1.3: Межа функції

Перш ніж ми прийдемо до визначень, почнемо з невеликого позначення для обмежень.

Визначення 1.3.1.

Будемо часто писати

\ begin {збирати*}\ lim_ {x\ to a} f (x) = L\ end {збирати*}

який слід читати як

Межа$f(x)$ як$x$$a$ підходів$L\text{.}$

Позначення є лише скороченням - ми не хочемо виписувати довгі речення, як ми робимо нашу математику. Всякий раз, коли ви бачите ці символи, ви повинні думати про це речення.

Ця стенографія також має перевагу бути математично точним (ми побачимо це пізніше) і (майже) незалежно від мови, якою пише автор. Математик, який не володіє англійською мовою, може прочитати вищевказану формулу і зрозуміти, що саме вона означає.

У математиці, як і в більшості мов, зазвичай існує більше одного способу написання речей, і ми також можемо написати вищевказану межу як

\ begin {збирати*} f (x)\ до L\ mbox {як} х\ до\ кінця {збирати*}

Це також можна прочитати як вище, але також як

$f(x)$переходить до того$L$, як$x$$a$

Вони означають точно те ж саме в математиці, хоча вони можуть бути написані, прочитані і сказані трохи інакше.

Щоб дійти до визначення ліміту, ми хочемо розпочати ¹ з дуже простого прикладу.

Приклад 1.3.2. Проста межа.

Розглянемо наступну функцію.

\ begin {align*} f (x) &=\ почати {випадки} 2x & x\ lt 3\\ 9 & x = 3\\ 2x & x\ gt 3\ gt 3\ end {випадки}\ end {align*}

Це приклад кускової функції ². Тобто функція, визначена кількома частинами, а не як єдина формула. Ми оцінюємо функцію за певним$x$ значенням в кожному конкретному випадку. Ось ескіз його

Зверніть увагу на два кола в сюжеті. Один відкритий,$\circ$ а інший закритий$\bullet\text{.}$

• Заповнене коло має досить точне значення - заповнене коло$(x,y)$ означає, що функція приймає значення.$f(x) = y\text{.}$
• Відкрите коло трохи складніше - відкрите коло$(3,6)$ означає, що точки$(3,6)$ немає на графіку,$y=f(x)\text{,}$ тобто$f(3) \neq 6\text{.}$ ми повинні використовувати відкрите коло лише там, де це абсолютно необхідно, щоб уникнути плутанини.

Ця функція досить надумана, але це дуже хороший приклад, щоб почати працювати з обмеженнями більш систематично. Розглянемо, що функція робить близько до$x=3\text{.}$ Ми вже знаємо, що відбувається саме в$3$$f(x)=9$ — але я хочу подивитися, як функція поводиться дуже близько до$x=3\text{.}$ Тобто, що робить функція, коли ми дивимося на точку,$x$ яка стає все ближче і ближче до$x=3\text{.}$

Якщо ми підключимо деякі числа, дуже близькі до$3$ (але не точно 3) у функції, ми бачимо наступне:

$x$	2.9	2.99	2.999	$\circ$	3.001	3.01	3.1
$f(x)$	5.8	5.98	5.998	$\circ$	6.002	6.02	6.2

Таким чином, як$x$ рухається все ближче і ближче до 3, не будучи точно 3, ми бачимо, що функція рухається все ближче і ближче до 6. Ми можемо написати це як

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to 3} f (x) &= 6\ кінець {вирівнювати*}

Тобто

Межа як$x$ підходи$3$$f(x)$ є$6\text{.}$

Таким чином, для$x$ дуже близько$3\text{,}$ не будучи точно 3, функція дуже близька до$6$ — який є довгий шлях від значення функції точно в$3\text{,}$$f(3)=9\text{.}$ Примітка добре, що поведінка функції, як$x$ стає дуже близько до 3 не залежить від значення функції в 3.

Зараз нам достатньо зробити неформальне визначення межі, якого насправді достатньо для більшої частини того, що ми будемо робити в цьому тексті.

Визначення 1.3.3. Неформальне визначення межі.

пишемо

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to a} f (x) &= L\ end {align*}

якщо значення функції$f(x)$ обов'язково буде довільно близьким до$L$ кожного разу, коли значення$x$ достатньо близько до$a\text{,}$ без ³ точно$a\text{.}$

Для того, щоб зробити це визначення більш математично правильним, нам потрібно зробити ідею «ближче і ближче» більш точною — ми робимо це в розділі 1.7. Слід підкреслити, що формальне визначення та зміст цього розділу є необов'язковим матеріалом.

