8.1: Послідовності

Мотивуючі питання

• Що таке послідовність?
• Що означає сходитися послідовність?
• Що означає, що послідовність розходиться?

Ми стикаємося з послідовностями щодня. Ваші щомісячні комунальні платежі, щорічні відсотки, які ви отримуєте від інвестицій, сума, яку ви витрачаєте на продукти щотижня; все це приклади послідовностей. Інші послідовності, з якими ви можете бути знайомі, включають послідовність Фібоначчі,\(1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots \text{,}\) де кожен член - сума двох попередніх членів, а трикутні числа\(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \ldots \text{,}\) - кількість вершин у трикутниках, показаних на малюнку 8.1.1.

Малюнок 8.1.1. Трикутні числа

Послідовності цілих чисел представляють такий інтерес для математиків та інших, що у них є присвячений їм журнал ¹ і он-лайн енциклопедія ², яка каталогізує величезну кількість цілих послідовностей і їх зв'язків. Послідовності також використовуються в цифрових записах і зображеннях.

Журнал цілочисельних послідовностей за адресою http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/

Онлайн-енциклопедія цілочисельних послідовностей на http://oeis.org/

Наші дослідження в області обчислення стосувалися безперервних функцій. Послідовності моделюють дискретні замість неперервної інформації. Ми вивчимо способи представлення та роботи з дискретною інформацією в цьому розділі, досліджуючи послідовності та ряди, і в кінцевому підсумку побачимо ключові зв'язки між дискретною та безперервною.

Попередній перегляд Діяльність 8.1.1

Припустимо, ви отримуєте\(\dollar5000\) через спадщину. Ви вирішили вкласти ці гроші в фонд, який платить\(8\%\) щорічно, посилюється щомісяця. Це означає, що кожен місяць ваші інвестиції заробляють\(\frac{0.08}{12} \cdot P\) додаткові долари, де\(P\) ваш основний баланс на початку місяця. Так що в перший місяць ваші інвестиції заробляють

\[ 5000 \left(\frac{0.08}{12}\right) \nonumber \]

або\(\dollar33.33\text{.}\) Якщо ви реінвестуєте ці гроші, ви будете мати на своєму рахунку\(\dollar5033.33\) в кінці першого місяця. З цього моменту припустимо, що ви реінвестуєте всі зароблені відсотки.

1. Скільки відсотків ви заробите за другий місяць? Скільки грошей у вас буде на рахунку в кінці другого місяця?
2. Заповніть таблицю 8.1.2, щоб визначити зароблені відсотки та загальну суму грошей у цій інвестиції щомісяця протягом одного року.

   Таблиця 8.1.2. Інтерес

   Місяць	Зароблені відсотки	Загальна сума грошей на рахунку
   \(0\)	\(\dollar0.00\)	\(\dollar5000.00\)
   \(1\)	\(\dollar33.33\)	\(\dollar5033.33\)
   \(2\)
   \(3\)
   \(4\)
   \(5\)
   \(6\)
   \(7\)
   \(8\)
   \(9\)
   \(10\)
   \(11\)
   \(12\)

3. Як ми побачимо пізніше, сума грошей\(P_n\) на рахунку за місяцем\(n\) дається
   \[ P_n = 5000\left(1+\frac{0.08}{12}\right)^{n}\text{.} \nonumber \]

   Використовуйте цю формулу, щоб перевірити свої розрахунки в таблиці 8.1.2. Потім знайти суму грошей на рахунку через 5 років.

4. Скільки років пройде до того, як рахунок подвоїться в ціні до 10000 доларів?

8.1.1 Послідовності

Як показує попередній перегляд діяльності 8.1.1, багато дискретних явищ можна представити у вигляді списків чисел (наприклад, суми грошей на рахунку протягом періоду місяців). Будь-який такий список ми називаємо послідовністю. Послідовність - це не що інше, як список термінів у певному порядку. Ми часто перераховуємо записи послідовності з індексами,

\[ s_1, s_2, \ldots, s_n \ldots\text{,} \nonumber \]

де індекс позначає позицію запису в послідовності.

Визначення 8.1.3

Послідовність - це список термінів\(s_1, s_2, s_3, \ldots\) у вказаному порядку.

Ми можемо думати про послідовність як функцію, область\(f\) якої є набором натуральних чисел, де\(f(n) = s_n\) для кожного позитивного цілого\(n\text{.}\) Цей альтернативний вид буде корисним у багатьох ситуаціях.

Ми часто позначаємо послідовність

\[ s_1, s_2, s_3, \ldots \nonumber \]

\(\{s_n\}\text{.}\)по Значення\(s_n\) (альтернативно\(s(n)\)) називається\(n\) -м терміном в послідовності. Якщо терміни всі 0 після деякого фіксованого значення\(n\text{,}\) ми говоримо послідовність скінченна. В іншому випадку послідовність нескінченна. З нескінченними послідовностями нас часто цікавить їх кінцева поведінка та ідея збіжних послідовностей.

