2.1: Обмеження

Перш ніж ми дійсно почнемо, згадаємо деякі корисні позначення.

Визначення 2.1.1

• $\mathbb{N}$множина всіх$\{1,2,3,\cdots\}$ натуральних чисел.
• $\mathbb{R}$множина всіх дійсних чисел.
• $\in$читається «є елементом».
• $\notin$читається «не є елементом».
• $\left \{ A|B \right \}$читається «набір всіх$A$ таких, що$B$»
• Якщо$S$ є множиною і$T$ є підмножиною,$S\text{,}$ то$S\setminus T$$\left \{x\in S|x\notin T\right \}\text{,}$ є$S$ множиною з елементами$T$ видалених. Зокрема, якщо$S$ є множиною і$a$ є елементом,$S\text{,}$ то$S\setminus\{a\}=\left \{x\in S|x\ne\ a\right \}$ є множиною$S$ з$a$ видаленим елементом.
• Якщо$n$ є натуральним числом,$\mathbb{R}^n$ використовується як для множини$n$ -компонентних векторів, так$\left \langle  x_1,x_2,\cdots,x_n  \right \rangle$ і для множини точок$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ з$n$ координатами.
• Якщо$S$ і$T$ є множинами, то$f:S\rightarrow T$ означає, що$f$ це функція, яка присвоює кожному$S$ елементу$T\text{.}$ елемента множини$S$ називається доменом$f\text{.}$

• \ почати {вирівнювати*}
  [a, b] =\ лівий\ {x\ in\ mathbb {R} |а\ ле х\ ле б\ право\} &&
  (а, б] =\ лівий\ {x\ in\ in\ mathbb {R} |a\ lt x\ ле б\ вправо\}\
  [a, b) =\ лівий\ {x\ in\ mathbb {R} |а\ ле х\ lt b\ вправо\} &&
  (а, б) =\ ліворуч\ {x\ in\ mathbb {R} |a\ lt х\ lt b\ вправо\}
  \ end {align*}

Визначення межі функції більш ніж однієї змінної виглядає так само, як визначення ¹ межі функції однієї змінної. Дуже грубо кажучи

$$\begin{gather*} \lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = \textbf{L} \end{gather*}$$

якщо$f(\vec{x})$ підходить$\textbf{L}$ кожного разу, коли$\vec{x}$ підходить$\vec{a}\text{.}$ Ось більш ретельне визначення межі.

Визначення 2.1.2. Обмеження

Нехай

• $m$і$n$ бути натуральними числами ²
• $\displaystyle \vec{a}\in \mathbb{R}^m$
• функція$f(\vec{x})$ бути визначена для всіх$\vec{x}$ близько ³$\vec{a}$ і приймати значення в$\mathbb{R}^n$
• $\displaystyle \textbf{L}\in\mathbb{R}^n$

пишемо

$$\begin{gather*} \lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = \textbf{L} \end{gather*}$$

якщо ⁴, значення функції$f(\vec{x})$ обов'язково буде довільно близьким до$\textbf{L}$ кожного разу, коли значення$\vec{x}$ достатньо близько до$\vec{a}\text{,}$ без ⁵ точно$\vec{a}\text{.}$

Тепер, коли ми розширили визначення межі, ми можемо розширити визначення безперервності.

Визначення 2.1.3. Безперервність

Нехай

• $m$і$n$ бути натуральними числами
• $\displaystyle \vec{a}\in\mathbb{R}^m$
• функція$f(\vec{x})$ бути визначена для всіх$\vec{x}$ поруч$\vec{a}$ і приймати значення в$\mathbb{R}^n$

1. Функція$f$ є безперервною в точці,$\vec{a}$ якщо

   $$\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = f(\vec{a}) \nonumber$$

2. Функція$f$ є безперервною на множині,$D$ якщо вона безперервна в кожній точці$D\text{.}$

Ось кілька дуже простих прикладів. Пізніше будуть ще кілька суттєвих прикладів - після того, як ми це зробили в тексті CLP-1, ми створимо деякі інструменти, які можна використовувати для побудови складних обмежень з більш простих.

