11.7: Потрійні інтеграли

Мотивуючі питання

• Як\(f = f(x,y,z)\) визначаються потрійна сума Рімана та відповідний потрійний інтеграл неперервної функції?
• Які дві речі нам може розповісти потрійний інтеграл функції?

Тепер ми дізналися, що ми визначаємо подвійний інтеграл неперервної функції\(f = f(x,y)\) над прямокутником\(R = [a,b] \times [c,d]\) як межу подвійної суми Рімана, і що ці ідеї паралельні однозмінному інтегралу функції\(g = g(x)\) на проміжку\([a,b]\text{.}\) Крім того, цей подвійний інтеграл має натуральний інтерпретацій та застосувань, і навіть може розглядатися над непрямокутними областями,\(D\text{.}\) Наприклад, з урахуванням неперервної функції\(f\) над\(D\text{,}\) областю середнє значення\(f\text{,}\)\(f_{\operatorname{AVG}(D)}\text{,}\) задається

\[ f_{\operatorname{AVG}(D)} = \frac{1}{A(D)} \iint_D f(x,y) \, dA, \nonumber \]

де\(A(D)\) площа\(D\text{.}\) Аналогічно, якщо\(\delta(x,y)\) описує функцію масової щільності на\(D\text{,}\) ламіні над\(M\text{,}\) масою, ламіни задається

\[ M = \iint_D \delta(x,y) \, dA. \nonumber \]

Природно дивуватися, чи можна розширити ці ідеї подвійних сум Рімана та подвійних інтегралів для функцій двох змінних на потрійні суми Рімана, а потім потрійні інтеграли для функцій трьох змінних. Ми починаємо розслідування в попередньому перегляді діяльності 11.7.1.

Попередній перегляд Активність 11.7.1

Розглянемо суцільний шматок граніту у формі короба\(B = \{(x,y,z) : 0 \leq x \leq 4, 0 \leq y \leq 6, 0 \leq z \leq 8\}\text{,}\), щільність якого змінюється від точки до точки. Давайте\(\delta(x, y, z)\) представляємо масову щільність шматка граніту\((x,y,z)\) в точці в кілограмах на кубічний метр (так ми вимірюємо\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) і\(z\) в метрах). Наша мета - знайти масу цього твердого тіла.

Нагадаємо, що якщо щільність була постійною, ми могли б знайти масу, помноживши щільність і об'єм; оскільки щільність змінюється від точки до точки, ми будемо використовувати підхід, який ми зробили з проблемами двозмінної ламіни, і розрізаємо тверде тіло на невеликі шматочки, на яких щільність приблизно постійна.

\([0,4]\)Розділіть інтервал на 2 підінтервали однакової довжини, інтервал\([0,6]\) на 3 підінтервали однакової довжини, а інтервал\([0,8]\) на 2 підінтервали рівної довжини. Це розділяє коробку\(B\) на підкоробки, як показано на малюнку 11.7.1.

Малюнок 11.7.1. Розділений тривимірний домен.

1. \(0=x_0 \lt x_1 \lt x_2=4\)Дозволяти кінцеві точки підінтервалів\([0,4]\) після розділення. Намалюйте малюнок на малюнку 11.7.1 і позначте ці кінцеві точки на своєму кресленні. Робіть аналогічно\(0=y_0 \lt y_1 \lt y_2 \lt y_3=6\) і\(0=z_0 \lt z_1 \lt z_2=8\) Яка довжина\(\Delta x\) кожного підінтервалу\([x_{i-1},x_i]\)\(i\) від 1 до 2? \(\Delta y\text{?}\)довжина\(\Delta z\text{?}\)
2. Перегородки з інтервалів\([0,4]\text{,}\)\([0,6]\) і\([0,8]\) розбивають\(B\) коробку на підбокси. Скільки підбоксів існує? Який обсяг кожного\(\Delta V\) вкладеного ящика?
3. Давайте\(B_{ijk}\) позначимо підполе\([x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j] \times [z_{k-1}, z_k]\text{.}\) Скажімо, що ми вибираємо точку\((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)\) у підрядці для кожної можливої комбінації\(i,j,k\text{.}\) Що означає\(\delta(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)\text{?}\) Яка фізична величина буде\(\delta(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \Delta V\) наближена?\(i,j,k\)
4. Який останній крок (и) знадобився б, щоб визначити точну масу шматка граніту?

