11.2: Ітераційні інтеграли

Мотивуючі питання

• Як ми оцінюємо подвійний інтеграл над прямокутником як ітераційний інтеграл, і чому цей процес працює?

Нагадаємо, що подвійний інтеграл неперервної функції$f=f(x,y)$ над rectanlge ми визначили$R = [a,b] \times [c,d]$ як

$$\iint_R f(x,y) \, dA = \lim_{m,n \to \infty} \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f\left(x_{ij}^*, y_{ij}^*\right) \cdot \Delta A, \nonumber$$

де різні змінні та позначення, як описано в Розділі 11.1. Таким$\iint_R f(x,y) \, dA$ чином, межа подвійних сум Рімана, але хоча це визначення говорить нам точно, що таке подвійний інтеграл, це не дуже корисно для визначення значення подвійного інтеграла. На щастя, існує спосіб розглядати подвійний інтеграл як ітераційний інтеграл, який зробить обчислення здійсненними у багатьох випадках.

Точка зору ітераційного інтеграла тісно пов'язана з важливою ідеєю з однозмінного числення. Коли ми вивчали тверді тіла обертання, такі як показано на малюнку 11.2.1, ми побачили, що за деяких обставин ми можемо розрізати тверде тіло перпендикулярно осі, і кожен зріз буде приблизно круглим диском. Звідти ми змогли знайти обсяг кожного диска, а потім використовувати інтеграл для додавання обсягів зрізів. Нижче ми можемо використовувати одиночні інтеграли для узагальнення цього підходу для обробки ще більш загальних геометричних фігур.

Малюнок 11.2.1. Тверда революція.

Попередній перегляд Діяльність 11.2.1

Нехай$f(x,y) = 25-x^2-y^2$ на прямокутному домені$R = [-3,3] \times [-4,4]\text{.}$

Як і у випадку з частковими похідними, ми можемо розглядати одну зі змінних$f$ як постійну і думати про результуючу функцію як функцію однієї змінної. Тепер ми досліджуємо, що станеться, якщо ми інтегруємо замість того, щоб диференціювати.

1. Виберіть фіксоване значення$x$ в інтер'єрі$[-3,3]\text{.}$ Let
   $$A(x) = \int_{-4}^4 f(x,y) \, dy. \nonumber$$

   Яке геометричне значення значення$A(x)$ відносно поверхні визначено$f\text{.}$ (Підказка: Подумайте про слід, що визначається фіксованим значенням,$x\text{,}$ і розглянемо, як$A(x)$ пов'язано зображення зліва на малюнку 11.2.2.)

   

   

   

   Малюнок 11.2.2. Зліва: Поперечний переріз із фіксованою$x\text{.}$ правою: поперечний переріз із фіксованою$x$ та$\Delta x\text{.}$

2. Для фіксованого значення$x\text{,}$ скажіть,$x_i^*\text{,}$ що є геометричним значенням$A(x_i^*) \ \Delta x\text{?}$ (Підказка: Розглянемо, як$A(x_i^*) \Delta x$ це пов'язано із зображенням праворуч на малюнку 11.2.2.)
3. Оскільки$f$ є безперервним,$R\text{,}$ ми можемо визначити функцію$A = A(x)$ при кожному значенні$x$ в$[-3,3]\text{.}$ Тепер подумайте про поділ$x$ -інтервал на$[-3,3]$$m$ підінтервали, і вибираючи значення$x_i^*$ в кожному з цих підінтервалів. Яким буде значення суми$\sum_{i=1}^m A(x_i^*) \ \Delta x\text{?}$
4. Поясніть, чому$\int_{-3}^3 A(x) \, dx$ буде визначати точне значення обсягу під поверхнею$z = f(x,y)$ над прямокутником$R\text{.}$

11.2.1 Ітераційні інтеграли

Ідеї, які ми досліджували в Preview Activity 11.2.1 працюють більш загально і призводять до ідеї ітераційного інтеграла. $f$Дозволяти бути безперервної функції на прямокутної області$R = [a,b] \times [c,d]\text{,}$ і нехай

$$A(x) = \int_c^d f(x,y) \, dy. \nonumber$$

Функція$A = A(x)$ визначає значення площі поперечного перерізу (по площі ми маємо на увазі «підписану» площу) у$y$ напрямку для$x$ фіксованого значення твердого тіла, обмеженого між поверхнею, визначеною$f$ і$xy$ -площиною.

Малюнок 11.2.3. Підсумовування обсягів перерізу зрізів.