Наразі давайте використаємо вищевказане визначення, щоб розглянути більш істотний приклад.

Приклад 1.3.4. $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2+x-6}$.

Нехай$f(x) = \frac{x-2}{x^2+x-6}$ і вважати його межу як$x \to 2\text{.}$

• Нас дійсно запитують

  \ begin {align*}\ lim_ {x\ to 2}\ frac {x-2} {x^2+x-6} &=\ текст {що?} \ end {вирівнювати*}

• Тепер, якщо ми спробуємо обчислити$f(2)$ ми отримуємо$0/0$, який не визначено. Функція не визначена на той момент — це хороший приклад того, чому нам потрібні обмеження. Ми повинні підкрастися до цих місць, де функція не визначена (або погано поводиться).
• Дуже важливий момент: дробу$\frac{0}{0}$ немає$\infty$ і$1\text{,}$ вона не визначена. Ми ніколи не можемо ділити на нуль у звичайній арифметиці і отримати послідовну і математично розумну відповідь. Якщо ви навчилися іншому в середній школі, вам слід швидко його відвчитися.
• Знову ж таки, ми можемо підключити деякі цифри, близькі до$2$ і подивитися, що ми знаходимо

  $x$	1.9	1,99	1.999	$\circ$	2.001	2.01	2.1
  $f(x)$	0,20408	0,2040	0.20004	$\circ$	0.19996	0,1960	0,19608

• Тому розумно припустити, що

  \ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to 2}\ розрив {x-2} {x^2+x-6} &= 0,2\ кінець {вирівнювати*}

Попередні два приклади добре поводяться тим, що межі, які ми намагалися обчислити насправді існують. Тепер перейдемо до двох набридливих прикладів ⁴, в яких меж, які нас цікавлять, не існує.

Приклад 1.3.5. Поганий приклад.

Розглянемо наступну функцію$f(x) = \sin( \pi /x )\text{.}$ Знайти ліміт$x \to 0$ станом на$f(x)\text{.}$

Ми повинні бачити щось цікаве, що відбувається поруч,$x=0$$f(x)$ тому що там не визначено. Використовуючи улюблене програмне забезпечення для побудови графіків, ви можете побачити, що графік виглядає приблизно як

Як це пояснити? У міру того, як$x$ стає все ближче і ближче до нуля,$\pi/x$ стає все більше і більше (згадайте, як$y=1/x$ виглядає сюжет). Отже, коли ви берете синус цього числа, він коливається швидше і швидше, чим ближче ви отримаєте до нуля. Оскільки функція не наближається до єдиного числа, як ми$x$ наближаємо і наближаємо до нуля, межі не існує.

Пишемо це як

\ begin {збирати*}\ lim_ {x\ to 0}\ sin\ left (\ frac {\ pi} {x}\ праворуч)\ text {не існує}\ end {gather*}

Це не дуже винахідливі позначення, проте зрозуміло. Ми часто скорочуємо «не існує» на «DNE» і переписуємо вищезазначене як

\ begin {align*}\ lim_ {x\ to 0}\ sin\ ліворуч (\ frac {\ pi} {x}\ праворуч) &=\ текст {DNE}\ end {align*}

У наступному прикладі цікавить нас ліміт не існує. Однак спосіб, в якому все йде не так, зовсім відрізняється від того, що ми щойно бачили.

Приклад 1.3.6. Неіснуючий ліміт.

Розглянемо функцію

\ begin {align*} f (x) &=\ begin {випадки} x & x\ lt 2\\ -1 & x = 2\\ x+3 & x\ gt 2\ end {випадки}\ end {align*}

• Сюжет цієї функції виглядає наступним чином:

• Тож давайте підключіть цифри, близькі до$2\text{.}$

  $x$	1.9	1,99	1.999	$\circ$	2.001	2.01	2.1
  $f(x)$	1.9	1,99	1.999	$\circ$	5.001	5.01	5.1

• Це не так, як раніше. Тепер, коли ми підходимо знизу, ми, здається, наближаємось,$2\text{,}$ але коли ми наближаємось зверху, ми, здається, наближаємось до$5\text{.}$ Оскільки ми не наближаємось до того ж числа, межі не існує.

  \ begin {align*}\ lim_ {x\ to 2} f (x) &=\ текст {DNE}\ end {align*}

Хоча обмеження в попередньому прикладі не існує, приклад служить для введення ідеї «односторонніх обмежень». Наприклад, можна сказати, що

У міру$x$ переміщення ближче і ближче до двох знизу функція наближається до 2.

