Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2: Функції декількох змінних

У обчисленні з однією змінною ми стосувалися функцій, які відображають дійсні числа з дійсними числами, іноді їх називають «реальними функціями однієї змінної», тобто «вхід» є єдиним дійсним числом, а «вихід» - це також єдине дійсне число. В останньому розділі ми розглянули функції, що приймають дійсне число в вектор, які також можна розглядати як функції, тобто для кожного вхідного значення ми отримуємо позицію в просторі. Тепер перейдемо до функцій декількох змінних, що означають кілька вхідних змінних, функцій. Ми будемо мати справу в першу чергуR2 іR3 просторів, однак, багато методів, які ми обговорюємо, можуть бути застосовані і до великих розмірів просторів, а також.

  • 2.1: Функції двох або трьох змінних
    Тепер ми розглянемо реальні функції точки (або вектора) вR2 абоR3. Здебільшого ці функції будуть визначені на множині точок вR2, але будуть випадки, коли ми будемо використовувати точки вR3, а також будуть випадки, коли буде зручно думати про точки як вектори (або кінцеві точки векторів).
  • 2.2: Часткові похідні
    Тепер, коли ми маємо уявлення про те, що таке функції декількох змінних, і яка межа такої функції, ми можемо почати розробляти уявлення про похідну функції двох або більше змінних.
  • 2.3: Дотична площина до поверхні
    Оскільки похідна dy/dx функції y=f (x) використовується для пошуку дотичної лінії до графіка f (яка є кривою в R2), можна очікувати, що часткові похідні можуть бути використані для визначення дотичної площини до графіка поверхні z=f (x, y). Це дійсно виявляється так. По-перше, нам потрібно визначення дотичної площини. Інтуїтивна ідея полягає в тому, що дотична площина «просто торкається» поверхні в точці. Формальне визначення імітує інтуїтивне поняття дотичної лінії до кривої.
  • 2.4: Спрямовані похідні та градієнт
    Для функції z=f (x, y) ми дізналися, що часткові похідні f/x іf/y представляють (миттєву) швидкість зміни f в додатному напрямку x та y відповідно. А як щодо інших напрямків? Виявляється, ми можемо знайти швидкість зміни в будь-якому напрямку, використовуючи більш загальний тип похідної, який називається спрямованою похідною.
  • 2.5: Максима і Мініма
    Градієнт може бути використаний для знаходження крайніх точок реальних функцій декількох змінних, тобто точок, де функція має локальний максимум або локальний мінімум. Ми розглянемо тільки функції двох змінних; функції трьох і більше змінних вимагають методів з використанням лінійної алгебри.
  • 2.6: Необмежена оптимізація - чисельні методи
    Типи завдань, які ми вирішували раніше, були прикладами необмежених задач оптимізації. Якщо рівняння включають поліноми в x і y ступеня три або вище, або складні вирази, що включають тригонометричні, експоненціальні або логарифмічні функції, то рішення може бути неможливим елементарними засобами, і єдиним вибором може бути пошук рішення за допомогою деякого числового методу, який дає послідовність чисел, які сходяться до фактичного розв'язку (наприклад, метод Ньютона).
  • 2.7: Обмежена оптимізація - множники Лагранжа
    У цьому розділі ми будемо використовувати загальний метод, який називається методом множника Лагранжа, для вирішення обмежених задач оптимізації. Точки (x, y), які є максимумами або мінімумами f (x, y) з умовою, що вони задовольняють рівнянню обмеження g (x, y) =c, називаються обмеженими максимальними або обмеженими мінімальними точками відповідно. Подібні визначення мають функції трьох змінних. Метод множника Лагранжа для розв'язання таких задач.
  • 2.E: Функції декількох змінних (вправи)
    Проблеми та вибір рішень для глави.

Мініатюра: Реальна функція двох реальних змінних. (Громадське надбання; Машен).

Автори та атрибуція

  • Was this article helpful?