11.7.1 Потрійні суми Рімана та потрійні інтеграли

Завдяки застосуванню розподілу щільності маси над тривимірним твердим тілом, Preview Activity 11.7.1 припускає, що узагальнення від подвійних сум Рімана функцій двох змінних до потрійних сум Рімана функцій трьох змінних є природним. Таким же чином відбувається узагальнення від подвійних інтегралів до потрійних інтегралів. Просто додаючи\(z\) -координату до нашої попередньої роботи, ми можемо визначити як потрійну суму Рімана, так і відповідний потрійний інтеграл.

Визначення 11.7.2

\(f = f(x,y,z)\)Дозволяти безперервна функція на\(B = [a,b] \times [c,d] \times [r,s]\text{.}\) коробці Потрійна сума Рімана\(f\) над\(B\) створюється наступним чином.

• \([a,b]\)Розділити інтервал на\(m\) підінтервали однакової довжини\(\Delta x = \frac{b-a}{m}\text{.}\) Дозволяти\(x_0\text{,}\)\(x_1\text{,}\)\(\ldots\text{,}\)\(x_m\) бути кінцевими точками цих підінтервалів, де\(a = x_0\lt x_1\lt x_2 \lt \cdots \lt x_m = b\text{.}\) Зробіть аналогічно з інтервалом,\([c,d]\) використовуючи\(n\) підінтервали рівної довжини\(\Delta y = \frac{d-c}{n}\) до генерувати\(c = y_0\lt y_1\lt y_2 \lt \cdots \lt y_n = d\text{,}\) і з інтервалом,\([r,s]\) використовуючи\(\ell\) підінтервали однакової довжини\(\Delta z = \frac{s-r}{\ell}\), щоб мати\(r = z_0\lt z_1\lt z_2 \lt \cdots \lt z_l = s\text{.}\)
• \(B_{ijk}\)Дозволяти підполе\(B\) з протилежних вершин\((x_{i-1},y_{j-1},z_{k-1})\) і\((x_i, y_j, z_k)\) для\(i\) між\(1\) і\(m\text{,}\)\(j\) між\(1\)\(n\text{,}\) і\(k\) між і між 1 і\(\ell\text{.}\) обсяг кожного\(B_{ijk}\) є\(\Delta V = \Delta x \cdot \Delta y \cdot \Delta z\text{.}\)
• \((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)\)Дозволяти точка в коробці\(B_{ijk}\) для кожного\(i\text{,}\)\(j\text{,}\) і\(k\text{.}\) отримана триразова сума Рімана для\(f\) on\(B\) дорівнює
  \[ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{\ell} f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \cdot \Delta V. \nonumber \]

Якщо\(f(x,y,z)\) являє собою масову щільність коробки,\(B\text{,}\) то, як ми бачили в Preview Activity 11.7.1, потрійний Riemann сума наближає загальну масу коробки Для\(B\text{.}\) того, щоб знайти точну масу коробки, ми повинні дозволити кількість вкладені коробки збільшитися без обмежень (іншими словами, нехай \(m\text{,}\)\(n\text{,}\)і\(\ell\) перейти до нескінченності); в цьому випадку кінцева сума наближень маси стає фактичною масою твердого тіла\(B\text{.}\). У загальному випадку ми маємо наступне визначення потрійного інтеграла.

