5.1: Безстроковий інтеграл

Похідні з'являються у багатьох фізичних явищах, таких як рух предметів. Нагадаємо, наприклад, що з огляду на функцію положення$s(t)$ об'єкта, що рухається по прямій в той час$t$, ви могли знайти швидкість$v(t)=s'(t)$ і$a(t)=v'(t)$ прискорення об'єкта в той час,$t$ взявши похідні. Припустимо, ситуація була зворотною: враховуючи функцію швидкості, як би ви знайшли функцію положення, або задавши функцію прискорення, як би ви знайшли функцію швидкості?

У цьому випадку обчислення похідної не допомогло б, так як потрібен зворотний процес: замість диференціації потрібен спосіб виконання антидиференціації, тобто ви б обчислили антидериватив.

Диференціація відносно проста. Ви вивчили похідні багатьох класів функцій (наприклад, поліноми, тригонометричні функції, експоненціальні та логарифмічні функції), і за допомогою різних правил диференціації ви можете обчислити похідні складних виразів, що включають ці функції (наприклад, суми, сили, добутки, коефіцієнти). Однак антидиференціація - це інша історія.

Щоб побачити деякі проблеми, розгляньте таку просту функцію, як$f(x)=2x$. Звичайно, ви це знаєте$\ddx(x^2) = 2x$, тому здається, що$F(x)=x^2$ це антипохідне$f(x)=2x$. Але чи є це єдиним антипохідним від$f(x)$? Ні. Наприклад, якщо$F(x)=x^2+1$ тоді$F'(x)=2x=f(x)$, і так$F(x)=x^2+1$ є ще одним антипохідним від$f(x)=2x$. Так само і є$F(x)=x^2+2$. По суті, будь-яка функція форми$F(x)=x^2 + C$, де$C$ знаходиться якась постійна, є антипохідним від$f(x)=2x$.

Інша потенційна проблема полягає в тому, що функції форми$F(x)=x^2 + C$ є лише найбільш очевидними антипохідними$f(x)=2x$. Чи може бути якась інша зовсім інша функція - та, яку неможливо спростити у формі$x^2 + C$ - чия похідна також виявляється$f(x) =2x$? Відповідь, на щастя, ні:

Щоб довести це, розглянемо функцію$H(x) = F(x) - G(x)$, визначену для всіх$x$ в загальній$I$ області$F$ і$G$. З тих пір$F'(x) = G'(x) = f(x)$

$$H'(x) ~=~ F'(x) ~-~ G'(x) ~=~ f(x) ~-~ f(x) ~=~ 0$$ для всіх$x$ в$I$, так$H(x)$ це постійна функція на$I$, як було показано в розділі 4.4 Теорема про середнє значення. Таким чином, існує постійна$C$ така, що

$$H(x) ~=~ C \quad\Rightarrow\quad F(x) ~-~ G(x) ~=~ C \quad\Rightarrow\quad F(x) ~=~ G(x) ~+~ C$$ для всіх$x$ в$I.\quad\checkmark$

Практичний наслідок вищевказаного результату можна констатувати наступним чином:

Так для функції$f(x) = 2x$, оскільки$F(x) = x^2$ є одним антипохідним, то всі антипохідні$f(x)$ мають форму$F(x) = x^2 + C$, де$C$ є родова константа. Таким чином, функції мають не один антидериватив, а ціле сімейство антипохідних, всі відрізняються лише константою. Наступне позначення полегшує вираження все це:

Великий S-подібний символ раніше$f(x)$ називають цілісним знаком. Хоча невизначений інтеграл$\int f(x)~\dx$ представляє всі антипохідні$f(x)$, інтеграл може розглядатися як єдиний об'єкт або функція в своєму власному праві, похідною якого є$f'(x)$:

