, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \|=\left|a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right|\right. . \]

Це мотивує наступне визначення.

Визначення\(\PageIndex{3}\)

Задано\(2 \times 2\) матрицю

\ [M=\ left [\ begin {масив} {ll}
a_ {1} & a_ {2}\\
b_ {1} & b_ {2}
\ кінець {масив}\ праворуч],\ nonumber\]

визначник\(M\), позначається det (\(M\)), є

\[ \operatorname{det}(M)=a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} . \label{1.6.18} \]

Звідси ми маємо\(A=|\operatorname{det}(M)|\). Словом, для\(2 \times 2\) матриці\(M\) абсолютне значення детермінанта\(M\) дорівнює площі паралелограма, який має рядки\(M\) для сусідніх сторін.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

У нас є

\ [\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {rr}
1 & 3\\
-4 & 5
\ end {масив}\ справа] =( 1) (5) - (3) (-4) =5+12=17. \ номер\]

Тепер розглянемо\(3 \times 3\) матрицю

\ [M=\ лівий [\ почати {масив} {lll}
a_ {1} & a_ {2} & a_ {3}\\
b_ {1} & b_ {2} & b_ {2} & b_ {3}\\
c_ {1} & c_ {2} & c_ {3}
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

і нехай\(\mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)\)\(\mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)\), і\(\mathbf{c}=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)\). Якщо\(V\) обсяг паралелепіпеда\(P\) з сусідніми ребрами\(\mathbf{a}\)\(\mathbf{b}\), і\(\mathbf{c}\), то, знову з розділу 1.3,

\ [\ почати {вирівняти}
V &=|\ mathbf {a}\ точка (\ mathbf {b}\ раз\ mathbf {c}) |\ номер\
&=\ ліворуч | a_ {1}\ ліворуч (b_ {2} c_ {3} -b_ {3} c_ {2}\ праворуч) +a_ {2}\ ліворуч (b_ {3} c_ {1} -b_ {1} c_ {3}\ праворуч) +a_ {3}\ ліворуч (b_ {1} c_ {2} -b_ {2} c_ {1}\ праворуч)\\ nonnumber\\
&=\ left|a_ {1}\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {ll}
b_ {2} & b_ {3}\ nonumber\\
c_ {2} & c_ {3}
\ кінець {масив}\ справа] -a_ {2}\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {ll}
b_ {1} & b_ {3}\ nonumber\
c_ {1} & c_ {3}
\ end {масив}\ право] +a_ {3}\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {ll}
b_ {1} & b_ {2}\ nonumber\\
c_ {1} & c_ {2}
\ end {масив}\ право]\ right|. \ етикетка {}
\ end {вирівняти}\]

Визначення\(\PageIndex{4}\)

Задано\(3 \times 3\) матрицю

\ [M=\ лівий [\ почати {масив} {lll}
a_ {1} & a_ {2} & a_ {3}\\
b_ {1} & b_ {2} & b_ {2} & b_ {3}\\
c_ {1} & c_ {2} & c_ {3}
\ кінець {масив}\ праворуч],\ nonumber\]

визначник\(M\), позначається det (\(M\)), є

\ [\ ім'я оператора {det} (M) =a_ {1}\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {ll}
b_ {2} & b_ {3}\\
c_ {2} & c_ {3}
\ кінець {масив}\ справа] -a_ {2}\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {ll}
b_ {1} & b_ {3}\\
c_ {1} & c_ {3}
\ end { масив}\ праворуч] +a_ {3}\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {ll}
b_ {1} & b_ {2}\\
c_ {1} & c_ {2}
\ end {масив}\ право]. \ етикетка {1.6.20}\]

Аналогічно\(2 \times 2\) випадку, у нас є\(V=|\operatorname{det}(M)|\).