Приклад 2.1.4

1. Якщо$f(x,y)$ постійна функція, яка завжди приймає значення,$L\text{,}$ то

   $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L \nonumber$$

2. Якщо$f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ визначено$f(x,y) = (x,y)\text{,}$ тодішнім

   $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = (a,b) \nonumber$$

3. За визначенням, як$(x,y)$$(a,b)\text{,}$$x$ підходи$y$ підходи$a$ і підходи$b\text{,}$ так, щоб$f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ якщо визначено$f(x,y) = x\text{,}$ тоді

   $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = a \nonumber$$

   Аналогічно, якщо$g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ визначається$g(x,y) = y\text{,}$ тим

   $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) = b \nonumber$$

Межі багатозмінних функцій мають майже ті ж обчислювальні властивості, що і межі функцій однієї змінної. Наступна теорема узагальнює їх купу. Для простоти це стосується в першу чергу реальних цінних функцій. Тобто функції, які виводять дійсні числа на відміну від векторів. Однак він містить одну векторну функцію. Функція$\textbf{X}$ в теоремі приймає як вхід$n$ -компонентний вектор і повертає$m$ -компонентний вектор. Ми не будемо мати справу з багатьма векторними функціями тут, в CLP-3, але ми побачимо багато в CLP-4.

Теорема 2.1.5. Арифметичні та інші властивості меж

Нехай

• $m$і$n$ бути натуральними числами
• $\vec{a}\in \mathbb{R}^m$і$\vec{b}\in\mathbb{R}^n$
• $D$бути підмножиною$\mathbb{R}^m$, що містить всі$\vec{x}\in\mathbb{R}^m$, що знаходяться поруч$\vec{a}$
• $\displaystyle c,F,G\in\mathbb{R}$

і

$$f,g:D\setminus\{\vec{a}\}\rightarrow\mathbb{R}\qquad \textbf{X}:\mathbb{R}^m\setminus\{\vec{b}\}\rightarrow D\setminus\{\vec{a}\}\qquad \gamma :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \nonumber$$

Припустимо, що

$$\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = F\qquad \lim_{\vec{x}\to \vec{a}} g(\vec{x}) = G\qquad \lim_{\vec{y}\to \vec{b}} \textbf{X}(\vec{y}) = \vec{a}\qquad \lim_{t\to F} \gamma (t) = \gamma (F) \nonumber$$

Тоді

1. $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}}\big[f(\vec{x})+g(\vec{x})\big] =F+G$

   $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}}\big[f(\vec{x})-g(\vec{x})\big] =F-G$

2. $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}} f(\vec{x})\,g(\vec{x}) =FG$

   $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}} cf(\vec{x}) =cF$

3. $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}} \frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})} =\frac{F}{G}$якщо$G\ne 0$
4. $\displaystyle \lim\limits_{\vec{y}\rightarrow \vec{b}} f\big(\textbf{X}(\vec{y})\big) =F$
5. $\displaystyle \lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}} \gamma \big(f(\vec{x})\big) =\gamma (F)$

Це показує, що багатозмінні межі дуже добре взаємодіють з арифметикою, так само, як це робили обмеження однієї змінної. Також нагадаємо, з теореми 1.6.8 в тексті CLP-1,

Теорема 2.1.6

Наступні функції є безперервними всюди у своїх доменах

• поліноми, раціональні функції
• коріння і повноваження
• триг-функції та їх зворотні
• експоненціальний і логарифм

Приклад 2.1.7

У цьому прикладі ми оцінюємо

$$\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} \frac{x+\sin y}{x^2y^2+1} \nonumber$$

як типове застосування теореми 2.1.5. Тут «$\overset{a}{=}$» означає, що частина (а) теореми 2.1.5 виправдовує цю рівність. Почніть з обчислення окремо меж чисельника і знаменника.

$$\begin{align*} &\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} \big(x+\sin y\big)\ \overset{a}{=} \lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x +\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)}\sin y\\ &\hskip0.5in\overset{e}{=} \lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x +\sin\Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} y\Big)\\ &\hskip0.5in=\ 2+\sin 3\\ &\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} \big(x^2y^2+1\big)\ \overset{a}{=}\ \lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x^2y^2 +\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)}1\\ &\hskip0.5in\overset{b}{=}\ \Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x\Big) \Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x\Big) \Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} y\Big) \Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} y\Big)+1\\ &\hskip0.5in=\ 2^23^2+1 \end{align*}$$

Так як межа знаменника ненульова, то ми можемо просто розділити.

$$\begin{align*} \lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} \frac{x+\sin y}{x^2y^2+1}\ &\overset{c}{=}\ \frac {\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (2,3)}(x+\sin y)} {\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (2,3)}(x^2y^2+1)}\\ &=\ \frac{2+\sin 3}{37} \end{align*}$$

Тут ми використовували, що$\sin x$ є безперервною функцією.

Хоча визначення тексту CLP-1 1.3.3 межі функції однієї змінної та наше визначення 2.1.2 межі багатоваріантної функції виглядають практично однаково, існує суттєва практична різниця між ними. У вимірі перший, ви можете наблизитися до точки зліва або справа, і все. Можливих напрямів підходу всього два. У двох і більше вимірах є «набагато більше місця» і існує нескінченно багато можливих типів підходу. Можна навіть спіраль в точку. Див. Цифри середньої та правої руки нижче.