Визначення 11.7.3

З наступними позначеннями, визначеними як у потрійній сумі Рімана, потрійний інтеграл\(f\) понад\(B\) дорівнює

\[ \iiint_B f(x,y,z) \, dV = \lim_{m,n,\ell \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{\ell} f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \cdot \Delta V. \nonumber \]

Як ми вже зазначали раніше, якщо\(f(x, y, z)\) являє собою щільність твердого тіла\(B\) в кожній точці,\((x, y, z)\text{,}\) то

\[ M = \iiint_B f(x,y,z) \, dV \nonumber \]

є маса\(B\text{.}\) Ще більш важливо, для будь-якої неперервної функції\(f\) над твердим\(B\text{,}\) ми можемо використовувати потрійний інтеграл для визначення середнього значення\(f\) над.\(B\text{,}\)\(f_{\operatorname{AVG}(B)}\text{.}\) Відзначимо це узагальнення нашої роботи з функціями двох змінних поряд з декількома інші в наступній важливій коробковій інформації. Зауважте, що кожна з цих величин може фактично розглядатися над загальним доменом\(S\), а\(\mathbb{R}^3\text{,}\) не просто коробкою,\(B\text{.}\)

• Потрійний інтеграл
  \[ \displaystyle V(S) = \iiint_S 1 \, dV \nonumber \]

  являє собою обсяг твердого тіла\(S\).

• Середнє значення функції\(f = f(x,y,x)\) над твердою\(S\) областю задається
  \[ f_{\operatorname{AVG}(S)} = \displaystyle \left(\frac{1}{V(S)} \right) \iiint_S f(x,y,z) \, dV, \nonumber \]

  де\(V(S)\) - обсяг твердого тіла\(S\text{.}\)

• Центр маси твердого тіла\(S\) з щільністю\(\delta = \delta(x,y,z)\) - це\((\overline{x}, \overline{y}, \overline{z})\text{,}\) де
  \ begin {align*}\ перекриття {x} & =\ frac {\ IIint_s x\\ дельта (x, y, z)\, dV} {M},\\ [4pt]\ overline {y} & =\ frac {\ IIint_s y\\ дельта (x, y, z)\, dV} {M},\\ [4pt]\ over лінія {z} & =\ розриву {\ IIint_s z\\ дельта (x, y, z)\, dV} {M},\ end {вирівнювати*}

  і\(M = \displaystyle \iiint_S \delta(x,y,z) \, dV\) є масою твердого тіла\(S\text{.}\)

У декартовій системі координат елемент об'єму\(dV\) є\(dz \, dy \, dx\text{,}\) і, як наслідок, потрійний інтеграл функції\(f\) над коробкою\(B = [a,b] \times [c,d] \times [r,s]\) в декартових координатах може бути оцінений як ітераційний інтеграл форми

\[ \iiint_B f(x,y,z) \, dV = \int_a^b \int_c^d \int_r^s f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx. \nonumber \]

Якщо ми хочемо оцінити потрійний інтеграл як ітераційний інтеграл над твердим тілом,\(S\) який не є коробкою, то нам потрібно описати тверде тіло з точки зору змінних меж.

Активність 11.7.2

a. налаштувати і оцінити потрійний інтеграл\(f(x,y,z) = x-y+2z\) над коробкою\(B = [-2,3] \times [1,4] \times [0,2]\text{.}\)

b\(S\) Дозволяти бути суцільний конус,\(z=3\text{.}\) обмежений\(z = \sqrt{x^2+y^2}\) і зображення\(S\) показано праворуч на малюнку 11.7.4. Наша мета в наступному полягає в тому, щоб створити ітераційний інтеграл форми.

\[ \int_{x=?}^{x=?} \int_{y=?}^{y=?} \int_{z=?}^{z=?} \delta(x,y,z) \, dz \, dy \, dx\label{eq_11_7_TI_not_box}\tag{11.7.1} \]

представляти масу\(S\) в налаштуванні, де\(\delta(x,y,z)\) говорить нам щільність в\(S\) точці\((x,y,z)\text{.}\) Наша особлива задача полягає в тому, щоб знайти межі на кожному з трьох інтегралів.

