1.6: Безперервність

Ми бачили, що обчислення обмежень деяких функцій - поліномів і раціональних функцій - дуже легко, оскільки

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ до a} f (x) &= f (a). \ end {вирівнювати*}

Тобто межа як$x$ підходів$a$ просто$f(a)\text{.}$ Грубо кажучи, причина, яку ми можемо обчислити таким чином, полягає в тому, що ці функції не мають різких стрибків поблизу$a\text{.}$

Багато інших функцій мають цю властивість,$\sin(x)$ наприклад. Функція з цією властивістю називається «безперервна» і для неї є точне математичне визначення. Якщо ви не пам'ятаєте інтервальні позначення, то зараз хороший час, щоб швидко озирнутися назад на визначення 0.3.5.

Визначення 1.6.1.

Функція$f(x)$ є безперервною в$a$ if

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ до a} f (x) &= f (a)\ end {align*}

Якщо функція не є безперервною,$a$ то вона, як кажуть, переривчастий при$a\text{.}$

Коли ми пишемо,$f$ що безперервно без вказівки точки, то, як правило, це означає, що$f$ є безперервним$a$ на всіх$a \in \mathbb{R}\text{.}$

Коли ми пишемо, що$f(x)$ є безперервним на відкритому інтервалі,$(a,b)$ то функція безперервна в кожній точці$c$ задовольняє$a \lt c \lt b\text{.}$

Так що, якщо функція безперервна в$x=a$ ми відразу ж знаємо, що

• $f(a)$існує
• $\displaystyle \lim_{x \to a^-}$існує і дорівнює$f(a)\text{,}$ і
• $\displaystyle \lim_{x \to a^+}$існує і дорівнює$f(a)\text{.}$

Швидкий бік - одностороння безперервність

Зверніть увагу, у наведеному вище визначенні безперервності на інтервалі$(a,b)$ ми ретельно уникали говорити що-небудь про те, чи є функція безперервною в кінцевих точках інтервалу - тобто$f(x)$ безперервна в$x=a$ або$x=b\text{.}$ Це тому, що мова йде про безперервність в кінцевих точках. інтервалу може бути трохи делікатним.

У багатьох ситуаціях нам буде дана функція,$f(x)$ визначена на замкнутому інтервалі$[a,b]\text{.}$ Наприклад, ми можемо мати:

\ begin {align*} f (x) &=\ frac {x+1} {x+2} &\ text {для} x\ in [0,1]. \ end {вирівнювати*}

Для будь-якого$0 \leq x \leq 1$ ми знаємо значення$f(x)\text{.}$ Однак для$x \lt 0$ або$x \gt 1$ ми нічого не знаємо про функцію — дійсно вона не була визначена.

Отже, тепер розглянемо, що означає$f(x)$ бути безперервним у$x=0\text{.}$ Нам потрібно мати

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to 0} f (x) &= f (0),\ end {align*}

однак це означає, що односторонні межі

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to 0^+} f (x) &= f (0) &\ текст {і} &&\ lim_ {x\ to 0^-} f (x) &= f (0)\ end {align*}

Тепер перший з цих односторонніх обмежень передбачає вивчення поведінки$f(x)$ для$x \gt 0\text{.}$ Оскільки це передбачає перегляд точок, для яких$f(x)$ визначено, це те, що ми можемо зробити. З іншого боку, друга одностороння межа вимагає від нас розуміння поведінки$f(x)$ для$x \lt 0\text{.}$ цього ми не можемо зробити, оскільки функція не була визначена для$x \lt 0\text{.}$

Одним із способів обійти цю проблему є узагальнення ідеї безперервності до односторонньої безперервності, так само, як ми узагальнювали межі, щоб отримати односторонні межі.

Визначення 1.6.2.

Функція$f(x)$ є безперервною праворуч,$a$ якщо

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ до a^+} f (x) &= f (a). \ end {вирівнювати*}

Аналогічно функція$f(x)$ є безперервною ліворуч при$a$ if

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {х\ до a^-} f (x) &= f (a)\ end {align*}

Використовуючи визначення односторонньої неперервності, тепер ми можемо визначити, що означає функція неперервна на замкнутому інтервалі.

Визначення 1.6.3.

Функція$f(x)$ є безперервною на замкнутому інтервалі,$[a,b]$ коли

• $f(x)$безперервно ввімкнено$(a,b)\text{,}$
• $f(x)$є безперервним з правого$a\text{,}$ і
• $f(x)$безперервно зліва на$b\text{.}$

Зверніть увагу, що останні дві умови еквівалентні

\ begin {align*}\ lim_ {x\ to a^+} f (x) &= f (a) &\ текст {і} &&\ lim_ {x\ to b^-} f (x) &= f (b). \ end {вирівнювати*}

Повернутися до основного тексту

Ми вже знаємо з нашої роботи вище, що поліноми є неперервними, і що раціональні функції є неперервними у всіх точках їх областей - тобто там, де їх знаменники ненульові. Як ми це робили для обмежень, ми побачимо, що безперервність взаємодіє «красиво» з арифметикою. Це дозволить нам побудувати складні неперервні функції з простих неперервних будівельних блоків (наприклад, поліномів).