Приклад\(\PageIndex{5}\)

У нас є

\ begin {вирівняний}
\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {llr}
2 & 3 & 9\\
2 & 1 & -4\\
5 & 1 & -1
\ end {масив}\ праворуч] &=2\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {cc}
1 & -4\\
1 & amp; -1
\ end {масив}\ праворуч] -3\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {cc}
2 & -4
\
5 & -1\ кінець {масив}\ праворуч] +9\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {cc}
2 & 1\

\ end {масив}\ праворуч]\
&=2 (-1+4) -3 (-2+20) +9 (2-5)\\
&=6-54-27\\
&=-75.
\ end {вирівняний}

Задано\(n \times n \) матрицю\(M=\left[a_{i j}\right]\), нехай\(M_{i j}\) буде\((n-1) \times(n-1)\) матриця, отримана шляхом видалення\(i\) го рядка та\(j\) стовпчика\(M\). Якщо для\(n=1\) ми спочатку визначаємо\(\operatorname{det}(M)=a_{11}\) (тобто детермінант\(1 \times 1 \) матриці - це лише значення її єдиного запису), то ми могли б висловити\(n=2\), для, визначення детермінанти\(2 \times 2 \) матриці, заданої в (\(\ref{1.6.18}\)) у вигляді

\[ \operatorname{det}(M)=a_{11} \operatorname{det}\left(M_{11}\right)-a_{12} \operatorname{det}\left(M_{12}\right)=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}. \]

Аналогічно\(n=3\), з, ми могли б висловити визначення\(M\) детермінанти заданого в (\(\ref{1.6.20}\)) у формі

\[ \operatorname{det}(M)=a_{11} \operatorname{det}\left(M_{11}\right)-a_{12} \operatorname{det}\left(M_{12}\right)+a_{13} \operatorname{det}\left(M_{13}\right). \]

За цією схемою ми можемо сформувати рекурсивне визначення детермінанти\(n \times n\) матриці.

Визначення\(\PageIndex{5}\)

Припустимо,\(M=\left[a_{i j}\right]\) це\(n \times n\) матриця і нехай\(M_{i j}\) буде\((n-1) \times(n-1)\) матриця, отримана шляхом видалення\(i\) го рядка і\(j\) го стовпця\(M\),\(i=1,2, \ldots, n\) і\(j=1,2, \ldots, n\). Для\(n=1\), визначаємо детермінант\(M\), позначається\(\operatorname{det}(M)\), по

\[ \operatorname{det}(M)=a_{11} \]

Для\(n > 1\), визначаємо детермінант\(M\), позначається\(\operatorname{det}(M)\), по

\ [\ begin {вирівнювання}
\ ім'я оператора {det} (M) &=a_ {11}\ ім'я оператора {det}\ left (M_ {11}\ праворуч) -a_ {12}\ ім'я оператора {det}\ left (M_ {12}\ праворуч) +\ cdots+ (-1) ^ {1+n} a_ {1 n}\ ім'я оператора {det}\ ліворуч (M_ {1 n}\ праворуч)\ номер\\
&=\ sum_ {j=1} ^ {n} (-1) ^ {1+j} a_ {1 j}\ ім'я оператора {det}\ left (M_ {1 j}\ праворуч). \ етикетка {1.6.24}
\ кінець {вирівнювання}\]

Ми називаємо визначення рекурсивним, тому що ми визначили детермінант\(n \times n\) матриці через детермінант\((n-1) \times(n-1)\) матриць, які, в свою чергу, визначаються через детермінант\((n-2) \times(n-2)\) матриць і так далі, поки ми не звели задачу до обчислення детермінанти\(1 \times 1\) матриць.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Для прикладу детермінанти\(4 \times 4\) матриці ми маємо

\ begin {вирівняний}
\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {rrrr}
2 & 1 & 3\
2 & 1 & 1\\ 2 & 1\\
-2 & 3 & -1 & 2\\
1 & 1 & 1
\ end {масив}\ праворуч] =2 &\\ ім'я оператора {det}\ ліворуч [\ почати {масив} {rrr}
1 & 4 & 1\\
3 & -1 & 2\\
2 & 1 & 1
\ кінець {масив}\ право] -\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {rrr}
2 & 4 & 1\
-2 & -1 & 2\\
1 & 11 & amp; 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
&+3\ ім'я оператора {det}\ лівий [\ begin {масив} {rrr}
2 & 1\\
-2 & 3\\
1 & 2 & 2 & 1
\ end {масив}\ справа] -2\ ім'я оператора {det}\ left [\ почати {масив} {rrr}
2 & 1 & 4\\
-2 & 3 & -1\\
1 & 1 & 1
\ кінець {масив}\ праворуч]\\
=& 2 (-1-2) -4 (3-4) + (3+2)) - (2 (-1-2)\\
&\ quad-4 (-2-2) + (-2+1)) +3 (2 (3-4) - (-2-2)\\
&+ (-4-3) -2 (2 (3+2) - (-2+1) +4 (-4-3))\\
=& 2 (-3+4+5) - (-6+16-1) +3 (-2+4-7)\\
&\ квадро-2 (10+1-28)\\
=& 12-9-15+34\\
=& 22.
\ end {вирівняний}

