8.1: Послідовності

Мотивуючі питання

• Що таке послідовність?
• Що означає сходитися послідовність?
• Що означає, що послідовність розходиться?

Ми стикаємося з послідовностями щодня. Ваші щомісячні комунальні платежі, щорічні відсотки, які ви отримуєте від інвестицій, сума, яку ви витрачаєте на продукти щотижня; все це приклади послідовностей. Інші послідовності, з якими ви можете бути знайомі, включають послідовність Фібоначчі,$1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots \text{,}$ де кожен член - сума двох попередніх членів, а трикутні числа$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, \ldots \text{,}$ - кількість вершин у трикутниках, показаних на малюнку 8.1.1.

Малюнок 8.1.1. Трикутні числа

Послідовності цілих чисел представляють такий інтерес для математиків та інших, що у них є присвячений їм журнал ¹ і он-лайн енциклопедія ², яка каталогізує величезну кількість цілих послідовностей і їх зв'язків. Послідовності також використовуються в цифрових записах і зображеннях.

Журнал цілочисельних послідовностей за адресою http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/

Онлайн-енциклопедія цілочисельних послідовностей на http://oeis.org/

Наші дослідження в області обчислення стосувалися безперервних функцій. Послідовності моделюють дискретні замість неперервної інформації. Ми вивчимо способи представлення та роботи з дискретною інформацією в цьому розділі, досліджуючи послідовності та ряди, і в кінцевому підсумку побачимо ключові зв'язки між дискретною та безперервною.

Попередній перегляд Діяльність 8.1.1

Припустимо, ви отримуєте$\dollar5000$ через спадщину. Ви вирішили вкласти ці гроші в фонд, який платить$8\%$ щорічно, посилюється щомісяця. Це означає, що кожен місяць ваші інвестиції заробляють$\frac{0.08}{12} \cdot P$ додаткові долари, де$P$ ваш основний баланс на початку місяця. Так що в перший місяць ваші інвестиції заробляють

$$5000 \left(\frac{0.08}{12}\right) \nonumber$$

або$\dollar33.33\text{.}$ Якщо ви реінвестуєте ці гроші, ви будете мати на своєму рахунку$\dollar5033.33$ в кінці першого місяця. З цього моменту припустимо, що ви реінвестуєте всі зароблені відсотки.

1. Скільки відсотків ви заробите за другий місяць? Скільки грошей у вас буде на рахунку в кінці другого місяця?
2. Заповніть таблицю 8.1.2, щоб визначити зароблені відсотки та загальну суму грошей у цій інвестиції щомісяця протягом одного року.

   Таблиця 8.1.2. Інтерес

   Місяць	Зароблені відсотки	Загальна сума грошей на рахунку
   $0$	$\dollar0.00$	$\dollar5000.00$
   $1$	$\dollar33.33$	$\dollar5033.33$
   $2$
   $3$
   $4$
   $5$
   $6$
   $7$
   $8$
   $9$
   $10$
   $11$
   $12$

3. Як ми побачимо пізніше, сума грошей$P_n$ на рахунку за місяцем$n$ дається
   $$P_n = 5000\left(1+\frac{0.08}{12}\right)^{n}\text{.} \nonumber$$

   Використовуйте цю формулу, щоб перевірити свої розрахунки в таблиці 8.1.2. Потім знайти суму грошей на рахунку через 5 років.

4. Скільки років пройде до того, як рахунок подвоїться в ціні до 10000 доларів?

8.1.1 Послідовності

Як показує попередній перегляд діяльності 8.1.1, багато дискретних явищ можна представити у вигляді списків чисел (наприклад, суми грошей на рахунку протягом періоду місяців). Будь-який такий список ми називаємо послідовністю. Послідовність - це не що інше, як список термінів у певному порядку. Ми часто перераховуємо записи послідовності з індексами,

$$s_1, s_2, \ldots, s_n \ldots\text{,} \nonumber$$

де індекс позначає позицію запису в послідовності.

Визначення 8.1.3

Послідовність - це список термінів$s_1, s_2, s_3, \ldots$ у вказаному порядку.

Ми можемо думати про послідовність як функцію, область$f$ якої є набором натуральних чисел, де$f(n) = s_n$ для кожного позитивного цілого$n\text{.}$ Цей альтернативний вид буде корисним у багатьох ситуаціях.

Ми часто позначаємо послідовність

$$s_1, s_2, s_3, \ldots \nonumber$$

$\{s_n\}\text{.}$по Значення$s_n$ (альтернативно$s(n)$) називається$n$ -м терміном в послідовності. Якщо терміни всі 0 після деякого фіксованого значення$n\text{,}$ ми говоримо послідовність скінченна. В іншому випадку послідовність нескінченна. З нескінченними послідовностями нас часто цікавить їх кінцева поведінка та ідея збіжних послідовностей.