Але спочатку кілька прикладів...

Приклад 1.6.4 Прості неперервні та переривчасті функції.

Розглянемо функції, намальовані нижче

Такими є

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {випадки} x & x\ lt 1\ x+2 & x\ geq 1\ кінець {випадки}\\ g (x) &=\ почати {випадки} 1/x^2& x\\ neq0\ 0 & x = 0\ кінець {випадки}\\ h (x) &=\ почати {випадки}\ почати {випадки}\ begin {випадки}\ begin {cases}\ frac {x^3-x ^2} {x-1} & x\ neq 1\\ 0 & x=1\ end {випадки}\ end {align*}

Визначте, де вони суцільні і переривчасті:

• Коли$x \lt 1$ тоді$f(x)$ пряма лінія (і так многочлен) і тому вона безперервна в кожній точці$x \lt 1\text{.}$ Аналогічно, коли$x \gt 1$ функція пряма лінія і тому вона безперервна в кожній точці$x \gt 1\text{.}$ Єдина точка, яка може бути розривом в$x=1\text{.}$ Ми бачимо, що односторонні межі різні. Звідси межа в$x=1$ не існує, і тому функція переривається при$x=1\text{.}$

  Але зверніть увагу, що$f(x)$ це безперервно з одного боку - який?

• Середній корпус багато в чому схожий на попередній. Коли$x \neq 0$$g(x)$ є раціональною функцією і так безперервно всюди на своїй області (яка є всі реальні, крім$x=0$). Таким чином, єдиний момент, де$g(x)$ може бути переривчастим, знаходиться в$x=0\text{.}$ Ми бачимо, що жодна з односторонніх меж не існує,$x=0\text{,}$ так що межа не існує в$x=0\text{.}$ Отже функція переривається в$x=0\text{.}$
• Ми бачили функцію$h(x)$ раніше. За тими ж міркуваннями, що і вище, ми знаємо, що це безперервно, за винятком$x=1$ яких ми повинні перевіряти окремо.

  За визначенням$h(x)\text{,}$$h(1) = 0\text{.}$ Ми повинні порівняти це з межею, як$x \to 1\text{.}$ Ми це робили раніше.

  \ begin {вирівнювати*}\ розрив {x^3-x^2} {x-1} &=\ розрив {x^2 (x-1)} {x-1} = x^2\ end {align*}

  $\lim_{x \to 1} \frac{x^3-x^2}{x-1} = \lim_{x \to 1} x^2 = 1\neq h(1)\text{.}$Отже,$h$ це переривчастий при$x=1\text{.}$

Цей приклад ілюструє різні види розривів:

• Функція$f(x)$ має «стрибок розриву», оскільки функція «переходить» від одного кінцевого значення зліва до іншого значення праворуч.
• Друга функція,$g(x)\text{,}$ має «нескінченний розрив», оскільки$\lim f(x) =+\infty\text{.}$
• Третя функція,$h(x)\text{,}$ має «знімний розрив», тому що ми могли б зробити функцію безперервної в цей момент шляхом перевизначення функції в цій точці.$h(1)=1\text{.}$ Тобто установка Це

  \ begin {align*}\ текст {нова функція} h (x) &=\ begin {випадки}\ frac {x^3-x^2} {x-1} & x\ neq 1\\ 1 & x = 1\ end {випадки}\ end {align*}

Показ функції безперервної може бути болем, але так само, як граничні закони допомагають нам обчислювати складні межі з точки зору простіших обмежень, ми можемо використовувати їх, щоб показати, що складні функції є безперервними, розбиваючи їх на простіші частини.

Теорема 1.6.5 Арифметика неперервності.

$g(x)$Дозволяти$a,c \in \mathbb{R}$$f(x)$ і нехай і бути функції, які є безперервними в$a\text{.}$ Тоді наступні функції також є безперервними в$x=a\text{:}$

• $f(x) + g(x)$і$f(x) - g(x)\text{,}$
• $c f(x)$і$f(x) g(x)\text{,}$ і
• $\frac{f(x)}{g(x)}$за умови$g(a) \neq 0\text{.}$

Вище ми заявляли, що поліноми та раціональні функції є неперервними (обережно ставившись до областей раціональних функцій - ми повинні уникати нульових знаменників), не роблячи це формальним твердженням. Це легко фіксується...

Лема 1.6.6.

Нехай$c \in \mathbb{R}\text{.}$ Функції

\ begin {вирівнювати*} f (x) &= x & g (x) &= c\ end {вирівнювати*}

безперервні всюди на реальній лінії

Це не зовсім результат, який ми хотіли (це кілька рядків нижче), але це невеликий результат, який ми можемо об'єднати з арифметикою обмежень, щоб отримати результат, який ми хочемо. Такі невеликі корисні результати називаються «лемами», і вони будуть виникати більше, коли ми йдемо разом.