Наступна теорема стверджує, що немає нічого особливого у використанні першого рядка матриці в розширенні детермінанти, зазначеної в (\(\ref{1.6.24}\)), а також немає нічого особливого щодо розширення вздовж рядка замість стовпця. Практичний ефект полягає в тому, що ми можемо обчислити детермінант даної матриці, що розширюється вздовж того, який рядок або стовпчик є найбільш зручним. Доказ цієї теореми приведе нас занадто далеко на цьому етапі, тому ми опустимо її (але вас попросять перевірити теорему для особливих випадків\(n=2\) та\(n=3\) у вправі 10).

Теорема\(\PageIndex{1}\)

\(M=\left[a_{i j}\right]\)Дозволяти\(n \times n\) матриця і\(M_{i j}\) нехай\((n-1) \times(n-1)\) матриця отримана шляхом видалення\(i\) го рядка і\(j\) го стовпця\(M\). Тоді для будь-якого\(i=1,2, \ldots, n\),

\[ \operatorname{det}(M)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det}\left(M_{i j}\right), \]

і для будь-якого\(j=1,2, \ldots, n\),

\[ \operatorname{det}(M)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det}\left(M_{i j}\right), \label{1.6.26} \]

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Найпростіший спосіб обчислення визначника матриці

\ [M=\ left [\ begin {масив} {rrr}
4 & 0 & 3\\
2 & 3 & 1\\
-3 & 0 & -2
\ кінець {масив}\ праворуч]\ nonumber\]

полягає в розширенні уздовж другого стовпчика. А саме,

\ begin {вирівняний}
\ ім'я оператора {det} (M) =& (-1) ^ {1+2} (0)\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {rr}
2 & 1\
-3 & -2
\ end {масив}\ праворуч] + (-1) ^ {2+2} (3)\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {rr}
4 & 3\\
-3 & -2
\ end {масив}\ праворуч]\\
&+ (-1) ^ {3+2} (0)\ ім'я оператора {det}\ left [\ begin {масив} {ll}
4 & 3\\
2 & 1
\ end {масив}\ праворуч]\\
=& 3 (-8+9)\\
=& 3.
\ end {вирівняний}

Слід переконатися, що розширення уздовж першого ряду, як ми це робили при визначенні детермінанта, дає той же результат.

Для того щоб повернутися до проблеми обчислення обсягів, нам потрібно визначити паралелепіпед в\(\mathbb{R}^{n}\). Спочатку зауважте, що якщо\(P\) є паралелограмом в\(\mathbb{R}^{2}\) з сусідніми сторонами, заданими векторами\(\mathbf{a}\) і\(\mathbf{b}\), то

\[ P=\{\mathbf{y}: \mathbf{y}=t \mathbf{a}+s \mathbf{b}, 0 \leq t \leq 1,0 \leq s \leq 1\}. \]

Тобто, for\(0 \leq t \leq 1\),\(\text { ta }\) є точкою між\(\mathbf{0}\) і\(\mathbf{a}\), і for\(0 \leq s \leq 1\),\(s \mathbf{b}\) є точкою між\(\mathbf{0}\) і\(\mathbf{b}\); отже\(t \mathbf{a}+s \mathbf{b}\), точка в паралелограмі\(P\). Причому кожен пункт в\(P\) може бути виражений саме в такому вигляді. Див. Малюнок 1.6.2. Наступне визначення узагальнює цю характеристику паралелограм.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Паралелограм в\(\mathbb{R}^{2}\) з суміжними сторонами\(\mathbf{a}\) і\(\mathbf{b}\)

Визначення\(\PageIndex{6}\)

\(\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{n}\)Дозволяти лінійно незалежні вектори в\(\mathbb{R}^{n}\). Дзвонимо

\[ P=\left\{\mathbf{y}: y=t_{1} \mathbf{a}_{1}+t_{2} \mathbf{a}_{2}+\cdots+t_{n} \mathbf{a}_{n}, 0 \leq t_{i} \leq 1, i=1,2, \ldots, n\right\} \]

n-мірний паралелепіпед з сусідніми ребрами\(\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{n}\).