Малюнок 11.7.4. Зліва: Конус. Праворуч: Його проекція.

i Якщо ми думаємо про розрізання твердого тіла, ми можемо розглянути можливість розрізання області проекції твердого тіла на\(xy\) -площину (так само, як ми б розрізали двовимірну область в\(\mathbb{R}^2\)), а потім зріз в\(z\) -напрямку, а також. Проекція твердого тіла на\(xy\) -площину показана зліва на малюнку 11.7.4. Якщо ми вирішимо спочатку розрізати область проекції твердого тіла перпендикулярно\(x\) -осі, над яким діапазоном постійних\(x\) -значень нам доведеться розрізати?

II. Якщо ми продовжимо нарізку домену, які обмеження\(y\) на типовий зріз? Як вони залежать від\(x\text{?}\) того, що, отже, обмеження на середній інтеграл?

III. Нарешті, тепер, коли ми думали про розрізання двовимірної області, яка є проекцією конуса, які межі\(z\) в самому внутрішньому інтегралі? Зверніть увагу, що над будь-якою точкою\((x,y)\) на площині вертикальний зріз у\(z\) напрямку буде включати діапазон значень від самого конуса до його плоскої вершини. Зокрема, зауважте, що хоча б одна з цих обмежень не є постійною, але залежить від\(x\) і\(y\text{.}\)

IV. На закінчення напишіть ітераційний інтеграл виду (11.7.1), який представляє масу конуса\(S\text{.}\)

Примітка добре: при налаштуванні ітераційних інтегралів обмеження на задану змінну можуть бути тільки з точки зору інших змінних. Крім того, існує кілька різних способів, які ми можемо вибрати, щоб створити такий інтеграл. Наприклад, дві можливості для ітераційних інтегралів, які представляють потрійний інтеграл\(\iiint_S f(x,y,z) \, dV\) над твердим\(S\) тілом

• \(\displaystyle \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx\)
• \(\displaystyle \int_r^s \int_{p_1(z)}^{p_2(z)} \int_{q_1(x,z)}^{q_2(x,z)} f(x,y,z) \, dy \, dx \, dz\)

де\(g_1\text{,}\)\(g_2\text{,}\)\(h_1\text{,}\)\(h_2\text{,}\)\(p_1\text{,}\)\(p_2\text{,}\)\(q_1\text{,}\) і\(q_2\) є функціями зазначених змінних. Є ще чотири варіанти, крім двох заявлених тут, так як змінні\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) і\(z\) можуть (теоретично) бути розташовані в будь-якому порядку. Звичайно, за багатьох обставин глибокий вибір змінного порядку полегшить встановлення ітераційного інтеграла, як це було у випадку, коли ми працювали з подвійними інтегралами.

Приклад 11.7.5

Знайти масу тетраедра в першому октанті, обмеженому координатними площинами, і площиною,\(x + 2 y + 3 z = 6\) якщо щільність в точці\((x,y,z)\) задана зображенням твердого тетраедра зліва на малюнку 11.7.6.\(\delta(x, y, z) = x + y + z\text{.}\)

Малюнок 11.7.6. Зліва: Тетраедр. Праворуч: Його проекція.

Знаходимо масу,\(M\text{,}\) тетраедра по потрійному інтегралу

\[ M = \iiint_S \delta(x,y,z) \, dV, \nonumber \]

де\(S\) знаходиться описаний вище твердий тетраедр. У цьому прикладі ми вирішили інтегруватися щодо\(z\) першого для найпотаємнішого інтегралу. Вершина тетраедра задається рівнянням

\[ x + 2 y + 3 z = 6; \nonumber \]

рішення для\(z\) потім врожайності

\[ z = \frac{1}{3}(6 - x - 2y). \nonumber \]