Наступні кілька прикладів ілюструють вплив «додаткова кімната» в розмірах, більших за одиницю, на межі.

Приклад 2.1.8

В якості другого прикладу ми розглянемо$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\text{.}$ У цьому прикладі і чисельник,$x^2y\text{,}$ і знаменник, як$x^2+y^2\text{,}$ правило, до нуля як$(x,y)$ підходи,$(0,0)\text{,}$ тому ми повинні бути обережнішими.

Хороший спосіб побачити поведінку функції,$f(x,y)$ коли вона$(x,y)$ близька до, -$(0,0)$ це переключитися на полярні координати,$r,\theta\text{,}$ які визначаються

$$\begin{align*} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta \end{align*}$$

Точки$(x,y)$, які близькі, -$(0,0)$ це ті, з малим,$r\text{,}$ незалежно від того$\theta$, що є. Нагадаємо, що$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)=L$ коли$f(x,y)$ підходи$L$ як$(x,y)$ підходи$(0,0)\text{.}$ Заміна$x=r\cos\theta\text{,}$$y=r\sin\theta$ в це твердження перетворює його в твердження, що$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)=L$ коли$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ підходить$L$ як$r$ підходи$0\text{.}$ Для нашого нинішнього прикладу

$$\begin{gather*} \frac{x^2y}{x^2+y^2} =\frac{(r\cos\theta)^2(r\sin\theta)}{r^2} =r\cos^2\theta\sin\theta \end{gather*}$$

Як$\big|r\cos^2\theta\sin\theta\big|\le r$ правило,$0$ як$r$ правило, до$0$ (незалежно від того, що$\theta$ робить, як$r$ правило$0$) у нас є

$$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0 \nonumber$$

Приклад 2.1.9

В якості третього прикладу ми розглянемо Ще$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\text{.}$ раз, найкращий спосіб побачити поведінку for$(x,y)$ close to$(0,0)$ - це переключитися$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ на полярні координати.

$$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{(r\cos\theta)^2-(r\sin\theta)^2}{r^2} =\cos^2\theta-\sin^2\theta =\cos(2\theta) \nonumber$$

Зауважте, що цього разу не залежить від,$f$$r$ але залежить від$\theta\text{.}$ Ось значно збільшений ескіз ряду кривих рівня для$f(x,y)\text{.}$

Зауважте, що

• як$(x,y)$$(0,0)$ наближається вздовж променя з$2\theta =30^\circ\text{,}$$f(x,y)$ наближенням до значення$\frac{\sqrt{3}}{2}$ (і фактично$f(x,y)$ приймає значення$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ в кожній точці цього променя)
• як$(x,y)$$(0,0)$ наближається вздовж променя з$2\theta =60^\circ\text{,}$$f(x,y)$ наближенням до значення$\frac{1}{2}$ (і фактично$f(x,y)$ приймає значення$\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ в кожній точці цього променя)
• як$(x,y)$$(0,0)$ наближається вздовж променя з$2\theta =90^\circ\text{,}$$f(x,y)$ наближенням до значення$0$ (і фактично$f(x,y)$ приймає значення$\cos(90^\circ)=0$ в кожній точці цього променя)
• і так далі

Так що немає єдиного числа$L$ таких, що$f(x,y)$ підходить$L$ як$r=|(x,y)|\rightarrow 0\text{,}$ не важливо, який напрямок підходу. Обмеження$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ не існує.

Ось ще один спосіб прийти до такого ж висновку.

• Виберіть будь-яке дійсно невелике позитивне число. Ми будемо використовувати$10^{-137}$ в якості прикладу.
• Виберіть будь-яке реальне число$F$ між$-1$ і$1\text{.}$ ми будемо використовувати$F=\frac{\sqrt{3}}{2}$ як приклад.
• Дивлячись на ескіз вище, ми бачимо, що$f(x,y)$ приймає значення$F$ вздовж всього променя$\theta={\rm const}\text{,}$$r\gt 0\text{.}$.$F=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ У випадку промінь є$2\theta=30^{\circ}\text{,}$$r\gt 0\text{.}$ Зокрема, тому що промінь поширюється весь шлях, щоб$(0,0)\text{,}$$f$ прийняти значення$F$ для деяких$(x,y)$ підкоряючись$|(x,y)|\lt 10^{-137}\text{.}$
• Це правда незалежно від того, яке дійсно невелике число ви вибрали. Так що$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ не наближається до жодної єдиної цінності як$r=|(x,y)|$ підходів,$0$ і ми робимо висновок, що$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ не існує.