Тепер, оскільки ми можемо отримати будь-який многочлен і будь-яку раціональну функцію шляхом обережного додавання, віднімання, множення та ділення функцій$f(x)=x$, і вищезгадана лема поєднується з теоремою «арифметика безперервності», щоб дати нам результат, який ми хочемо:$g(x)=c\text{,}$

Теорема 1.6.7 Неперервність многочленів і раціональних функцій.

Кожен многочлен скрізь безперервний. Так само кожна раціональна функція є неперервною, за винятком тих випадків, коли її знаменник дорівнює нулю (тобто на всій її області).

За допомогою ще деякої роботи цей результат можна розширити на більш широкі сімейства функцій:

Теорема 1.6.8.

Наступні функції є безперервними всюди у своїх доменах

• поліноми, раціональні функції
• коріння і повноваження
• триг-функції та їх зворотні
• експоненціальний і логарифм

Ми не стикалися з оберненими тригонометричними функціями, а також експоненціальними функціями чи логарифмами, але ми побачимо їх у наступному розділі. На даний момент просто подайте інформацію подалі.

Використовуючи комбінацію наведених вище результатів, ви можете показати, що багато складних функцій є неперервними, за винятком декількох точок (зазвичай, де знаменник дорівнює нулю).

Приклад 1.6.9 Безперервність$\frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}$.

Де функція$f(x) = \frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}$ безперервна?

Ми просто розбиваємо речі на шматки, а потім покласти їх назад разом відстежуючи, де все може піти не так.

• Функція являє собою співвідношення двох частин - тому перевірте, чи чисельник є безперервним, знаменник є безперервним, і якщо знаменник може бути нулем.
• Чисельник - це те$\sin(x)$, що є «безперервним на своїй області» відповідно до однієї з вищезазначених теорем. Його домен - це всі дійсні числа ¹, тому він безперервний скрізь. Ніяких проблем тут немає.
• Знаменник - це сума$2$ і$\cos(x)\text{.}$ Оскільки$2$ є постійною вона безперервна всюди. Аналогічно (ми просто перевірили речі для попереднього пункту) ми знаємо,$\cos(x)$ що безперервно скрізь. Звідси знаменник суцільний.
• Таким чином, нам просто потрібно перевірити, якщо знаменник дорівнює нулю. Один з фактів, який ми повинні знати ², полягає в тому, що

  \ begin {збирати*} -1\ leq\ cos (x)\ leq 1\\ кінець {збирати*}

  і так, додаючи 2, отримуємо

  \ begin {збирати*} 1\ leq 2+\ cos (x)\ leq 3\ end {збирати*}

При цьому незалежно від того, яке значення$x\text{,}$$2+\cos(x) \geq 1$ і так не може бути нульовим.

• Так чисельник безперервний, знаменник безперервний і ніде нуль, так що функція безперервна скрізь.

Якщо функція була змінена на$\displaystyle \frac{\sin(x)}{x^2-5x+6}$ більшу частину одного і того ж міркування може бути використано. Будучи трохи ласкавим, ми могли б відповісти:

• Чисельник і знаменник неперервні.
• Так як$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ знаменник дорівнює нулю, коли$x=2,3\text{.}$
• Таким чином, функція є безперервним скрізь, крім можливо$x=2,3\text{.}$ в Для того, щоб перевірити, що функція дійсно є переривчастим в цих точках, достатньо, щоб перевірити, що чисельник ненульовий в$x=2,3\text{.}$ Дійсно, ми знаємо, що$\sin(x)$ дорівнює нулю тільки тоді, коли$x = n\pi$ (для будь-якого цілого числа$n$). $\sin(2),\sin(3) \neq 0\text{.}$Отже, чисельник ненульовий, тоді як знаменник дорівнює нулю і, отже,$x=2,3$ дійсно є точками розриву.

Зауважте, що цей приклад піднімає тонку точку щодо перевірки безперервності, коли чисельник і знаменник одночасно дорівнюють нулю. У цьому випадку існує досить багато можливих результатів, і нам потрібні більш складні інструменти для адекватного аналізу поведінки функцій поблизу таких точок. Ми повернемося до цього питання пізніше в тексті після того, як ми розробили розширення Тейлора (див. Розділ 3.4).

Таким чином, ми знаємо, що відбувається, коли ми додаємо віднімання множити і ділити, як щодо того, коли ми складаємо функції? Ну - межі і композиції добре працюють, коли речі безперервні.

Теорема 1.6.10 Склади та неперервність.

Якщо$f$ є безперервним в,$b$ а$\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = b$ потім$\displaystyle \lim_{x\to a} f(g(x)) = f(b)\text{.}$ тобто.