Дно тетраедра - це\(xy\) -площина, тому межі\(z\) в ітераційному інтегралі будуть\(0 \leq z \leq \frac{1}{3}(6-x-2y)\text{.}\)

Щоб знайти межі,\(x\) і\(y\) ми проектуємо тетраедр на\(xy\) -площину; це відповідає встановленню\(z = 0\) в рівнянні\(z = \frac{1}{3}(6 - x - 2y)\text{.}\) Отримане співвідношення між\(x\) і\(y\) є

\[ x + 2 y = 6. \nonumber \]

Праве зображення на малюнку 11.7.6 показує проекцію тетраедра на\(xy\) -площину.

Якщо ми вирішили інтегрувати\(y\) щодо середнього інтеграла в ітераційному інтегралі, то нижня межа на\(y\)\(x\) - вісь, а верхня межа - гіпотенуза трикутника. Зверніть увагу, що гіпотенуза приєднується до точок\((6,0)\)\((0,3)\) і так має рівняння\(y = 3 - \frac{1}{2}x\text{.}\) Таким чином, межі на\(y\) є\(0 \leq y \leq 3 - \frac{1}{2}x\text{.}\) Нарешті,\(x\) значення йдуть від 0 до 6, тому ітераційний інтеграл, який дає масу тетраедра є

\[ M = \int_{0}^{6} \int_{0}^{3-(1/2)x} \int_{0}^{(1/3)(6-x-2y)} x+y+z \, dz \, dy \, dx.\label{eq_11_7_Tetrahedron_mass}\tag{11.7.2} \]

Оцінка потрійного інтеграла дає нам

\ почати {вирівнювати*} М & =\ int_ {0} ^ {6}\ int_ {0} ^ {3- (1/2) х}\ int_ {0} ^ {(1/3) (6-x-2y)} x+y+z\, dz\, dy\, dx\\ [4pt] & =\ int_ {0} ^ {6}\ int_ {0 }- (1/2) х}\ ліворуч [xz+yz+\ розриву {z} {2}\ праворуч]\ biggm|_ {0} ^ {(1/3) (6-x-2y)}}\, ді\, dx\\ [4pt] & =\ int_ {0} ^ {6}\ int_ {0} ^ {3- (1/2) х}\ frac {4} {3} x -\ гідророзриву {5} {18} x^2 -\ гідророзриву {} { 9} xy +\ розрив {2} {3} y -\ розрив {4} {9} y^2 + 2\, dy\, dx\\ [4pt] & =\ int_ {0} ^ {6}\ лівий [\ розрив {4} {3} xy -\ розрив {5} {18} x^2y -\ frac {7} {18} {18} xy^2 +\ розрив {1} {3} y^2 -\ розрив {4} {27} y^3 + 2y\ право]\ biggm|_ {0} ^ {3- (1/2) х}\, dx\\ [4pt] & =\ int_ {0} ^ {6} 5 +\ розрив {1} {2} x -\ frac {7} {12} x^2 +\ розрив {13} {216} x^3\, dx\\ [4pt] & підсилювач; =\ лівий [5x +\ розрив {1} {4} x^2 -\ розрив {7} {36} x^3 +\ гідророзриву {13} {864} x^4\ праворуч]\ bigm|_ {0} ^ {6}\ [4pt] & =\ розриву {33} {2}. \ end {вирівнювати*}

Встановлення обмежень на ітераційні інтеграли може вимагати значної геометричної інтуїції. Важливо не тільки створювати ретельно позначені фігури, але і продумати, як ми хочемо нарізати твердий. Крім того, зауважте, що коли ми говоримо «ми будемо інтегрувати спочатку по відношенню до\(x\text{,}\)» за «першим» ми маємо на увазі найпотаємніший інтеграл в ітераційному інтегралі. Наступна діяльність досліджує кілька різних способів, які ми могли б створити інтеграл у попередньому прикладі.