Вам може бути цікаво, що являє собою інтегральний знак у невизначеному інтегралі, і чому включений$\dx$ нескінченно малий. Це пов'язано з тим, що являє собою нескінченно мале: нескінченно малий «шматок» кількості. Для$F(x)$ антипохідної функції$f(x)$ нескінченно мале (або$d\!F$ диференціальне) задається$d\!F = F'(x)\,\dx = f(x)\,\dx$, і так

$$F(x) ~=~ \int\,f(x)~\dx ~=~ \int\,d\!F ~.$$ Таким чином, інтегральний знак виступає символом підсумовування: він підсумовує нескінченно малі «$d\!F$шматочки» функції$F(x)$ на кожному$x$ так, щоб вони складалися до всієї функції$F(x)$. Подумайте про це як схоже на звичайний символ підсумовування, який$\Sigma$ використовується для дискретних сум; інтегральний знак замість цього$\int$ приймає суму континууму нескінченно малих величин.

Знаходження (або оцінка) невизначеного інтеграла функції називається інтеграцією функції, а інтеграція - антидиференціацією.

Приклад$\PageIndex{1}$: antideriv1

Додайте сюди текст.

Рішення

Оцінити$\displaystyle\int\,0~\dx$.

Рішення: Оскільки похідна будь-якої постійної функції дорівнює 0, то$\int\,0~\dx = C$, де$C$ є загальною константою.

Примітка: Відтепер$C$ буде просто припускається, що представляє загальну константу, без необхідності явно говорити про це кожного разу.

Приклад$\PageIndex{1}$: antideriv2

Додайте сюди текст.

Рішення

Оцінити$\displaystyle\int\,1~\dx$.

Рішення: Оскільки похідна від$F(x) = x$ є$F'(x) = 1$, то$\int\,1~\dx = x + C$.

Приклад$\PageIndex{1}$: antideriv3

Додайте сюди текст.

Рішення

Оцінити$\displaystyle\int\,x~\dx$.

Рішення: Оскільки похідна від$F(x) = \frac{x^2}{2}$ є$F'(x) = x$, то$\int\,x~\dx = \frac{x^2}{2} + C$.

Так як$\ddx\,\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^n$ для будь-якого числа$n \ne -1$, і$\ddx\,(\ln\,\abs{x}) = \frac{1}{x} = x^{-1}$, то будь-яка потужність$x$ може бути інтегрована:

Наступні правила для невизначеного інтегралу є безпосередніми наслідками правил для похідних:

Перераховані вище правила легко доведені. Наприклад, перше правило є простим наслідком правила постійної множини для похідних: якщо$F(x) = \int\,f(x)~\dx$, то

$$\ddx(k\,F(x)) ~=~ k\,\ddx(F(x)) ~=~ k\,f(x) \quad\Rightarrow\quad \int\,k\;f(x)~\dx ~=~ k\,F(x) ~=~ k\,\int\,f(x)~\dx ~.\quad\checkmark$$ Інші правила доводяться аналогічно і залишаються як вправи. Повторне використання вищезазначених правил разом з формулою Потужності показує, що будь-який поліном може бути інтегрований термін за терміном - адже будь-яка кінцева сума функцій може бути інтегрована таким чином:

[антипохідний4] Оцініть$\displaystyle\int\,(x^7 - 3x^4)~\dx$.

Рішення: Інтегруйте термін за терміном, витягуючи постійну кратну поза інтегралом:

$$\int\,(x^7 - 3x^4)~\dx ~=~ \int\,x^7~\dx ~-~ 3\int\,x^4~\dx ~=~ \frac{x^8}{8} ~-~ \frac{3x^5}{5} ~+~ C$$

[антипохідний5] Оцініть$\displaystyle\int\,\sqrt{x}~\dx$.

Рішення: Використовуйте формулу харчування:

$$\int\,\sqrt{x}~\dx ~=~ \int\,x^{1/2}~\dx ~=~ \frac{x^{3/2}}{3/2} ~+~ C ~=~ \frac{2x^{3/2}}{3} ~+~ C$$

[антипохідний6] Оцініть$\displaystyle\int\,\left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right)~\dx$.