\ begin {align*}\ lim_ {x\ to a} f\ ліворуч (g (x)\ вправо) &= f\ left (\ lim_ {x\ to a} g (x)\ праворуч)\ end {align*}

Отже$g$, якщо є безперервним в$a$ і$f$ є безперервним,$g(a)$ тоді композитна функція$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ є безперервною при$a\text{.}$

Таким чином, коли ми складаємо дві безперервні функції ми отримуємо нову безперервну функцію.

Ми можемо використовувати це

Приклад 1.6.11 Безперервність складених функцій.

Де наступні функції безперервні?

\ почати {вирівнювати*} f (x) &=\ sin\ ліворуч (x^2 +\ cos (x)\ праворуч)\\ g (x) &=\ sqrt {\ sin (x)}\ end {align*}

Нашим першим кроком має бути розбиття функцій на частини та їх вивчення. Коли ми складаємо їх разом, ми повинні бути обережними, діливши на нуль або потрапляючи за межі домену.

• Функція$f(x)$ являє собою склад$\sin(x)$ з$x^2+\cos(x)\text{.}$
• Ці шматки,$\sin(x), x^2, \cos(x)$ безперервні всюди.
• Таким чином, сума$x^2+\cos(x)$ безперервна всюди
• А значить, склад$\sin(x)$ і$x^2+\cos(x)$ є безперервним всюди.

Друга функція трохи складніше.

• Функція$g(x)$ являє собою склад$\sqrt{x}$ з$\sin(x)\text{.}$
• $\sqrt{x}$є безперервним у своєму домені$x \geq 0\text{.}$
• $\sin(x)$є безперервним скрізь, але в багатьох місцях він негативний.
• Для того,$g(x)$ щоб бути визначеним і безперервним, ми повинні обмежитися$x$ так, щоб$\sin(x) \geq 0\text{.}$
• Згадаймо графік$\sin(x)\text{:}$

  

  Отже$\sin(x)\geq 0$, коли$x\in[0,\pi]$ чи$x\in [2\pi,3\pi]$ чи$x\in[-2\pi,-\pi]$ чи... Якщо бути більш точним$\sin(x)$, є додатним, коли$x \in [2n\pi,(2n+1)\pi]$ для будь-якого цілого числа$n\text{.}$

• Отже$g(x)$, є безперервним, коли$x \in [2n\pi,(2n+1)\pi]$ для будь-якого цілого числа$n\text{.}$

Безперервні функції дуже приємні (математично кажучи). Функції з «реального світу» мають тенденцію бути безперервними (хоча і не завжди). Ключовим аспектом, який робить їх приємними, є той факт, що вони не стрибають.

Відсутність таких стрибків призводить до наступної теореми, яка, хоча і може бути досить заплутаною на перший погляд, насправді говорить про щось дуже природне — навіть очевидне. Це говорить, грубо кажучи, що, як ви малюєте графік,$y=f(x)$ починаючи$y=f(b)\text{,}$ з$x=a$ і закінчуючи при$x=b\text{,}$$y$ зміні безперервно від$y=f(a)$ до без стрибків, і, отже,$y$ повинні приймати кожне значення між$f(a)$ і$f(b)$ хоча б один раз. Ми почнемо з того, що просто дати точну заяву, а потім ми пояснимо це детально.

Теорема 1.6.12 Теорема проміжного значення (IVT).

Дозволяти$a \lt b$ і$f$ нехай функція, яка є безперервною у всіх точках$a\leq x \leq b\text{.}$ Якщо$Y$ є будь-яке число між,$f(a)$ а$f(b)$ потім існує деяке число,$c \in [a,b]$ так що$f(c) = Y\text{.}$

Як і$\epsilon-\delta$ визначення меж ³, ми повинні розбити цю теорему на частини. Перш ніж ми це зробимо, майте на увазі наступні фотографії.

Тепер розбивка

• Дозволяти $a \lt b$і$f$ нехай функція, яка є безперервною у всіх точках$a\leq x \leq b\text{.}$ — Це установка сцени. У нас є$a,b$ з$a \lt b$ (ми можемо сміливо вважати, що це дійсні числа). Наша функція повинна бути безперервною у всіх точках між$a$ і$b\text{.}$
• якщо$Y$ є будь-яке число між$f(a)$ і$f(b)$ — Тепер нам потрібно ще одне число$Y$ і єдине обмеження на нього полягає в тому, що воно лежить між$f(a)$ і$f(b)\text{.}$ Тобто, якщо$f(a)\leq f(b)$ тоді$f(a) \leq Y \leq f(b)\text{.}$ Або якщо$f(a) \geq f(b)$ тоді$f(a) \geq Y \geq f(b)\text{.}$ Так що зверніть увагу, що$Y$ може бути рівним$f(a)$ або$f(b)$ - якби ми хотіли уникнути такої можливості, то ми зазвичай явно скажемо,$Y \neq f(a), f(b)$ або ми б написали,$Y$ що строго між$f(a)$ і$f(b)\text{.}$
• існує деяке число,$c \in [a,b]$ так що$f(c) = Y$ - так що якщо ми задовольняємо всі перераховані вище умови, то має бути деяке дійсне число, що$c$ лежить між$a$ і$b$ так, щоб, коли ми оцінюємо$f(c)$ це$Y\text{.}$

Так що розбиває доказ твердження за заявою, але що це насправді означає?