Необов'язково - неприємний ліміт, який не існує

Приклад 2.1.10

У цьому прикладі ми вивчаємо поведінку функції

$$f(x,y)=\begin{cases} \frac{(2x-y)^2}{x-y} & \text{if } x\ne y\\ 0 & \text{if } x=y \end{cases} \nonumber$$

як$(x,y)\rightarrow (0,0)\text{.}$ Ось графік кривої рівня,$f(x,y)=-3\text{,}$ для цієї функції.

Ось більший графік кривих рівня,$f(x,y)=c\text{,}$ для різних значень константи$c\text{.}$

Як і раніше, це допомагає конвертувати в полярні координати - це хороший підхід ⁶. У полярних координатах

$$f(r\cos\theta,r\sin\theta) =\begin{cases} r\frac{(2\cos\theta-\sin\theta)^2}{\cos\theta-\sin\theta} & \text{if } \cos\theta\ne\sin\theta \\ 0 & \text{if } \cos\theta=\sin\theta \end{cases} \nonumber$$

Якщо ми наближаємося до початку вздовж будь-якого фіксованого променя,$\theta=\text{const}\text{,}$ то$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ є постійним$\frac{(2\cos\theta-\sin\theta)^2}{\cos\theta-\sin\theta}$ (або$0$ якщо$\cos\theta=\sin\theta$) раз$r$ і так наближається до нуля, як$r$ наближається до нуля. Ви можете побачити це на малюнку нижче, де знову показані криві рівня, з променями$\theta=\frac{1}{8}\pi$ і$\theta=\frac{3}{16}\pi$ накладеними.

Якщо ви рухаєтеся до початку на будь-якому з цих променів, ви спочатку перетинаєте криву$f=3$$f=2$ рівня, потім криву$f=1$ рівня, потім криву$f=\frac{1}{2}$ рівня, потім криву рівня тощо.

Це,$f(x,y)\rightarrow 0$ як і$(x,y)\rightarrow (0,0)$ вздовж будь-якого фіксованого променя, є наводить на думку, але не означає, що межа існує і дорівнює нулю. Нагадаємо, що мати$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=0\text{,}$ нам потрібно як би$f(x,y)\rightarrow 0$ не$(x,y)\rightarrow (0,0)\text{.}$ було, недостатньо перевіряти тільки прямі підходи.

Насправді межі$f(x,y)$ як$(x,y)\rightarrow (0,0)$ не існує. Хороший спосіб побачити це - спостерігати, що якщо ви виправляєте будь-які$r \gt 0\text{,}$ незалежно від того, наскільки малі,$f(x,y)$ приймає всі значення від$-\infty$ до$+\infty$ на колі$x^2+y^2=r^2\text{.}$ Ви можете побачити це на малюнку нижче, який показує криві рівня ще раз, з$x^2+y^2=r^2$ накладеною колом. Для кожного$-\infty \lt c \lt \infty\text{,}$ окремого рівня крива$f(x,y)=c$ перетинає коло.

Отже, немає жодного числа$L$ такого, який$f(x,y)$ близький до$L$ кожного разу, коли$(x,y)$ достатньо близький до$(0,0)\text{.}$ межі$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} f(x,y)$ не існує.

Ще один спосіб побачити, що$f(x,y)$ не має жодної межі, оскільки$(x,y)\rightarrow (0,0)$ це показати, що$f(x,y)$ не має межі, оскільки$(x,y)$$(0,0)$ наближається вздовж певної кривої. Це можна зробити, вибравши криву, яка робить знаменник,$x-y\text{,}$ схильний до нуля дуже швидко. Однією з таких$x-y=x^3$ кривих є або, що еквівалентно,$y=x-x^3\text{.}$ Уздовж цієї кривої, для$x\ne 0\text{,}$

$$\begin{align*} f(x,x-x^3)&=\frac{{(2x-x+x^3)}^2}{x-x+x^3} =\frac{{(x+x^3)}^2}{x^3}\\ &=\frac{{(1+x^2)}^2}{x}\longrightarrow \begin{cases}+\infty & \text{as $x\rightarrow 0$ with } x \gt 0 \\ -\infty & \text{as $x\rightarrow 0$ with } x \lt 0 \end{cases} \end{align*}$$

Вибір питомої потужності не$x^3$ важливий. Будь-яка потужність$x^p$ з$p \gt 2$ матиме такий же ефект.