Діяльність 8.1.2

1. $s_n$Дозволяти буде$n$ -й член в послідовності$1, 2, 3, \ldots\text{.}$ Знайти формулу$s_n$ і використовувати відповідні технологічні інструменти, щоб намалювати графік записів в цій послідовності шляхом побудови точок виду$(n,s_n)$ для деяких значень$n\text{.}$ Більшість графічних калькуляторів можуть будувати послідовності; вказівки слідують для TI-84.
   • У меню MODE виділіть SEQ в рядку FUNC і натисніть ENTER.
   • У меню Y= тепер ви побачите рядки для введення послідовностей. Введіть значення nMin (де починається послідовність), функції для u (n) ($n$го члена послідовності) та значення u (nMin).
   • Встановіть координати вікна (це передбачає вибір обмежень для, а$n$ також координат вікна XMin, xMax, YMin та YMax.
   • Клавіша GRAPH намалює графік вашої послідовності.

   Використовуючи свої знання про межі безперервних функцій,$x \to \infty\text{,}$ вирішіть, чи$\{s_n\}$ має ця послідовність обмеження, як$n \to \infty\text{.}$ Поясніть свої міркування.

2. $s_n$Дозволяти буде$n$ й член в послідовності$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots\text{.}$ Знайти формулу для$s_n\text{.}$ Намалюйте графік деяких точок в цій послідовності. Використовуючи свої знання про межі безперервних функцій,$x \to \infty\text{,}$ вирішіть, чи$\{s_n\}$ має ця послідовність обмеження, як$n \to \infty\text{.}$ Поясніть свої міркування.
3. Нехай$s_n$ буде термін у послідовності$2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \ldots\text{.}$ Знайдіть формулу для$s_n\text{.}$ використання своїх знань про межі безперервних функцій, як$x \to \infty\text{,}$ вирішити, чи$\{s_n\}$ має ця послідовність обмеження, як$n \to \infty\text{.}$ Поясніть свої міркування.$n$

Далі ми формалізуємо ідеї з Activity 8.1.2.

Активність 8.1.3

1. Нагадаємо нашу попередню роботу з лімітами за участю нескінченності в розділі 2.8. Чітко сформулюйте, що означає для безперервної функції$f$, щоб мати межу$L$ як$x \to \infty\text{.}$
2. Враховуючи, що нескінченна послідовність дійсних чисел є функцією від цілих чисел до дійсних чисел, застосуйте ідею з частини (а), щоб пояснити, що, на вашу думку, означає для послідовності$\{s_n\}$ мати межу як$n \to \infty\text{.}$
3. Виходячи з вашої відповіді на частину (b), вирішіть, чи$\left\{ \frac{1+n}{2+n}\right\}$ має послідовність обмеження, як$n \to \infty\text{.}$ Якщо так, то яка межа? Якщо ні, то чому б і ні?

У Діяльність 8.1.2 та 8.1.3 ми досліджували послідовність$\{s_n\}$, яка має межу, що$n$ переходить до нескінченності. Більш формально зробимо наступне визначення.

Визначення 8.1.4

Послідовність$\{ s_n \}$ сходиться або є збіжною послідовністю за умови, що є$L$ таке число, що ми можемо зробити$s_n$ так,$L$ як ми хочемо, взявши$n$ досить великий. У цій ситуації викликаємо$L$ межу збіжної послідовності і запишемо

$$\lim_{n \to \infty} s_n = L\text{.} \nonumber$$

Якщо послідовність$\{s_n\}$ не сходиться, говоримо, що послідовність$\{s_n\}$ розходиться.

Ідея послідовності, що має межу,$n \to \infty$ така ж, як ідея безперервної функції, що має межу як Єдина відмінність полягає$x \to \infty\text{.}$ в тому, що послідовності дискретні, а не безперервні.

Діяльність 8.1.4

Використовуйте графічні та/або алгебраїчні методи, щоб визначити, чи збігається чи розходиться кожна з наступних послідовностей.

1. $\displaystyle \left\{\frac{1+2n}{3n-2}\right\}$
2. $\displaystyle \left\{\frac{5+3^n}{10+2^n}\right\}$
3. $\left\{\frac{10^n}{n!}\right\}$(де$!$ є факторіальним символом і$n! = n(n-1)(n-2) \cdots (2)(1)$ для будь-якого додатного цілого числа$n$ (як умовність ми$0!$ визначаємо як 1)).

8.1.2 Резюме

• Послідовність - це список об'єктів у вказаному порядку. Зазвичай ми працюватимемо з послідовностями дійсних чисел. Ми можемо думати про послідовність як функцію від позитивних цілих чисел до множини дійсних чисел.
• $\{s_n\}$Послідовність дійсних чисел сходиться до числа,$L$ якщо ми можемо зробити кожне значення$s_k$ для$k \ge n$ так близько, як ми хочемо,$L$ вибираючи$n$ досить великий.
• Послідовність розходиться, якщо вона не сходиться.