• Намалюйте будь-яку безперервну функцію, яка вам подобається між$a$ і$b$ - вона повинна бути безперервною.
• Функція приймає значення$f(a)$ at$x=a$ і$f(b)$ at$x=b$ — див. ліву цифру вище.
• Тепер ми можемо вибрати будь-який$Y$, що лежить між$f(a)$ і$f(b)$ - дивіться середню фігуру вище. IVT ⁴ говорить нам, що має бути деяке$x$ -значення, яке при підключенні до функції дає нам$Y\text{.}$ Тобто є деякі$c$ між$a$ і$b$ так що$f(c) = Y\text{.}$ Ми також можемо інтерпретувати це графічно; IVT говорить нам, що горизонтальна пряма лінія $y=Y$повинен перетинати графік$y=f(x)$ у певній точці$(c,Y)$ з$a\le c\le b\text{.}$
• Зверніть увагу, що IVT не говорить нам, скільки таких$c$ -значень існує, просто що є хоча б одне з них. Див. Правий малюнок вище. Для цього конкретного вибору$Y$ є три різні$c$ значення, так що$f(c_1) = f(c_2) = f(c_3) = Y\text{.}$

Ця теорема говорить, що якщо$f(x)$ є безперервною функцією на всьому інтервалі,$a \leq x \leq b$ то як$x$ рухається від$a$ до$b\text{,}$$f(x)$ приймає кожне значення між$f(a)$ і$f(b)$ принаймні один раз. Якщо поставити це трохи по-іншому,$f$ якщо б уникнути значення між,$f(a)$ а$f(b)$ потім$f$ не може бути безперервним$[a,b]\text{.}$

Неважко переконати себе, що безперервність має$f$ вирішальне значення для IVT. Без нього можна швидко побудувати приклади функцій, які суперечать теоремі. Дивіться на малюнку нижче для кількох неперервних прикладів:

У лівому прикладі ми бачимо, що переривчаста функція може «перестрибнути» через$Y$ -значення, яке ми вибрали, тому немає$x$ -значення, яке робить$f(x)=Y\text{.}$ Приклад праворуч демонструє, чому ми повинні бути обережними з кінцями інтервалу. Зокрема, функція повинна бути безперервною протягом усього інтервалу,$[a,b]$ включаючи кінцеві точки інтервалу. Якщо ми тільки вимагали, щоб функція була безперервною$(a,b)$ (так строго між$a$ і$b$), то функція може «перестрибнути» через$Y$ -value at$a$ або$b\text{.}$

Якщо ви все ще заплуталися, то ось приклад «реального світу»

Приклад 1.6.13 IVT в «реальному світі».

Ви піднімаєтеся на рябчик ⁵ з одним — називайте його Бобом. Боб прагнув і почав о 9 ранку. Боб, будучи дуже нетерплячим, також дуже незграбний; він розтягнув щиколотку десь уздовж шляху і перестав рухатися о 9:21 ранку і просто сидить ⁶, насолоджуючись видом. Ви потрапляєте туди пізно і починаєте сходження о 10 ранку, і будучи цілком придатним, ви отримуєте на вершину в 11 ранку. IVT означає, що в якийсь час між 10 ранку і 11 ранку ви зустрічаєтеся з Бобом.

Перевести цю ситуацію в форму ІВТ можна наступним чином. Нехай$t$ буде час і нехай$a =$ 10 ранку і$b=$ 11 ранку. Нехай$g(t)$ буде ваша дистанція по стежці. Отже, ⁷$g(a) = 0$ і$g(b) = 2.9km\text{.}$ Оскільки ви смертний, ваше положення вздовж стежки є безперервною функцією - ні вертольотів, ні телепортації, ні... Ми поняття не маємо, де сидить Боб, за винятком того, що він знаходиться десь між$g(a)$ і$g(b)\text{,}$ називати цю точку$Y\text{.}$ IVT гарантує, що є деякий час$c$ між$a$ і$b$ (так між 10 ранку і 11 ранку) з$g(c) = Y$ (і ваша позиція буде такою ж, як у Боба).

Окрім знаходження Боба, що сидить біля стежки, одним з найважливіших застосувань IVT є визначення, де функція дорівнює нулю. Для квадратики ми знаємо (або повинні знати), що

\ почати {вирівнювати*} ax^2+bx+c &= 0 &\ текст {коли} х &=\ розриву {-b\ pm\ sqrt {b^2-4ac}} {2a}\ end {align*}

Хоча вавилоняни могли (здебільшого, але не зовсім) робити вищезазначене, відповідна формула розв'язання кубічної є потворнішою, і що для квартики все ще потворніше. Один з найвідоміших результатів у математиці демонструє, що такої формули не існує для квінтиків або поліномів вищого ступеня ⁸.