Рішення: Використовуйте формулу потужності та інтегруйте термін за терміном:

$$\int\,\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\right)~\dx ~=~ \int\,\left(x^{-2} + \frac{1}{x}\right)~\dx ~=~ \frac{x^{-1}}{-1} ~+~ \ln\,\abs{x} ~+~ C ~=~ -\frac{1}{x} ~+~ \ln\,\abs{x} ~+~ C$$

Наступні невизначені інтеграли є лише повторними твердженнями відповідних похідних формул для шести основних тригонометричних функцій:

З тих пір$\ddx(e^x) = e^x$:

[антипохідний7] Оцініть$\displaystyle\int\,(3\sin\,x ~+~ 4\cos\,x ~-~ 5e^x)~\dx$.

Рішення: Інтегрувати термін за терміном:

\ [\ почати {вирівняний}\ int\, (3\ sin\, х ~+~ 4\ cos\, х ~-~ 5е^x) ~\ dx ~&=~ 3\ int\,\ sin\, x~\ dx ~+~ 4\ int\,\ cos\, x~\ dx ~-~ 5\ int\, e^x~\ dx\

$$10pt] &=~ -3\cos\,x ~+~ 4\sin\,x ~-~ 5e^x ~+~ C\end{aligned}$$

Приклад$\PageIndex{1}$: gravity

Додайте сюди текст.

Рішення

Нагадаємо, з розділу 1.1 приклад об'єкта, скинутого з висоти 100 футів. Покажіть, що висота$s(t)$ об'єкта$t$ секунди після падіння вимірюється в футах.$s(t) = -16t^2 + 100$

Рішення: Коли об'єкт скидається в той час$t=0$, єдиною силою, що діє на нього, є гравітація, змушуючи об'єкт прискорюватися вниз з відомою постійною швидкістю 32 футів/с ². Прискорення об'єкта$a(t)$ в часі$t$ відбувається таким чином$a(t) = -32$. Якщо$v(t)$ швидкість об'єкта в часі$t$, то$v'(t) = a(t)$, це означає, що

$$v(t) ~=~ \int a(t)~\dt ~=~ \int -32~\dt ~=~ -32t ~+~ C$$ для деяких постійних$C$. Константа$C$ тут не є родовою - вона має певне
значення, яке визначається початковою умовою швидкості: об'єкт знаходився в спокої під час$t=0$. Тобто$v(0) = 0$, що означає

$$0 ~=~ v(0) ~=~ -32(0) ~+~ C ~=~ C \quad\Rightarrow\quad v(t) ~=~ -32t$$ для всіх$t \ge 0$. Так само з тих$s'(t) = v(t)$ пір

$$s(t) ~=~ \int v(t)~\dt ~=~ \int -32t~\dt ~=~ -16t^2 ~+~ C$$ для деякої$C$ константи, визначеної початковою умовою, що об'єкт знаходився на висоті 100 футів над землею в той час$t=0$. Тобто$s(0) = 100$, що означає

$$100 ~=~ s(0) ~=~ -16(0)^2 ~+~ C ~=~ C \quad\Rightarrow\quad s(t) ~=~ -16t^2 ~+~ 100$$ для всіх$t \ge 0$.

Формула для$s(t)$ в прикладі

Приклад$\PageIndex{1}$: gravity

Додайте сюди текст.

Рішення

можна узагальнити наступним чином: позначити початкове положення об'єкта в той час$s_0$, нехай$v_0$ буде початкова швидкість об'єкта (позитивна, якщо кинута вгору,$t=0$ негативна, якщо кинута вниз), і нехай$g$ представляють (позитивне) постійне прискорення за рахунок сили тяжіння. За першим законом Ньютона єдине прискорення, яке надається об'єкту після метання, відбувається завдяки гравітації:

$$a(t) ~=~ -g \quad\Rightarrow\quad v(t) ~=~ \int a(t)~\dt ~=~ \int -g~\dt ~=~ -gt ~+~ C$$ для деяких постійних$C$:$v_0 = v(0) = -g(0) + C = C$. Таким чином,$v(t) = -gt + v_0$ для всіх$t \ge 0$, і так

$$s(t) ~=~ \int v(t)~\dt ~=~ \int \left(-gt ~+~ v_0\right)~\dt ~=~ -\tfrac{1}{2}gt^2 ~+~ v_0t ~+~ C$$ для деяких постійних$C$:$s_0 = s(0) = -\tfrac{1}{2}g(0)^2 + v_0(0) + C = C$. Підсумовуємо:

