5.2: Певний інтеграл

Нагадаємо з останнього розділу, що інтегральний знак в невизначеному інтегралі

$$\int\,f(x)~\dx$$

являє собою підсумовування нескінченних чисел$f(x)\,\dx = d\!F$ для$F(x)$ антипохідного від$f(x)$. Чому використовується термін «невизначений»? Тому що підсумовування невизначене:$x$$f(x)\;\dx$ in визначається узагальнено, що означає «$x$загалом», тобто не для$x$ в певному діапазоні значень. Таке ж підсумовування за певним, певним діапазоном значень$x$, скажімо$\ival{a}{b}$, за інтервал, є іншим типом інтеграла:

Невизначений інтеграл дає загальну функцію, тоді як певний інтеграл дає або число, або конкретну функцію. Існує багато способів обчислити питоме підсумовування в певному інтегралі, один з яких мотивований геометричною інтерпретацією нескінченно малого$f(x)\;\dx$ як площі прямокутника, як на малюнку [рис:defint] нижче:

Затінений прямокутник на наведеному вище зображенні має висоту$f(x)$ і ширину$\dx$, і тому його площа$f(x)\;\dx$. Насправді, здається, що ця область трохи менше, ніж площа під кривою$y=f(x)$ і вище$x$ -осі між$x$ і$x+\dx$; між кривою і верхньою частиною прямокутника є невеликий проміжок, що враховує різницю в області. Однак площа цього розриву виявляється нульовою, як показано нижче:

За властивістю мікропрямолінійності крива,$y=f(x)$ показана на малюнку [рис:defint], є прямою лінією через нескінченно малий інтервал$\ival{x}{x+\dx}$, як показано на малюнку [рис:defintinf]. ¹ Таким чином, частина площі між кривою і$x$ -віссю над інтервалом$\ival{x}{x+\dx}$ складається з двох частин: площі$f(x)\,\dx$ затіненого прямокутника і площі прямокутного трикутника$\triangle ABC$, обидві з яких показані на малюнку [рис:defintinf]. Однак площа$\triangle ABC$ дорівнює нулю:

$$\text{Area of }\triangle ABC ~=~ \frac{1}{2}\text{(base)}\times\text{(height)} ~=~ \frac{1}{2}(\dx)(\df) ~=~ \frac{1}{2}(\dx)(f'(x)\,\dx) ~=~ \frac{1}{2}f'(x)(\dx)^2 ~=~ 0$$

Функція,$f$ показана на рисунку [fig:defintinf], збільшується на$x$, але подібний аргумент може бути зроблений,$f$ якби зменшувався при$x$. Отже, площа між кривою$y=f(x)$ і$x$ -віссю походить виключно від прямокутників з площею$f(x)\,\dx$, як$x$ змінюється від$a$ до$b$. Сума всіх цих прямокутних областей, однак, дорівнює певному інтегралу$f(x)$ над$\ival{a}{b}$. Таким чином, певний інтеграл можна інтерпретувати як область:

На малюнку [рис:defintarea] площа під кривою$y=f(x)$ між$x=a$ і$x=b$ є площею$A$ затіненої області$R$, а саме$A = \int_a^bf(x)\,\dx$. Щоб обчислити цю площу для певної функції, знову можна використовувати прямокутники, але цього разу з ширинами, які є невеликими додатними числами замість нескінченних чисел. Процедура полягає в наступному:

1. Створіть $P = \lbrace x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n \rbrace$поділ інтервалу$\ival{a}{b}$ на$n \ge 1$ підінтервали$\ival{x_0}{x_1}$$\ival{x_1}{x_2}$,$\ldots$,,$\ival{x_{n-1}}{x_n}$, з$x_0 = a$ і$x_n = b$.
2. У кожному$\ival{x_{i-1}}{x_i}$ підінтервалі$P$ вибираємо число$x_i^*$, так що$x_{i-1} \le x_i^* \le x_i$$i=1$ для того$n$.
3. $i=1$Для того$n$, сформуйте прямокутник, основою якого є підінтервал$\ival{x_{i-1}}{x_i}$ довжини$\Delta x_i = x_i - x_{i-1} > 0$ і висота якого дорівнює$f(x_i^*)$.
4. Візьмемо$f(x_1^*) \Delta x_1 + f(x_2^*) \Delta x_2 + \cdots + f(x_n^*) \Delta x_n$ суму площ цих прямокутників, звану сумою Рімана.
5. Візьміть межу сум Рімана як$n \to \infty$, так що підінтервальні довжини наближаються до 0. Якщо межа існує, то ця межа є$A$ площею регіону$R$:

   $$\label{eqn:riemannsum} \text{Area } A ~=~ \int_a^b\,f(x)~\dx ~=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x_i$$

Межу у формулі ([eqn:riemannsum]) слід приймати над усіма розділами, норма яких — довжина найбільшого субінтервалу — наближається до 0. На практиці ж перегородки зазвичай вибирають так, щоб підінтервали були однакової довжини, а потім просто роблять ті рівні довжини менше і менше, розділивши інтервал$\ival{a}{b}$ на все більше таких підінтервалів. Зауважте, що точки$x_i^*$ в кожному підінтервалі можуть знаходитися в будь-якому місці субінтервалу - часто вибирається середня точка підінтервалу, але ліва і права кінцеві точки також є типовими варіантами вибору.