Активність 11.7.3

Є кілька інших способів, які ми могли б створити інтеграл, щоб дати масу тетраедра в прикладі 11.7.5.

1. Скільки різних ітераційних інтегралів можна встановити, рівних інтегралу в Рівнянні (11.7.2)?
2. Встановіть ітераційний інтеграл, інтегруючи спочатку відносно\(z\text{,}\)\(x\text{,}\) потім\(y\), що еквівалентно інтегралу в Рівнянні (11.7.2). Перед тим як записати інтеграл, подумайте над малюнком 11.7.6, і намалюйте відповідне двомірне зображення важливої проекції.
3. Встановіть ітераційний інтеграл, інтегруючи спочатку відносно\(y\text{,}\)\(z\text{,}\) потім\(x\), що еквівалентно інтегралу в Рівнянні (11.7.2). Як і в (b), спочатку гарненько подумайте про геометрію.
4. Встановіть ітераційний інтеграл, інтегруючи спочатку відносно\(x\text{,}\)\(y\text{,}\) потім\(z\), що еквівалентно інтегралу в Рівнянні (11.7.2).

Тепер, коли ми почали розуміти, як налаштувати ітераційні потрійні інтеграли, ми можемо застосувати їх для визначення важливих величин, таких як ті, що знайдені в наступній діяльності.

Активність 11.7.4

Тверда\(S\) речовина обмежена нижче квадратом\(z=0\text{,}\)\(-1 \leq x \leq 1\text{,}\)\(-1 \leq y \leq 1\) і вище поверхнею\(z = 2-x^2-y^2\text{.}\). Зображення твердого тіла показано на малюнку 11.7.7.

Малюнок 11.7.7. Тверда речовина, обмежена поверхнею\(z = 2-x^2-y^2\text{.}\)

1. Спочатку створіть ітераційний подвійний інтеграл, щоб знайти об'єм твердого тіла\(S\) як подвійний інтеграл твердого тіла під поверхнею. Потім встановіть ітераційний потрійний інтеграл, який дає об'єм твердого тіла.\(S\text{.}\) Вам не потрібно оцінювати жодного інтеграла. Порівняйте два підходи.
2. Налаштуйте (але не оцінюйте) ітераційні інтегральні вирази, які повідомлять нам центр маси,\(S\text{,}\) якщо щільність у точці\((x,y,z)\)\(\delta(x,y,z)=x^2+1\text{.}\)
3. Налаштуйте (але не оцінюйте) ітераційний інтеграл, щоб знайти середню щільність\(S\) за допомогою функції щільності з частини (b).
4. Використовуйте технологію належним чином для оцінки ітераційних інтегралів, які ви визначили в (a), (b) та (c); чи має сенс розташування, яке ви визначили для центру маси?

11.7.2 Резюме

• \(f = f(x,y,z)\)Дозволяти бути безперервною функцією\(B = [a,b] \times [c,d] \times [r,s]\text{.}\) на коробці Потрійний інтеграл\(f\) над\(B\) визначається як
  \[ \iiint_B f(x,y,z) \, dV = \lim_{\Delta V \to 0} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^l f(x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*) \cdot \Delta V, \nonumber \]

  де потрійна сума Рімана визначається звичайним способом. Визначення потрійного інтеграла природно поширюється на непрямокутні тверді області\(S\text{.}\)

• Потрійний інтеграл\(\iiint_S f(x,y,z) \, dV\) може сказати нам
  • обсяг твердого тіла,\(S\) якщо\(f(x,y,z) = 1\text{,}\)
  • маса твердого тіла\(S\) if\(f\) являє собою щільність\(S\) в точці\((x,y,z)\text{.}\)

  Більш того,

  \[ f_{\operatorname{AVG}(S)} = \displaystyle \frac{1}{V(S)} \iiint_S f(x,y,z) \, dV, \nonumber \]

  середнє значення\(f\) понад\(S\text{.}\)