Таким чином, навіть для поліномів ми не можемо, загалом, записати явні формули для їх нулів і повинні робити з числовими наближеннями - тобто записати корінь як десяткове розширення до будь-якої точності, яку ми хочемо. Для більш складних функцій у нас немає вибору - немає жодної причини, що нулі повинні бути вираженими як приємні акуратні маленькі формули. При цьому знаходимо нулі функції:

\ begin {вирівнювати*} f (x) &= 0\ end {вирівнювати*}

або рішення рівнянь виду ⁹

\ begin {вирівнювати*} г (х) &= h (x)\ end {вирівнювати*}

може бути вирішальним кроком у багатьох математичних доказах та додатках.

З цієї причини існує значна частина математики, яка зосереджена саме на пошуку нулів функцій. IVT забезпечує дуже простий спосіб «знайти» нулі функції. Зокрема, якщо ми знаємо, що безперервна функція є негативною в точці$x=a$ і позитивною в іншій точці,$x=b\text{,}$ то повинна бути (IVT) точка$x=c$ між$a$ і$b$ де$f(c)=0\text{.}$

Розглянемо крайню ліву частину перерахованих вище цифр. Він зображує безперервну функцію, яка є негативною$x=a$ і позитивною в$x=b\text{.}$ Отже, вибирайте$Y=0$ та застосуйте IVT - їх повинно бути$c$ з$a \leq c \leq b$ таким чином, що$f(c) = Y = 0\text{.}$ Хоча це не говорить нам$c$ точно, це дає нам межі можливих позицій принаймні один нуль — має бути хоча б один c підкоряється$a \le c \le b\text{.}$

Див. Середню фігуру. Щоб отримати кращі межі ми могли б перевірити точку на півдорозі між$a$ і$b\text{.}$ Так встановити$a' = \frac{a+b}{2}\text{.}$ У цьому прикладі ми бачимо, що$f(a')$ є негативним. Застосування IVT знову говорить нам, що є деякі$c$ між$a'$ і$b$ так що$f(c) = 0\text{.}$ Знову - у нас немає$c$ точно, але ми вдвічі скоротили діапазон значень, які він може прийняти.

Подивіться на крайню праву фігуру і зробіть це ще раз - перевірте точку на півдорозі між$a'$ і$b\text{.}$ У цьому прикладі ми бачимо, що$f(b')$ це позитивно. Застосування IVT говорить нам, що є деякі$c$ між$a'$ і$b'$ так, що$f(c) = 0\text{.}$ Цей новий діапазон становить чверть довжини оригіналу. Якщо ми продовжуємо робити цей процес, діапазон буде зменшуватися вдвічі кожен раз, поки ми не дізнаємося, що нуль знаходиться всередині деякого крихітного діапазону можливих значень. Цей процес називається методом бісекції.

Розглянемо наступний приклад нульового знаходження

Приклад 1.6.14 Показати, що$f(x)=x-1+\sin(\pi x/2)$ has a zero.

Показати, що функція$f(x) = x-1+\sin(\pi x/2)$ має нуль$0 \leq x \leq 1\text{.}$

Це питання було налаштовано красиво, щоб привести нас до використання IVT; нам вже дано хороший інтервал, на який можна подивитися. Загалом, нам, можливо, доведеться перевірити кілька пунктів і трохи поекспериментувати з калькулятором, перш ніж ми зможемо почати звуження діапазону.

Почнемо з тестування кінцевих точок заданого нам інтервалу.

\ почати {вирівнювати*} f (0) &= 0 - 1 +\ sin (0) = -1\ lt 0\\ f (1) &= 1-1+\ sin (\ pi/2) = 1\ gt 0\ end {align*}

Таким чином, ми знаємо точку, де$f$ позитивна, і одна, де вона негативна. Таким чином, IVT є точка між тим, де вона дорівнює нулю.

АЛЕ для того, щоб застосувати IVT, ми повинні показати, що функція безперервна, і ми не можемо просто писати

вона безперервна

Потрібно пояснити читачеві, чому вона безперервна. Тобто — ми повинні це довести.

Отже, щоб написати нашу відповідь, ми можемо поставити щось подібне до наступного - маючи на увазі, що нам потрібно сказати читачеві, що ми робимо, щоб вони могли легко слідувати.

• Ми будемо використовувати IVT, щоб довести, що є нуль в$[0,1]\text{.}$
• Спочатку ми повинні показати, що функція є безперервною.
  • Оскільки$x-1$ є многочленом, він безперервний скрізь.
  • Функція$\sin(\pi x/2)$ є тригонометричною функцією і також є безперервною всюди.
  • Сума двох неперервних функцій також є безперервною,$f(x)$ тому скрізь безперервна.
• Нехай$a=0, b=1\text{,}$ тоді

  \ почати {вирівнювати*} f (0) &= 0 - 1 +\ sin (0) = -1\ lt 0\\ f (1) &= 1-1+\ sin (\ pi/2) = 1\ gt 0\ end {align*}

• Функція негативна на$x=0$ і позитивна в$x=1\text{.}$ Оскільки функція безперервна, ми знаємо, що є точка,$c \in [0,1]$ так що$f(c) = 0\text{.}$

Зверніть увагу, що хоча ми не використовували повні речення в нашому поясненні тут, ми все ще використовуємо слова. Ваша математика, якщо це не дуже прямолінійні обчислення, повинні містити слова, а також символи.