У наведеній вище процедурі проміжки між прямокутниками та кривою матимуть області, що наближаються до 0, оскільки кількість$n$ підінтервалів зростає, а підінтервальні довжини наближаються до 0. Це вірно, якщо функція$f$ диференційовна, і насправді навіть якщо$f$ є просто безперервною. ² Таким чином, площа під кривою може бути визначена вищевказаною процедурою.

Щоб обчислити площу під кривою таким чином, читач повинен мати деяке знайомство з позначенням підсумовування у Формулі ([eqn:riemannsum]).

Інтуїтивно очевидні наступні правила цієї «сигма-нотації»:

Наступні формули підсумовування можуть бути корисними при обчисленні сум Рімана:

Формула (1) очевидна: додайте число$1$ в загальну кількість$n$ разів і суму дорівнює$n$.
Формула (2) може бути доведена індукцією:

1. Покажіть, що$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k ~=~ \dfrac{n\,(n + 1)}{2}$ для$n=1$:

   $$\sum_{k=1}^{1} k ~=~ 1 ~=~ \frac{1\,(1 + 1)}{2} \quad\checkmark$$

2. Припустимо, що$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k ~=~ \dfrac{n\,(n + 1)}{2}$ для деякого цілого числа$n \ge 1$. Показати, що формула має значення$n$ замінено на$n+1$, тобто:

   $$\sum_{k=1}^{n+1} k ~=~ \frac{(n + 1)\,((n + 1) + 1)}{2} ~=~ \frac{(n + 1)\,(n + 2)}{2}$$ Щоб показати це, зверніть увагу, що

   $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1} k ~&=~ 1 ~+~ 2 ~+~ \cdots ~+~ n ~+~ (n+1) ~=~ \sum_{k=1}^{n} k ~+~ (n+1)\\[6pt] &=~ \frac{n\,(n + 1)}{2} ~+~ (n+1) ~=~ \frac{n\,(n + 1) ~+~ 2(n+1)}{2} ~=~ \frac{(n + 1)\,(n + 2)}{2} \quad\checkmark\end{aligned}$$

3. За допомогою індукції це доводить формулу для всіх цілих чисел$n \ge 1$.

Формули (3) - (5) можуть бути доведені аналогічно індукцією (див. Вправи). У наведеному нижче прикладі показано, як формули (2) та (3) використовуються для пошуку межі суми Рімана.

Приклад$\PageIndex{1}$: riemann1

Використовуйте суми Рімана для обчислення$\displaystyle\int_1^2 x^2~\dx$.

Рішення

Певним інтегралом є площа під кривою$y=f(x)=x^2$ між$x=1$ і$x=2$, як показано на малюнку [рис:riemann1] (a):

$\ival{1}{2}$Розділіть інтервал на$n$ підінтервали$\Delta x_i = (2-1)/n = 1/n$ однакової довжини for$i =1$ to$n$, щоб розділ$P$ був$\lbrace x_0 < x_1 < \ldots x_n \rbrace$ де$x_i = 1 + \frac{i}{n}$ for$i=0$,$1$,$\ldots$,$n$ (а значить$x_0=1$ і$x_n=2$). У кожному$\ival{x_{i-1}}{x_i}$ підінтервалі виберіть точку$x_i^*$ лівої кінцевої точки$x_{i-1}$, щоб прямокутники виглядали як на малюнку [рис:riemann1] (b). Тоді

$$\begin{aligned} \int_1^2 x^2~\dx ~&=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x_i ~=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\,\frac{1}{n} ~=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} x_{i-1}^2\,\frac{1}{n}\\[6pt] &=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} \left(1 + \frac{i-1}{n}\right)^2\frac{1}{n} ~=~ \lim_{n \to \infty}~\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{1}{n} ~+~ \frac{2}{n^2}(i-1) ~+~ \frac{1}{n^3}(i-1)^2\right)\\[6pt] &=~ \lim_{n \to \infty}~\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n} ~+~ \frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}(i-1) ~+~ \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n}(i-1)^2\right) ~=~ \lim_{n \to \infty}~\left(1 ~+~ \frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^{n-1}i ~+~ \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^{n-1}i^2\right)\\[6pt] &= \lim_{n \to \infty}~\left(1 \;+\; \frac{2}{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2} \;+\; \frac{1}{n^3}\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}\right)\quad\text{(replace $n$ by $n-1$ in Formulas (2) and (3))}\\[6pt] &=~ \left(\lim_{n \to \infty}\,1\right) ~+~ \left(\lim_{n \to \infty}\,\frac{n-1}{n}\right) ~+~ \left(\lim_{n \to \infty}\,\frac{2n^2-3n+1}{6n^2}\right)\\[6pt] &=~ 1 ~+~ \frac{1}{1} ~+~ \frac{2}{6} ~=~ \frac{7}{3}\end{aligned}$$