і аналогічно

У міру$x$ переміщення все ближче і ближче до двох зверху функція наближається до 5.

Визначення 1.3.7. Неформальне визначення односторонніх меж.

пишемо

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {х\ до a^-} f (x) &= K\ end {align*}

коли значення$f(x)$ стає все ближче і ближче до$K$ коли$x \lt a$ і$x$ рухається все ближче і ближче до$a\text{.}$ Оскільки$x$ -значення завжди менше, ніж$a\text{,}$ ми говоримо, що$x$ підходить$a$ знизу. Це також часто називають лівою межею, оскільки$x$ -значення лежать$a$ ліворуч від ескізу графіка.

Аналогічно пишемо

\ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ до a^+} f (x) &= L\ end {align*}

коли значення$f(x)$ стає все ближче і ближче до$L$ коли$x \gt a$ і$x$ рухається все ближче і ближче до З аналогічних$a\text{.}$ причин ми говоримо, що$x$ наближається$a$ зверху, а іноді називаємо це правостороннім межею.

Примітка — будьте обережні, щоб включити верхній індекс$+$ і$-$ при написанні цих обмежень. Ви також можете побачити такі позначення:

\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to a^+} f (x) &=\ lim_ {x\ до+} f (x) =\ lim_ {x\ вниз a} f (x) =\ lim_ {x\ searrow a} f (x) = L &\ текст {праворуч межа}\\ lim_ {x\ до a^-} f (x) &=\ lim_ {x\ to a-} f (x) =\ lim_ {x\ uparrow a} f (x) =\ lim_ {x\ nearrow a} f (x) = L &\ text {ліва межа}\ кінець {вирівнювати*}

але, будь ласка, використовуйте з позначенням у Визначенні 1.3.7 вище.

Враховуючи ці два подібні поняття обмежень, коли вони однакові? Наступна теорема розповість нам.

Теорема 1.3.8. Межі та односторонні межі.

\ begin {align*}\ lim_ {x\ to a} f (x) = L &&\ mbox {якщо і тільки тоді} &&\ lim_ {x\ to a^-} f (x) = L\ mbox {і}\ lim_ {x\ to a^+} f (x) = L\ end {align*}

Зверніть увагу, що це дійсно два окремих твердження через «якщо і тільки якщо»

• Якщо$f(x)$ межа як$x$ підходів$a$ існує і дорівнює,$L\text{,}$ то і ліва, і права межі існують і рівні$L\text{.}$ І,
• Якщо ліві і праві межі як$x$ підходи$a$ існують і рівні, то межа як$x$ підходи$a$ існує і дорівнює одностороннім межам.

Тобто —$f(x)$ межа як$x$ підходів$a$ буде існувати лише в тому випадку, якщо не має значення, до якого шляху ми підходимо$a$ (або зліва, або справа) І якщо ми отримаємо однакові односторонні межі при наближенні зліва і справа, то межа існує.

Ми можемо перефразувати вищевикладене, написавши контрапозитиви ⁵ з перерахованих вище тверджень.

• Якщо будь-яка з лівих і правих меж як$x$$a$ підходів не існує, або якщо вони обидва існують, але різні, то межа як$x$ підходів$a$ не існує. І,
• Якщо межі як$x$ підходів$a$ не існує, то лівий і правий межі або різні, або хоча б однієї з них не існує.

Ось ще один приклад обмеження

Приклад 1.3.9. Ліва- і правша межі.

Розглянемо наступні дві функції та обчислимо їх межі та односторонні межі як$x$ підходи 1:

Вони трохи відрізняються від наших попередніх прикладів тим, що у нас немає формул, тільки ескіз. Але ми все ще можемо обчислити межі.

• Функція зліва —$f(x)\text{:}$

  \ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to 1^-} f (x) &= 2 &\ lim_ {x\ до 1^+} f (x) &= 2\\\\ кінець {align*}

  так за попередньою теоремою

  \ begin {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to 1} f (x) &= 2\ кінець {вирівнювати*}

• Функція праворуч —$g(t)\text{:}$

  \ begin {align*}\ lim_ {t\ to 1^-} g (t) &= 2 &\ текст {і}\ lim_ {t\ to 1^+} г (t) &= -2\\\ кінець {align*}

  так за попередньою теоремою

  \ begin {вирівнювати*}\ lim_ {t\ to 1} g (t) &=\ текст {DNE}\ end {align*}

Ми бачили 2 способи, в яких межа не існує — в одному випадку функція дико коливалася, а в іншому був якийсь «стрибок» у функції, так що лівий і правий межі були різними.