Якщо ми$(x,y)$ посилаємо$(0,0)$ вздовж кривої$x-y=ax^2$ або, еквівалентно,$y=x-ax^2\text{,}$ де$a$ є ненульова константа,

$$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}f(x,x-ax^2) &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{(2x-x+ax^2)}^2}{x-x+ax^2} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{(x+ax^2)}^2}{ax^2}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{(1+ax)}^2}{a} =\frac{1}{a} \end{align*}$$

Ця межа залежить від вибору константи Ще$a\text{.}$ раз це доводить, що$f(x,y)$ не має межі, як$(x,y)\rightarrow (0,0)\text{.}$

Вправи

Етап 1

1

$f(x,y)$Припустимо, функція така, що$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10\text{.}$

Правда чи брехня:$|f(0.1,0.1)-10| \lt |f(0.2,0.2)-10|$

2

Жорна кладе пшеницю в борошно. Пшениця сидить у тазі, а жорна тягне вгору і вниз.

Зразки пшениці беруть з різних місць уздовж басейну. Вимірюються їх діаметри і записується їх положення на басейні.

Розглянемо таке твердження: «У міру наближення частинок до жорна діаметри частинок наближаються до 50$\mu$ м». У цьому контексті опишіть змінні нижче з визначення 2.1.2.

1. $\displaystyle \mathbf x$
2. $\displaystyle \mathbf a$
3. $\displaystyle \mathbf L$

3

Нехай$f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\text{.}$

1. Знайдіть промінь, що наближається до походження, уздовж якого$f(x,y)=1\text{.}$
2. Знайдіть промінь, що наближається до походження, уздовж якого$f(x,y)=0\text{.}$
3. Що показує вищевказана робота про межу$f(x,y)\text{?}$

4

Нехай$f(x,y)=x^2-y^2$

1. Висловіть функцію через полярні координати$r$$\theta\text{,}$ і спростити.
2. Припустимо,$(x,y)$ це відстань 1 від початку. Які найбільші і найменші значення$f(x,y)\text{?}$
3. Нехай$r \gt 0\text{.}$ Припустимо$(x,y)$ - це відстань$r$ від походження. Які найбільші і найменші значення$f(x,y)\text{?}$
4. Дозвольте$\epsilon \gt 0\text{.}$ знайти позитивне значення$r$ того, що гарантує$|f(x,y)| \lt \epsilon$ щоразу, коли$(x,y)$ є в більшості$r$ одиниць від походження.
5. Що ти щойно показав?

5

$f(x,y)$Припустимо, це многочлен. Оцініть$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\text{,}$, де$(a,b)\in\mathbb R^2\text{.}$

Етап 2

6

Оцініть, якщо це можливо,

1. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)$
2. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2}$
3. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}$
4. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2}$
5. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}$
6. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy}$

7. ✳

1. Знайдіть ліміт:$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}\text{.}$
2. Доведіть, що такого обмеження не існує:$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}\text{.}$

8. ✳

Оцініть кожне з наступних обмежень або покажіть, що його не існує.

1. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}$
2. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}$

Етап 3

9. ✳

Оцініть кожне з наступних обмежень або покажіть, що його не існує.

1. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2}$
2. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2}$

10

Визначте, для всіх$(x,y)\ne(0,0)\text{,}$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}\text{.}$

1. Дозвольте$0\le \theta \lt 2\pi\text{.}$ обчислювати$\displaystyle\lim_{r\rightarrow 0^+}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\text{.}$
2. Обчислити$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x,x^2)\text{.}$
3. Чи$\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ існує?

11. ✳

Обчислити наступні межі або пояснити, чому їх не існує.

1. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$
2. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$
3. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}$
4. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}|y|^x$

1. Визначення 1.3.3 в тексті CLP-1.
2. У цьому тексті ми будемо цікавити,$m,n\in\big\{1,2,3\big\}\text{,}$ але визначення працює для всіх натуральних чисел$m,n\text{.}$
3. Якщо бути точним, існує$r\gt 0$ таке число,$f(\vec{x})$ яке визначено для всіх$\vec{x}$ підкоряються$|\vec{x}-\vec{a}|\lt r\text{.}$
4. Існує точна формальна версія цього визначення, яка виглядає так само, як Визначення 1.7.1 тексту CLP-1.
5. Ви можете знайти умова «не будучи точно$\vec{a}$» трохи дивним, але для цього є вагома причина, яку ми вже бачили в Обчислення I. У$f'(x) = \lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\text{,}$ визначенні функція, межа якої береться, а саме взагалі не$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\text{,}$ визначається.$x=a\text{.}$ Це знову станеться, коли визначаємо похідні функцій більш ніж однієї змінної.
6. Не просто каламбур.