Діяльність 8.1.2

1. \(s_n\)Дозволяти буде\(n\) -й член в послідовності\(1, 2, 3, \ldots\text{.}\) Знайти формулу\(s_n\) і використовувати відповідні технологічні інструменти, щоб намалювати графік записів в цій послідовності шляхом побудови точок виду\((n,s_n)\) для деяких значень\(n\text{.}\) Більшість графічних калькуляторів можуть будувати послідовності; вказівки слідують для TI-84.
   • У меню MODE виділіть SEQ в рядку FUNC і натисніть ENTER.
   • У меню Y= тепер ви побачите рядки для введення послідовностей. Введіть значення nMin (де починається послідовність), функції для u (n) (\(n\)го члена послідовності) та значення u (nMin).
   • Встановіть координати вікна (це передбачає вибір обмежень для, а\(n\) також координат вікна XMin, xMax, YMin та YMax.
   • Клавіша GRAPH намалює графік вашої послідовності.

   Використовуючи свої знання про межі безперервних функцій,\(x \to \infty\text{,}\) вирішіть, чи\(\{s_n\}\) має ця послідовність обмеження, як\(n \to \infty\text{.}\) Поясніть свої міркування.

2. \(s_n\)Дозволяти буде\(n\) й член в послідовності\(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\text{.}\) Знайти формулу для\(s_n\text{.}\) Намалюйте графік деяких точок в цій послідовності. Використовуючи свої знання про межі безперервних функцій,\(x \to \infty\text{,}\) вирішіть, чи\(\{s_n\}\) має ця послідовність обмеження, як\(n \to \infty\text{.}\) Поясніть свої міркування.
3. Нехай\(s_n\) буде термін у послідовності\(2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \ldots\text{.}\) Знайдіть формулу для\(s_n\text{.}\) використання своїх знань про межі безперервних функцій, як\(x \to \infty\text{,}\) вирішити, чи\(\{s_n\}\) має ця послідовність обмеження, як\(n \to \infty\text{.}\) Поясніть свої міркування.\(n\)

Далі ми формалізуємо ідеї з Activity 8.1.2.

Активність 8.1.3

1. Нагадаємо нашу попередню роботу з лімітами за участю нескінченності в розділі 2.8. Чітко сформулюйте, що означає для безперервної функції\(f\), щоб мати межу\(L\) як\(x \to \infty\text{.}\)
2. Враховуючи, що нескінченна послідовність дійсних чисел є функцією від цілих чисел до дійсних чисел, застосуйте ідею з частини (а), щоб пояснити, що, на вашу думку, означає для послідовності\(\{s_n\}\) мати межу як\(n \to \infty\text{.}\)
3. Виходячи з вашої відповіді на частину (b), вирішіть, чи\(\left\{ \frac{1+n}{2+n}\right\}\) має послідовність обмеження, як\(n \to \infty\text{.}\) Якщо так, то яка межа? Якщо ні, то чому б і ні?

У Діяльність 8.1.2 та 8.1.3 ми досліджували послідовність\(\{s_n\}\), яка має межу, що\(n\) переходить до нескінченності. Більш формально зробимо наступне визначення.

Визначення 8.1.4

Послідовність\(\{ s_n \}\) сходиться або є збіжною послідовністю за умови, що є\(L\) таке число, що ми можемо зробити\(s_n\) так,\(L\) як ми хочемо, взявши\(n\) досить великий. У цій ситуації викликаємо\(L\) межу збіжної послідовності і запишемо

\[ \lim_{n \to \infty} s_n = L\text{.} \nonumber \]

Якщо послідовність\(\{s_n\}\) не сходиться, говоримо, що послідовність\(\{s_n\}\) розходиться.

Ідея послідовності, що має межу,\(n \to \infty\) така ж, як ідея безперервної функції, що має межу як Єдина відмінність полягає\(x \to \infty\text{.}\) в тому, що послідовності дискретні, а не безперервні.

Діяльність 8.1.4

Використовуйте графічні та/або алгебраїчні методи, щоб визначити, чи збігається чи розходиться кожна з наступних послідовностей.

1. \(\displaystyle \left\{\frac{1+2n}{3n-2}\right\}\)
2. \(\displaystyle \left\{\frac{5+3^n}{10+2^n}\right\}\)
3. \(\left\{\frac{10^n}{n!}\right\}\)(де\(!\) є факторіальним символом і\(n! = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1)\) для будь-якого додатного цілого числа\(n\) (як умовність ми\(0!\) визначаємо як 1)).

8.1.2 Резюме

• Послідовність - це список об'єктів у вказаному порядку. Зазвичай ми працюватимемо з послідовностями дійсних чисел. Ми можемо думати про послідовність як функцію від позитивних цілих чисел до множини дійсних чисел.
• \(\{s_n\}\)Послідовність дійсних чисел сходиться до числа,\(L\) якщо ми можемо зробити кожне значення\(s_k\) для\(k \ge n\) так близько, як ми хочемо,\(L\) вибираючи\(n\) досить великий.
• Послідовність розходиться, якщо вона не сходиться.