Нуль цієї функції насправді знаходиться приблизно в$x=0.4053883559\text{.}$

Метод бісекції насправді просто ідея, що ми можемо продовжувати повторювати вищезазначені міркування (з калькулятором під рукою). Кожна ітерація скаже нам місце розташування нуля точніше. Наступний приклад ілюструє це.

Приклад 1.6.15 Використання методу бісекції.

Використовуйте метод бісекції, щоб знайти нуль

\ begin {вирівнювати*} f (x) &= x-1+\ sin (\ pi x/2)\ end {align*}

що лежить між$0$ і$1\text{.}$

Отже, почнемо з двох пунктів, які ми опрацювали вище:

• $a=0, b=1$і

  \ почати {вирівнювати*} f (0) &= -1\\ f (1) &= 1\ кінець {вирівнювати*}

• Перевірте точку посередині$x = \frac{0+1}{2} = 0.5$

  \ почати {вирівнювати*} f (0.5) &= 0.2071067813\ gt 0\ end {вирівнювати*}

• Таким чином, наш новий інтервал буде,$[0,0.5]$ оскільки функція негативна на$x=0$ і позитивна при$x=0.5$

Повторити

• $a=0, b=0.5$де$f(0) \lt 0$ і$f(0.5) \gt 0\text{.}$
• Перевірте точку посередині$x = \frac{0+0.5}{2} = 0.25$

  \ почати {вирівнювати*} f (0.25) &= -0.3673165675\ lt 0\ end {вирівнювати*}

• Таким чином, наш новий інтервал буде,$[0.25,0.5]$ оскільки функція негативна на$x=0.25$ і позитивна при$x=0.5$

Повторити

• $a=0.25, b=0.5$де$f(0.25) \lt 0$ і$f(0.5) \gt 0\text{.}$
• Перевірте точку посередині$x = \frac{0.25+0.5}{2} = 0.375$\ begin {align*} f (0.375) &= -0.0694297669\ lt 0\ end {align*}

• Таким чином, наш новий інтервал буде,$[0.375,0.5]$ оскільки функція негативна на$x=0.375$ і позитивна при$x=0.5$

Нижче наведено ілюстрацію того, що ми спостерігали досі разом з сюжетом фактичної функції.

І одна заключна ітерація:

• $a=0.375, b=0.5$де$f(0.375) \lt 0$ і$f(0.5) \gt 0\text{.}$
• Перевірте точку посередині$x = \frac{0.375+0.5}{2} = 0.4375$

  \ почати {вирівнювати*} f (0.4375) &= 0.0718932843\ gt 0\ end {вирівнювати*}

• Таким чином, наш новий інтервал буде,$[0.375,0.4375]$ оскільки функція негативна на$x=0.375$ і позитивна при$x=0.4375$

Таким чином, без особливої роботи ми знаємо розташування нуля всередині діапазону довжини$0.0625 = 2^{-4}\text{.}$ Кожна ітерація буде вдвічі зменшити довжину діапазону, і ми продовжуємо йти, поки ми не досягнемо потрібної нам точності, хоча це набагато простіше запрограмувати комп'ютер, щоб зробити це.

Вправи

Етап 1

Вправа$\PageIndex{1}$

Наведіть приклад функції (можна написати формулу, або намалювати графік), яка має нескінченно багато нескінченних розривів.

Вправа$\PageIndex{2}$

Коли я народився, я був менше одного метра зросту. Зараз я зростом більше одного метра. Який висновок теореми проміжних значень про мій зріст?

Вправа$\PageIndex{3}$

Наведіть приклад (за ескізом або формулою) функції,$f(x)\text{,}$ визначеної на інтервалі$[0,2]\text{,}$ з$f(0)=0\text{,}$$f(2)=2\text{,}$ і$f(x)$ ніколи не дорівнює 1. Чому це не суперечить теоремі про проміжні значення?

Вправа$\PageIndex{4}$

Чи є наступне твердження дійсним?

Припустимо,$f$ це безперервна функція над,$[10,20]\text{,}$$f(10)=13\text{,}$ а$f(20)=-13\text{.}$ потім$f$ має нуль між$x=10$ і$x=20\text{.}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Чи є наступне твердження дійсним?

Припустимо,$f$ це безперервна функція над$[10,20]\text{,}$$f(10)=13\text{,}$ і$f(20)=-13\text{.}$ тоді$f(15)=0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Чи є наступне твердження дійсним?