Є третій спосіб, який ми також повинні розглянути. Щоб описати це, розглянемо наступні чотири функції:

Малюнок 1.3.10.

Жодна з цих функцій$x=a\text{,}$ не визначена, а також межі, оскільки$a$ існують$x$ підходи. Однак ми можемо сказати більше, ніж просто «меж не існує».

Зверніть увагу, що значення функції 1 можна зробити більше і більше, як ми наближаємо і$x$ ближче до$a\text{.}$ Аналогічно значення другої функції можна зробити довільно великим і негативним (тобто зробити його таким великим негативним числом, як ми хочемо) шляхом наближення і$x$ ближче до $a\text{.}$Виходячи з цього спостереження, ми маємо наступне визначення.

Визначення 1.3.11

пишемо

\ begin {збирати*}\ lim_ {x\ до a} f (x) = +\ infty\ end {збирати*}

коли значення функції$f(x)$ стає довільно великим і позитивним, як$x$ стає все ближче і ближче,$a\text{,}$ не будучи точно$a\text{.}$

Аналогічно пишемо

\ begin {збирати*}\ lim_ {x\ до a} f (x) = -\ infty\ end {збирати*}

коли значення функції$f(x)$ стає довільно великим і негативним, як$x$ стає все ближче і ближче,$a\text{,}$ не будучи точно$a\text{.}$

Хорошими прикладами вищесказаного є

\ begin {align*}\ lim_ {x\ to 0}\ frac {1} {x^2} &= +\ infty &\ lim_ {x\ to 0} -\ frac {1} {x^2} &= -\ infty\ end {align*}

ВАЖЛИВИЙ МОМЕНТ: Будь ласка, не думайте «$+\infty$» і «$-\infty$» в цих твердженнях як цифри. Ви повинні думати$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = +\infty$ і$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = -\infty$ як про особливі випадки$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = \text{DNE}\text{.}$ заяви

\ begin {збирати*}\ lim_ {x\ до a} f (x) = +\ infty\ end {збирати*}

не говорить «$f(x)$межа як$x$ підходів$a$ - позитивна нескінченність». У ньому написано «функція$f(x)$ стає довільно великою, як$x$ наближається$a$». Це різні твердження; пам'ятайте, що$\infty$ це не число ⁶.

Тепер розглянемо функції 3 і 4 на малюнку 1.3.10. Тут ми можемо зробити значення функції таким великим і позитивним, як ми хочемо (для функції 3) або таким великим і негативним, як ми хочемо (для функції 4), але тільки коли$x$ наближається$a$ з одного боку. Маючи це на увазі, ми можемо побудувати подібні позначення та подібне визначення:

Визначення 1.3.12.

пишемо

\ begin {збирати*}\ lim_ {х\ до a^+} f (x) = +\ infty\ end {збирати*}

коли значення функції$f(x)$ стає довільно великим і позитивним, як$x$ стає все ближче і ближче$a$ зверху (еквівалентно — справа), не будучи точно$a\text{.}$

Аналогічно пишемо

\ begin {збирати*}\ lim_ {х\ до a^+} f (x) = -\ infty\ end {збирати*}

коли значення функції$f(x)$ стає довільно великим і негативним, як$x$ стає все ближче і ближче$a$ зверху (еквівалентно — справа), не будучи точно$a\text{.}$

позначення

\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {х\ до a^-} f (x) &= +\ infty &\ lim_ {х\ до a^-} f (x) &= -\ infty\ end {align*}

має схоже значення, за винятком того, що межі наближаються знизу/зліва.

Таким чином, для функції 3 у нас є

\ begin {align*}\ lim_ {x\ to a^-} f (x) &= +\ infty &\ lim_ {x\ to a^+} f (x) &=\ текст {деяке додатне число}\ кінець {align*}

і для функції 4

\ begin {align*}\ lim_ {x\ to a^-} f (x) &=\ текст {деяке додатне число} &\ lim_ {x\ to a^+} f (x) &= -\ infty\ end {align*}

Ще приклади:

Приклад 1.3.13. $\lim_{x \to \pi} \frac{1}{\sin(x)}$.

