2: Функції декількох змінних
- Last updated
- Oct 27, 2022
- Save as PDF
\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,} \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,} \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}} \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}} \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}} \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|} \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,} \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,} \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}} \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}} \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}} \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|} \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}
У обчисленні з однією змінною ми стосувалися функцій, які відображають дійсні числа з дійсними числами, іноді їх називають «реальними функціями однієї змінної», тобто «вхід» є єдиним дійсним числом, а «вихід» - це також єдине дійсне число. В останньому розділі ми розглянули функції, що приймають дійсне число в вектор, які також можна розглядати як функції, тобто для кожного вхідного значення ми отримуємо позицію в просторі. Тепер перейдемо до функцій декількох змінних, що означають кілька вхідних змінних, функцій. Ми будемо мати справу в першу чергу\mathbb{R}^2 і\mathbb{R}^3 просторів, однак, багато методів, які ми обговорюємо, можуть бути застосовані і до великих розмірів просторів, а також.
- 2.1: Функції двох або трьох змінних
- Тепер ми розглянемо реальні функції точки (або вектора) в\mathbb{R}^2 або\mathbb{R}^3. Здебільшого ці функції будуть визначені на множині точок в\mathbb{R}^2, але будуть випадки, коли ми будемо використовувати точки в\mathbb{R}^3, а також будуть випадки, коли буде зручно думати про точки як вектори (або кінцеві точки векторів).
- 2.2: Часткові похідні
- Тепер, коли ми маємо уявлення про те, що таке функції декількох змінних, і яка межа такої функції, ми можемо почати розробляти уявлення про похідну функції двох або більше змінних.
- 2.3: Дотична площина до поверхні
- Оскільки похідна dy/dx функції y=f (x) використовується для пошуку дотичної лінії до графіка f (яка є кривою в R2), можна очікувати, що часткові похідні можуть бути використані для визначення дотичної площини до графіка поверхні z=f (x, y). Це дійсно виявляється так. По-перше, нам потрібно визначення дотичної площини. Інтуїтивна ідея полягає в тому, що дотична площина «просто торкається» поверхні в точці. Формальне визначення імітує інтуїтивне поняття дотичної лінії до кривої.
- 2.4: Спрямовані похідні та градієнт
- Для функції z=f (x, y) ми дізналися, що часткові похідні f/x іf/y представляють (миттєву) швидкість зміни f в додатному напрямку x та y відповідно. А як щодо інших напрямків? Виявляється, ми можемо знайти швидкість зміни в будь-якому напрямку, використовуючи більш загальний тип похідної, який називається спрямованою похідною.
- 2.5: Максима і Мініма
- Градієнт може бути використаний для знаходження крайніх точок реальних функцій декількох змінних, тобто точок, де функція має локальний максимум або локальний мінімум. Ми розглянемо тільки функції двох змінних; функції трьох і більше змінних вимагають методів з використанням лінійної алгебри.
- 2.6: Необмежена оптимізація - чисельні методи
- Типи завдань, які ми вирішували раніше, були прикладами необмежених задач оптимізації. Якщо рівняння включають поліноми в x і y ступеня три або вище, або складні вирази, що включають тригонометричні, експоненціальні або логарифмічні функції, то рішення може бути неможливим елементарними засобами, і єдиним вибором може бути пошук рішення за допомогою деякого числового методу, який дає послідовність чисел, які сходяться до фактичного розв'язку (наприклад, метод Ньютона).
- 2.7: Обмежена оптимізація - множники Лагранжа
- У цьому розділі ми будемо використовувати загальний метод, який називається методом множника Лагранжа, для вирішення обмежених задач оптимізації. Точки (x, y), які є максимумами або мінімумами f (x, y) з умовою, що вони задовольняють рівнянню обмеження g (x, y) =c, називаються обмеженими максимальними або обмеженими мінімальними точками відповідно. Подібні визначення мають функції трьох змінних. Метод множника Лагранжа для розв'язання таких задач.
- 2.E: Функції декількох змінних (вправи)
- Проблеми та вибір рішень для глави.
Мініатюра: Реальна функція двох реальних змінних. (Громадське надбання; Машен).