Припустимо,$f$ що функція над$[10,20]\text{,}$$f(10)=13\text{,}$$f(20)=-13\text{,}$ і$f$ бере на себе кожне значення між$-13$ і$13\text{.}$ Потім$f$ є безперервним.

Вправа$\PageIndex{7}$

Припустимо$f(t)$, є безперервним при$t=5\text{.}$ True або false:$t=5$ знаходиться в області$f(t)\text{.}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17\text{,}$ і припустимо$f(t)$ є безперервним в$t=5\text{.}$ True або false:$f(5)=17\text{.}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Припустимо,$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 5}f(t)=17\text{.}$ True або false:$f(5)=17\text{.}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Припустимо$g(x)$,$f(x)$ і безперервні в$x=0\text{,}$ і нехай$h(x)=\dfrac{xf(x)}{g^2(x)+1}\text{.}$ Що таке$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} h(x)\text{?}$

Етап 2

Вправа$\PageIndex{11}$

Знайти константу$k$ так, щоб функція

$$a(x)=\left\{\begin{array}{ll} x\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\mbox{when } x \neq 0\\ k&\mbox{when }x=0 \end{array}\right. \nonumber$$

є безперервним при$x=0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Використовуйте теорему про проміжні значення, щоб показати, що функція принаймні один раз$f(x)=x^3+x^2+x+1$ приймає значення 12345 у своїй області.

Вправа$\PageIndex{13}$(✳)

Опишіть всі пункти, для яких функція є безперервною:$f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{14}$(✳)

Опишіть всі пункти, для яких ця функція є безперервною:$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{15}$(✳)

Опишіть всі пункти, для яких ця функція є безперервною:$\dfrac{1}{\sqrt{1+\cos(x)}}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{16}$(✳)

Опишіть всі пункти, для яких ця функція є безперервною:$f(x)=\dfrac{1}{\sin x}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{17}$(✳)

Знайти всі значення$c$ таких, що наступна функція є безперервною в$x=c\text{:}$

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 8-cx & \text{if} & x\le c\\ x^2 & \text{if} & x \gt c \end{array}\right. \nonumber$$

Використовуйте визначення безперервності, щоб обґрунтувати свою відповідь.

Вправа$\PageIndex{18}$(✳)

Знайти всі значення$c$ таких, щоб наступна функція була безперервною всюди:

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {випадки} x^2+c & x\ geq 0\\ cos cx & x\ lt 0\ end {випадки}\ end {align*}

Використовуйте визначення безперервності, щоб обґрунтувати свою відповідь.

Вправа$\PageIndex{19}$(✳)

Знайти всі значення$c$ таких, що наступна функція є безперервною:

$$f(x) = \begin{cases} x^2-4 & \text{if } x \lt c\\ 3x & \text{if } x \ge c\,. \end{cases} \nonumber$$

Використовуйте визначення безперервності, щоб обґрунтувати свою відповідь.

Вправа$\PageIndex{20}$(✳)

Знайти всі значення$c$ таких, що наступна функція є безперервною:

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 6-cx & \text{if} & x\le 2c\\ x^2 & \text{if} & x \gt 2c \end{array}\right. \nonumber$$

Використовуйте визначення безперервності, щоб обґрунтувати свою відповідь.

Етап 3

Вправа$\PageIndex{21}$

Показати, що існує принаймні одне дійсне число, що$x$ задовольняє$\sin x = x-1$

Вправа$\PageIndex{22}$(✳)

Показати, що існує принаймні одне дійсне число$c$ таке, що$3^c=c^2\text{.}$

Вправа$\PageIndex{23}$(✳)

Показати, що існує принаймні одне дійсне число$c$ таке, що$2\tan(c)=c+1\text{.}$

Вправа$\PageIndex{24}$(✳)

Показати, що існує принаймні одне дійсне число c таким, що$\sqrt{\cos(\pi c)} = \sin(2 \pi c) + \frac{1}{2}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{25}$(✳)

Показати, що існує принаймні одне дійсне число$c$ таке, що$\dfrac{1}{(\cos\pi c)^2} = c+\dfrac{3}{2}\text{.}$

Вправа$\PageIndex{26}$

Використовуйте теорему про проміжні значення, щоб знайти інтервал довжини один, що містить корінь$f(x)=x^7-15x^6+9x^2-18x+15\text{.}$

Вправа$\PageIndex{27}$

Використовуйте теорему про проміжні значення, щоб дати десяткове наближення$\sqrt[3]{7}$, яке є правильним принаймні до двох знаків після коми. Ви можете використовувати калькулятор, але лише для додавання, віднімання, множення та ділення.

Вправа$\PageIndex{28}$

Припустимо,$f(x)$ і$g(x)$ є функціями, які є безперервними протягом інтервалу$[a,b]\text{,}$ з$f(a) \leq g(a)$ і$g(b)\leq f(b)\text{.}$ Показати, що існує деякі$c \in [a,b]$ з$f(c)=g(c)\text{.}$