Зверніть увагу, що одиниці не вказані — вони просто повинні бути узгодженими. У метричних одиницях,$g = 9.8$ м/с ², тоді як$g = 32$ ft/s ² в англійських одиницях.

Мислення невизначеного інтеграла як суми всіх нескінченно малих «шматків» функції - з метою отримання цієї функції - забезпечує зручний спосіб інтеграції диференціального рівняння для отримання розв'язку. Ключова ідея полягає в перетворенні диференціального рівняння в рівняння диференціалів, що має ефект розгляду функцій як змінних. Деякі приклади проілюструють техніку.

Приклад$\PageIndex{1}$: intdecay

Додайте сюди текст.

Рішення

Для будь-якої константи показати$k$, що кожен розв'язок диференціального$\dydt = ky$ рівняння має вигляд$y = Ae^{kt}$ для деякої константи$A$. Можна припустити, що$y(t) > 0$ для всіх$t$.

Рішення: Поставте$y$ терміни зліва, а$t$ терміни праворуч, тобто розділіть змінні:

$$\frac{\dy}{y} ~=~ k\,\dt$$ Тепер інтегруйте обидві сторони (зверніть увагу, як функція$y$ розглядається як змінна):

\ [\ почати {вирівняний}\ int\,\ frac {\ dy} {y} ~&=~\ int k\,\ dt\

$$6pt] \ln\,y + C_1 ~&=~ kt + C_2 \quad\text{($C_1$ and $C_2$ are constants)}\\ \ln\,y ~&=~ kt + C \quad\text{(combine $C_1$ and $C_2$ into the constant $C$)}\\ y ~&=~ e^{kt+C} ~=~ e^{kt} \cdot e^C ~=~ A e^{kt}\end{aligned}$$ де$A = e^C$ константа. Відзначимо, що це формула радіоактивного розпаду з розділу 2.3.

Приклад$\PageIndex{1}$: intidealgas

Додайте сюди текст.

Рішення

Нагадаємо з розділу 3.6 рівняння диференціалів

$$\dfrac{\dP}{P} ~+~ \dfrac{\dV}{V} ~=~ \dfrac{\dT}{T}$$ що стосуються тиску$P$, обсягу$V$ та температури$T$ ідеального газу. Інтегруйте це рівняння, щоб отримати оригінальний закон ідеального газу$PV = RT$, де$R$ є константа.

Рішення: Інтеграція обох сторін рівняння дає

\ [\ почати {вирівняний}\ int\,\ dfrac {\ dP} {P} ~+~\ int\,\ dfrac {\ dV} {V} ~&=~\ int\,\ dfrac {\ dT} {T}\

$$6pt] \ln\,P ~+~ \ln\,V ~&=~ \ln\,T ~+~ C \quad\text{($C$ is a constant)}\\ \ln\,(PV) ~&=~ \ln\,T ~+~ C\\ PV ~&=~ e^{\ln\,T + C} ~=~ e^{\ln\,T} \cdot e^{C} ~=~ T\,e^C ~=~ RT\end{aligned}$$ де$R = e^C$ константа.

Формули інтеграції в цьому розділі залежали від того, щоб вже знати похідні певних функцій, а потім «працювати назад» від їх похідних для отримання вихідних функцій. Без цього попереднього знання ви були б зведені до вгадування або, можливо, визнання зразка з якоїсь похідної, з якою ви зіткнулися. Незабаром буде представлено низку методів інтеграції, але існує багато невизначені інтеграли, для яких не існує простої замкнутої форми (наприклад,$\int e^{x^2}\,\dx$ і$\int \sin(x^2)\,\dx$).