Часто простіше використовувати комп'ютер для обчислення наближень певного інтеграла, взявши суму Рімана досить великої кількості прямокутників для досягнення потрібної точності. Вибір підінтервалів рівної довжини, як у прикладі

Приклад$\PageIndex{1}$: riemann1

, полегшує використання алгоритму для обчислення інтеграла.

Наприклад, наведена нижче таблиця підсумовує обчислення сум Рімана для функції в прикладі

Приклад$\PageIndex{1}$: riemann1

—а саме$f(x)= x^2$ over$\ival{1}{2}$ —використовуючи різні значення для точок$x_i^*$ у підінтервалах (ліві кінцеві точки, середні та праві кінцеві точки):

Через увігнутість$y=x^2$ кривої використання лівих кінцевих точок занижує фактичну площу, тоді як використання правих кінцевих точок дає завищення. Використання середніх точок зазвичай дає кращі результати (тобто більше точності при меншій кількості ітерацій).

Поки що розглядалися лише певні інтеграли невід'ємних функцій, тобто функцій$f(x) \ge 0$ за інтервал$\ival{a}{b}$. Якщо$f(x)$ або негативний, або зміни знаком над$\ival{a}{b}$, то певний інтеграл можна визначити наступним чином:

Примітка: У$\displaystyle\int_a^b\,f(x)\;\dx$ певному інтегралі числа$a$ і$b$ називаються межами інтеграції, з$a$ нижньою межею інтеграції та$b$ верхньою межею інтеграції. Інтегрована$f(x)$ функція називається integrand, як у визначеному, так і в невизначеному інтегралах.

[сек. 5 точок 2]

Поясніть, чому$\displaystyle\int_a^b c~\dx ~=~ c(b-a)$ для будь-якої константи$c$.

Чи буде використання лівих кінцевих точок у сумах Рімана недооцінювати або завищувати$\int_1^2 \ln x\,\dx$? Поясніть. [1.] ]

2

Використовуйте суми Рімана для обчислення$\displaystyle\int_0^1 x~\dx$.

Використовуйте суми Рімана для обчислення$\displaystyle\int_0^1 x^2~\dx$.

2

Використовуйте суми Рімана для обчислення$\displaystyle\int_0^1 3x^2~\dx$.

Використовуйте суми Рімана для обчислення$\displaystyle\int_0^1 x^3~\dx$.

Доведіть формулу$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k^2 ~=~ \dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}~$ шляхом індукції на$n\ge 1$.

Доведіть формулу$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k^2 ~=~ \dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}~$ наступним чином:

1. Покажіть, що$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~\left( (k+1)^3 ~-~ k^3 \right) ~=~ (n+1)^3 ~-~ 1~$.

2. Покажіть, що$(k+1)^3 ~-~ k^3 ~=~ 3k^2 ~+~ 3k ~+~ 1~$.

3. Скористайтеся формулою$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k ~=~ \dfrac{n\,(n+1)}{2}~$ та частинами (a) та (b), щоб показати це$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k^2 ~=~ \dfrac{n\,(n+1)\,(2n+1)}{6}~$.

Доведіть формулу$~\displaystyle\sum_{k=1}^{n}~k^3 ~=~ \dfrac{n^2\,(n+1)^2}{4}~$ шляхом індукції на$n \ge 1$.

Відомий алгоритм швидкого сортування в інформатиці є популярним методом розміщення об'єктів у певному порядку (наприклад, числовому, алфавітному). В середньому алгоритм потребує$O(n\;\log\,n)$ порівнянь для сортування$n$ об'єктів (тут$\log\,n$ мається на увазі натуральний логарифм$n$). Доказ того, що середня складність залежить від нерівності

$$\sum_{k=2}^{m-1}\;k\,\ln\,k ~\le~ \int_2^m x\,\ln\,x\;\dx$$ для всіх цілих чисел$m > 2$. Поясніть, чому ця нерівність вірна. [1.] ]

Доведіть формулу$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^4 ~=~ 1^4 ~+~ 2^4 ~+~ \cdots ~+~ n^4 ~=~ \dfrac{n\,(n + 1)\,(6n^3 + 9n^2 + n - 1)}{30}$ шляхом індукції на$n \ge 1$.

Розрахуйте наступну суму:

$$1 ~+~ (1 + 2) ~+~ (1 + 2 + 3) ~+~ (1 + 2 + 3 + 4) ~+~ \cdots ~+~ (1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 50)$$