Визначення\(\PageIndex{7}\)

\(P\)Дозволяти n -мірний паралелепіпед з сусідніми ребрами\(\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{n}\) і\(M\) нехай\(n \times n\) матриця, яка має\(\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{n}\) для своїх рядків. Тоді обсяг\(P\) визначається бути\(|\operatorname{det}(M)| \).

За допомогою (\(\ref{1.6.26}\)) та індукції може бути показано, що якщо\(N\) матриця отримана шляхом зміни рядків та стовпців\(n \times n\) матриці\(M\), то\(\operatorname{det}(N)=\operatorname{det}(M)\) (див. Вправа 12). Таким чином, ми могли б визначити\(M\) в попередньому визначенні, використовуючи\(\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \ldots, \mathbf{a}_{n}\) для стовпців, а не рядків.

Тепер припустимо\(L: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) , лінійний і нехай\(M\) буде\(n \times n\) матриця така, що\( L(\mathbf{x})=M \mathbf{x} \) для всіх\(\mathbf{x}\) в\(\mathbb{R}^{n}\). \(C\)Дозволяти\(n\) -мірний паралелепіпед з суміжними ребрами\(\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \ldots, \mathbf{e}_{n}\), стандартні базисні вектори для\(\mathbb{R}^{n}\). Тоді\(C\) \(1 \times 1\)квадрат коли\(n=2\) і\(1 \times 1 \times 1\) куб коли\(n=3\). Загалом, ми можемо розглядати\(C\) як\(n\) -мірний одиничний куб. Зверніть увагу, що обсяг\(C\) є, за визначенням,

\ [\ ім'я оператора {det}\ лівий [\ почати {масив} {ccccc}
1 & 0 & 0 &\ cdots &
0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
cdots & 0\\ 0 & 0 &
\ cdots &
0\\ vdots &\ vdots &\\ dots\\ підсилювач; 0 & 0 &\ cdots & 1
\ end {масив}\ праворуч] =1. \ номер\]

Припустимо\(L\left(\mathbf{e}_{1}\right), L\left(\mathbf{e}_{2}\right), \ldots, L\left(\mathbf{e}_{n}\right)\), лінійно незалежні і нехай\(P\) бути\(n\) -мірний паралелепіпед з сусідніми ребрами\(L\left(\mathbf{e}_{1}\right), L\left(\mathbf{e}_{2}\right), \ldots, L\left(\mathbf{e}_{n}\right)\). Зверніть увагу, що якщо

\[ \mathbf{x}=t_{1} \mathbf{e}_{1}+t_{2} \mathbf{e}_{2}+\cdots+t_{n} \mathbf{e}_{n} , \nonumber \]

де\(0 \leq t_{k} \leq 1\) для\(k=1,2, \ldots, n\), це точка в\(C\), то

\[ L(\mathbf{x})=t_{1} L\left(\mathbf{e}_{1}\right)+t_{2} L\left(\mathbf{e}_{2}\right)+\cdots+t_{n} L\left(\mathbf{e}_{n}\right) \nonumber \]

це точка в\(P\). Фактично,\(L\) відображає n -вимірний одиничний куб\(C\) точно на\(n\) - розмірний паралелепіпед\(P\). Оскільки\(L\left(\mathbf{e}_{1}\right), L\left(\mathbf{e}_{2}\right), \ldots, L\left(\mathbf{e}_{n}\right)\) є стовпцями\(M\), то випливає, що обсяг\(P\) дорівнює\(|\operatorname{det}(M)|\). Іншими словами,\(|\operatorname{det}(M)|\) вимірює, наскільки\(L\) розтягує або зменшує об'єм одиничного куба.

Теорема\(\PageIndex{2}\)

Припустимо\(L: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}\) , є\(M\) лінійним і є\(n \times n\) матриця така, що\(L(\mathbf{x})=M \mathbf{x}\). Якщо\(L\left(\mathbf{e}_{1}\right), L\left(\mathbf{e}_{2}\right), \ldots, L\left(\mathbf{e}_{n}\right)\) лінійні незалежні і являють\(P\) собою\(n\) -мірний паралелепіпед з сусідніми ребрами\(L\left(\mathbf{e}_{1}\right), L\left(\mathbf{e}_{2}\right), \ldots, L\left(\mathbf{e}_{n}\right)\), то обсяг\(P\) дорівнює\(|\operatorname{det}(M)|\).