[сек. 5 крапок 1]

Для вправ 1-15 оцініть заданий невизначений інтеграл.

3

$\displaystyle\int\,\left(x^2 ~+~ 5x ~-~ 3\right)~\dx$

$\displaystyle\int\,3 \cos\,x~\dx$

$\displaystyle\int\,4 e^x~\dx$

3

$\displaystyle\int\,\left(x^5 ~-~ 8x^4 ~-~ 3x^3 ~+~ 1\right)~\dx\vphantom{\dfrac{3e^x}{5}}$

$\displaystyle\int\,5 \sin\,x~\dx\vphantom{\dfrac{3e^x}{5}}$

$\displaystyle\int\,\dfrac{3e^x}{5}~\dx$

3

$\displaystyle\int\,\dfrac{6}{x}~\dx$

$\displaystyle\int\,\dfrac{4}{3x}~\dx$

$\displaystyle\int\,\left(-2 \sqrt{x}\,\right)~\dx\vphantom{\dfrac{6}{x}}$

3

$\displaystyle\int\,\dfrac{1}{3 \sqrt{x}}~\dx$

$\displaystyle\int\,\left(x ~+~ x^{4/3}\right)~\dx$

$\displaystyle\int\,\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x}}~\dx$

3

$\displaystyle\int\,3\sec\,x\;\tan\,x~\dx$

$\displaystyle\int\,5 \sec^2x~\dx$

$\displaystyle\int\,7\csc^2x~\dx$

Доведіть правила суми та різниці для невизначеного інтегралу:$\int (f(x) \pm g(x))\,\dx \;=\; \int f(x)\,\dx \;\pm\; \int g(x)\,\dx$

Інтегруйте обидві сторони рівняння

$$\frac{\dP}{P} ~+~ \frac{d\!M}{M} ~=~ \frac{\dT}{2T}$$ для отримання ідеального співвідношення безперервності газу:$\dfrac{PM}{\sqrt{T}} =$ постійна.

[exer:projmax0] Використовуйте рівняння руху вільного падіння для позиції, щоб показати, що максимальна висота, досягнута об'єктом, запущеним прямо з землі з початковою швидкістю,$v_0$ дорівнює$\frac{v_0^2}{2g}$.

---

1. $f$Функція вважається диференційованою при$x$, в даному випадку. Якщо ні, то точки, де$f$ не диференціюється, можуть бути виключені, не зачіпаючи інтеграл. ↩

2. Для підтвердження та більш повного обговорення всього цього див. Ч.1-2 в Кнопп, М.І., Теорія області, Чикаго: Markham Publishing Co., 1969. Книга намагається точно визначити, що насправді означає «площа», включаючи прямокутник (показуючи згоду з інтуїтивним поняттям ширини разів висоти). ↩

3. Теорема може бути доведена для більш слабкої умови, яка$f$ є просто безперервною$\ival{a}{b}$. Див. с.173-175 у Паржинському, В.Р. та П.В. Зіпсе, Вступ до математичного аналізу, Нью-Йорк: Макгроу-Хілл, Inc., 1982. ↩

4. Створений фізиком П.А.М.Діраком (1902-1984), який отримав Нобелівську премію з фізики в 1933 році. Функція не є ні реальною, ні безперервною при$x=0$. «Графік» на малюнку [рис:dirac], можливо, вводить в оману, оскільки не$\infty$ є фактичною точкою на$y$ осі. Одне тлумачення$\delta$ полягає в тому, що це абстракція миттєвого пульсу або сплеску чогось, що передує і не слідує нічим. Щоб дізнатися більше про цю захоплюючу та корисну функцію, див. §15 у Дірак, P.A.M., Принципи квантової механіки, 4-е видання, Оксфорд, Великобританія: Oxford University Press, 1958. ↩

5. Див. С.140-141 в Бак, Р.К., Розширений числення, 2-е видання, Нью-Йорк: Макгроу-Хілл Книга Ко, 1965. ↩