Значення цієї площі поперечного перерізу визначається входом$x$ в$A\text{.}$ Оскільки$A$ є функцією цього$x\text{,}$ випливає, що ми можемо інтегрувати$x\text{.}$ щодо$A$ При цьому ми використовуємо поділ$[a, b]$ і робимо наближення до інтегралу, заданого

$$\int_a^b A(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^m A(x_i^*) \Delta x, \nonumber$$

де$x_i^*$ - будь-яке число в підінтервалі$[x_{i-1},x_i]\text{.}$ Кожен член$A(x_i^*) \Delta x$ в сумі являє собою наближення фіксованого перерізу зрізу поверхні в$y$ напрямку з фіксованою шириною,$\Delta x$ як показано на малюнку 11.2.3. Складаємо підписані обсяги цих зрізів, як показано на кадрах на малюнку 11.2.3, щоб отримати наближення загального підписаного обсягу.

Коли ми дозволимо кількості підінтервалів у$x$ напрямку наблизитися до нескінченності, ми можемо побачити, що сума Рімана$\sum_{i=1}^m A(x_i^*) \Delta x$ наближається до межі, і ця межа - сума знакових об'ємів, обмежених функцією$f$ on$R\text{.}$ Отже, оскільки сама$A(x)$ визначається інтегралом, ми мати

$$\iint_R f(x,y) \, dA = \lim_{m \to \infty} \sum_{i=1}^m A(x_i^*) \Delta x = \int_a^b A(x) \, dx = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \, dy \right) \, dx. \nonumber$$

Отже, ми можемо обчислити подвійний інтеграл$f$ над$R$, спочатку$f$ інтегруючи відносно$y$ на$[c, d]\text{,}$ потім інтегруючи$x$ результуючу функцію щодо$x$ на$[a, b]\text{.}$ Вкладений інтеграл

$$\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \, dy \right) \, dx = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx \nonumber$$

називається ітераційним інтегралом, і ми бачимо, що кожен подвійний інтеграл може бути представлений двома одинарними інтегралами.

Ми зробили вибір, щоб інтегрувати спочатку щодо того ж аргументу показує, що ми також можемо знайти подвійний інтеграл як ітераційний інтеграл, що інтегрується щодо$x$ першого, або$y\text{.}$

$$\iint_R f(x,y) \, dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) \, dx \right) \, dy = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy. \nonumber$$

Той факт, що інтеграція в будь-якому порядку призводить до одного і того ж значення, відомий як теорема Фубіні.

Теорема Фубіні

Якщо$f = f(x,y)$ є безперервною функцією на прямокутник,$R = [a,b] \times [c,d]\text{,}$ то

$$\iint_R f(x,y) \, dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx. \nonumber$$

Теорема Фубіні дозволяє оцінювати ітераційні інтеграли, не вдаючись до граничного визначення. Замість цього, працюючи з одним інтегралом за раз, ми можемо використовувати Фундаментальну теорему числення з однозмінного числення, щоб знайти точне значення кожного інтеграла, починаючи з внутрішнього інтеграла.

Активність 11.2.2

Нехай$f(x,y) = 25-x^2-y^2$ на прямокутному домені$R = [-3,3] \times [-4,4]\text{.}$

1. Розглядаючи$x$ як фіксовану константу, використовуйте фундаментальну теорему числення для оцінки інтеграла
   $$A(x) = \int_{-4}^4 f(x,y) \, dy. \nonumber$$

   Зверніть увагу, що ви будете інтегрувати стосовно$y\text{,}$ і тримати$x$ постійними. Ваш результат повинен бути функцією$x$ тільки.

2. Далі використовуйте свій результат з (a) разом з фундаментальною теоремою обчислення для визначення значення$\int_{-3}^3 A(x) \, dx\text{.}$
3. Що таке цінність$\iint_R f(x,y) \, dA\text{?}$ Якими двома різними способами ми можемо інтерпретувати значення цього значення?

Активність 11.2.3

Нехай$f(x,y) = x+y^2$ на прямокутник$R = [0,2] \times [0,3]\text{.}$

1. Оцініть,$\iint_R f(x,y) \, dA$ використовуючи ітераційний інтеграл. Виберіть порядок інтеграції, вирішивши, чи хочете ви спочатку інтегрувати щодо$x$ чи$y\text{.}$
2. Оцініть,$\iint_R f(x,y) \, dA$ використовуючи ітераційний інтеграл, порядок інтеграції якого протилежний порядку, який ви вибрали в (a).

11.2.2 Резюме

• Ми можемо оцінити подвійний інтеграл$\iint_R f(x,y) \, dA$ над прямокутником$R = [a,b] \times [c,d]$ як ітераційний інтеграл одним із двох способів:
  • $\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \, dy \right) \, dx\text{,}$або
  • $\int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) \, dx \right) \, dy\text{.}$

  Цей процес працює тому, що кожен внутрішній інтеграл представляє область поперечного перерізу (підписаний), а зовнішній інтеграл потім сумує всі області поперечного перерізу (підписані). Теорема Фубіні гарантує, що отримане значення однакове, незалежно від порядку, в якому ми інтегруємося.