2: Часткові похідні

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 1.9: Квадричні поверхні
- 2.1: Обмеження

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми збираємось узагальнити визначення «похідної» для функцій більш ніж однієї змінної, а потім ми будемо використовувати ці похідні. Ми будемо паралельно розробляти в главах 1 і 2 тексту CLP-1. Ми будемо

визначити межі та неперервність функцій більш ніж однієї змінної (визначення 2.1.2 та 2.1.3), а потім
вивчити властивості меж більш ніж в одному вимірі (теорема 2.1.5) і потім
визначити похідні функцій більш ніж однієї змінної (Визначення 2.2.1).

Ми зможемо значно прискорити ситуацію, переробляючи те, що ми вже дізналися в тексті CLP-1.

Почнемо з узагальнення визначення «limit» на функції більш ніж однієї змінної.

2.1: Обмеження
Перш ніж ми дійсно почнемо, згадаємо деякі корисні позначення.
2.2: Часткові похідні
Тепер ми готові визначити похідні функцій більш ніж однієї змінної.
2.3: Похідні вищого порядку
Ви вже спостерігали, у вашому першому курсі обчислення, що якщо f (x) є функцією x, то його похідна також є функцією x, і може бути диференційована, щоб дати похідні другого порядку, які, в свою чергу, можуть бути диференційовані ще раз, щоб дати похідну третього порядку, f (3), f^ {(3)} (x)\ text {,} і так далі.
2.4: Правило ланцюга
Ви вже регулярно використовуєте правило одновимірного ланцюга
2.5: Дотичні площини та нормальні лінії
Дотична лінія до кривої $y=f(x)$ в точці $\big(x_0,f(x_0)\big)$ - це пряма лінія, яка найкраще підходить кривій в цій точці.
2.6: Лінійні наближення та похибка
Часто використовувана та ефективна стратегія побудови розуміння поведінки складної функції поблизу точки полягає в тому, щоб наблизити її простою функцією. Наступний набір таких наближень є стандартним тарифом у курсах обчислення I. Див., наприклад, §3.4 в тексті CLP-1.
2.7: Спрямовані похідні та градієнт
Основною інтерпретацією $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)$ є швидкість зміни $f(x)\text{,}$ на одиницю зміни $x\text{,}$ at $x=a\text{.}$ Природним аналогом цієї інтерпретації для багатозмінних функцій є спрямована похідна, яку ми зараз вводимо через питання.
2.8: Необов'язково - Розв'язування хвильового рівняння
Багато явищ моделюються рівняннями, які пов'язують швидкості зміни різних величин. Оскільки швидкості зміни задаються похідними, отримані рівняння містять похідні і так називаються диференціальними рівняннями.
2.9: Максимальне та мінімальне значення
Однією з основних тем в курсах обчислення однієї змінної є знаходження максимумів і мінімумів функцій однієї змінної. Тепер ми будемо розширювати цю дискусію на функції більш ніж однієї змінної.
2.10: Мультиплікатори Лагранжа
В останньому розділі нам довелося вирішити ряд задач виду «Яке максимальне значення функції $f$ на кривій $C\text{?}$ ». У цих прикладах крива $C$ була досить простою, щоб ми могли звести задачу до знаходження максимуму функції однієї змінної.