Розглянемо функцію

\ begin {вирівнювати*} г (x) &=\ гідророзриву {1} {\ sin (x)}\ end {align*}

Знайти односторонні межі цієї функції як$x \to \pi\text{.}$

Напевно, найпростіший спосіб зробити це - спочатку побудувати графік,$\sin(x)$$1/x$ а потім ретельно продумати односторонні межі:

• Як і$x \to \pi$ зліва,$\sin(x)$ це невелике позитивне число, яке все ближче і ближче до нуля. Тобто, як$x \to \pi^-\text{,}$ ми маємо це$\sin(x) \to 0$ через позитивні числа (тобто зверху). Тепер подивіться на графік$1/x\text{,}$ і подумайте, що відбувається, коли ми$x \to 0^+\text{,}$ рухаємо функція позитивна і стає все більшою і більшою.

  Так як$x \to \pi$ зліва,$\sin(x) \to 0$ зверху, і так$1/\sin(x) \to +\infty\text{.}$

• За дуже схожим міркуванням, як$x \to \pi$ і справа,$\sin(x)$ є невелике негативне число, яке стає все ближче і ближче до нуля. Так як$x \to \pi$ з правого,$\sin(x) \to 0$ через негативні числа (тобто знизу) і так$1/\sin(x)$ до$-\infty\text{.}$

Таким чином

\ почати {вирівнювати*}\ lim_ {x\ to\ pi^-}\ розрив {1} {\ sin (x)} &= +\ infty &\ lim_ {x\ to\ pi^+}\ frac {1} {\ sin (x)} &= -\ infty\ end {align*}

Знову ж таки, ми можемо зробити визначення 1.3.11 та 1.3.12 в математично точні формальні визначення, використовуючи методи, дуже схожі на ті, що містяться в необов'язковому розділі 1.7. Це не є строго необхідним для цього курсу.

До цього моменту ми досліджували межі, замальовуючи графіки або вставляючи значення в калькулятор. Це було зроблено, щоб допомогти побудувати інтуїцію, але насправді це не є основою систематичного методу обчислення лімітів. Ми також уникали більш формальних підходів ⁷, оскільки у нас немає часу в курсі, щоб перейти на такий рівень деталізації, і (можливо) нам не потрібна ця деталь для досягнення цілей курсу. На щастя, ми можемо розробити більш системний підхід, заснований на ідеї побудови складних лімітів від простих, вивчивши, як межі взаємодіють з основними арифметичними операціями.

Вправи

Етап 1

Вправа$\PageIndex{1}$

З огляду на наведену нижче функцію, оцініть наступне:

1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2} f(x)$
2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)$
3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}f(x)$

Вправа$\PageIndex{2}$

З огляду на функцію, наведену нижче, оцініть$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x)\text{.}$

Вправа$\PageIndex{3}$

З огляду на наведену нижче функцію, оцініть:

1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}} f(x)$
2. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}} f(x)$
3. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1} f(x)$
4. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^{+}} f(x)$
5. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x)$

Вправа$\PageIndex{4}$

Намалюйте криву$y=f(x)$ за допомогою$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=f(3)=10\text{.}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Намалюйте криву$y=f(x)$ за допомогою$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=10$ та$f(3)=0\text{.}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Припустимо,$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10\text{.}$ True або false:$f(3)=10\text{.}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Припустимо,$f(3)=10\text{.}$ True або false:$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)=10\text{.}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Припустимо,$f(x)$ це функція, визначена для всіх дійсних чисел, і$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)=16\text{.}$ Що$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)\text{?}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Припустимо,$f(x)$ це функція, визначена для всіх дійсних чисел, і$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2^-} f(x)=16\text{.}$ Що$\displaystyle\lim_{x \rightarrow -2} f(x)\text{?}$

Етап 2

У питаннях 1.3.2.10 через 1.3.2.17 оцініть наведені межі. Якщо ви не впевнені, з чого почати, приємно почати з малювання функції.

Вправа$\PageIndex{10}$

$\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0} \sin t$

Вправа$\PageIndex{11}$

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} \log x$

Вправа$\PageIndex{12}$

$\displaystyle\lim_{y \rightarrow 3} y^2$

Вправа$\PageIndex{13}$

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x}$

Вправа$\PageIndex{14}$

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}$

Вправа$\PageIndex{15}$

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x^2}$

Вправа$\PageIndex{16}$

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{1}{10}$

Вправа$\PageIndex{17}$

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} f(x)\text{,}$де$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \sin x&x\leq 2.9\\ x^2&x \gt 2.9 \end{array} \right.\text{.}$