17: Диференціальні рівняння другого порядку
- Page ID
- 62054
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Ми вже вивчали основи диференціальних рівнянь, включаючи роздільні рівняння першого порядку. У цьому розділі ми підемо трохи далі і розглянемо рівняння другого порядку, які є рівняннями, що містять другі похідні залежної змінної. Методи розв'язання, які ми досліджуємо, відрізняються від розглянутих раніше, і рішення, як правило, включають тригонометричні функції, а також експоненціальні функції. Тут ми зосередимося насамперед на рівняннях другого порядку з постійними коефіцієнтами.
- 17.0: Прелюдія до диференціальних рівнянь другого порядку
- У цьому розділі ми розглянемо рівняння другого порядку, які є рівняннями, що містять другі похідні залежної змінної. Методи розв'язання, які ми досліджуємо, відрізняються від розглянутих раніше, і рішення, як правило, включають тригонометричні функції, а також експоненціальні функції. Тут ми зосередимося насамперед на рівняннях другого порядку з постійними коефіцієнтами.
- 17.1: Лінійні рівняння другого порядку
- Ми часто хочемо знайти функцію (або функції), яка задовольняє диференціальному рівнянню. Техніка, яку ми використовуємо для пошуку цих розв'язків, змінюється залежно від форми диференціального рівняння, з яким ми працюємо. Диференціальні рівняння другого порядку мають кілька важливих характеристик, які можуть допомогти нам визначити, який метод рішення використовувати. У цьому розділі ми розглянемо деякі з цих характеристик та пов'язану з ними термінологію.
- 17.2: Неоднорідні лінійні рівняння
- У цьому розділі ми розглянемо способи розв'язання неоднорідних диференціальних рівнянь. Термінологія і методи відрізняються від тих, які ми використовували для однорідних рівнянь, тому давайте почнемо з визначення деяких нових термінів.
- 17.3: Застосування диференціальних рівнянь другого порядку
- Лінійні диференціальні рівняння другого порядку використовуються для моделювання багатьох ситуацій у фізиці та техніці. Тут ми розглянемо, як це працює для систем об'єкта з масою, прикріпленою до вертикальної пружини, і електричного кола, що містить резистор, індуктор і конденсатор, з'єднані послідовно. Такі моделі можуть бути використані для наближення інших більш складних ситуацій; наприклад, зв'язки між атомами або молекулами часто моделюються як пружини, які вібрують.
- 17.4: Ряди розв'язків диференціальних рівнянь
- У деяких випадках для пошуку розв'язків диференціальних рівнянь можна використовувати степеневі ряди представлення функцій та їх похідних.
Мініатюра: Рішення двовимірної хвильової функції. (CC SA_BY 3.0 Міжнародна; Брент Фостер).