Loading [MathJax]/extensions/TeX/newcommand.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2: Часткові похідні

  1. CCBYNCSA
  2. Last updated
    Oct 27, 2022
  3. Save as PDF

\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }  \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,} \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,} \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}} \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}} \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}} \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|} \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}} \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,} \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,} \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}} \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}} \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}} \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|} \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle} \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}

У цьому розділі ми збираємось узагальнити визначення «похідної» для функцій більш ніж однієї змінної, а потім ми будемо використовувати ці похідні. Ми будемо паралельно розробляти в главах 1 і 2 тексту CLP-1. Ми будемо

  • визначити межі та неперервність функцій більш ніж однієї змінної (визначення 2.1.2 та 2.1.3), а потім
  • вивчити властивості меж більш ніж в одному вимірі (теорема 2.1.5) і потім
  • визначити похідні функцій більш ніж однієї змінної (Визначення 2.2.1).

Ми зможемо значно прискорити ситуацію, переробляючи те, що ми вже дізналися в тексті CLP-1.

Почнемо з узагальнення визначення «limit» на функції більш ніж однієї змінної.

  • 2.1: Обмеження
    Перш ніж ми дійсно почнемо, згадаємо деякі корисні позначення.
  • 2.2: Часткові похідні
    Тепер ми готові визначити похідні функцій більш ніж однієї змінної.
  • 2.3: Похідні вищого порядку
    Ви вже спостерігали, у вашому першому курсі обчислення, що якщо f (x) є функцією x, то його похідна також є функцією x, і може бути диференційована, щоб дати похідні другого порядку, які, в свою чергу, можуть бути диференційовані ще раз, щоб дати похідну третього порядку, f (3), f^ {(3)} (x)\ text {,} і так далі.
  • 2.4: Правило ланцюга
    Ви вже регулярно використовуєте правило одновимірного ланцюга
  • 2.5: Дотичні площини та нормальні лінії
    Дотична лінія до кривоїy=f(x) в точці\big(x_0,f(x_0)\big) - це пряма лінія, яка найкраще підходить кривій в цій точці.
  • 2.6: Лінійні наближення та похибка
    Часто використовувана та ефективна стратегія побудови розуміння поведінки складної функції поблизу точки полягає в тому, щоб наблизити її простою функцією. Наступний набір таких наближень є стандартним тарифом у курсах обчислення I. Див., наприклад, §3.4 в тексті CLP-1.
  • 2.7: Спрямовані похідні та градієнт
    Основною інтерпретацією\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a) є швидкість зміниf(x)\text{,} на одиницю зміниx\text{,} atx=a\text{.} Природним аналогом цієї інтерпретації для багатозмінних функцій є спрямована похідна, яку ми зараз вводимо через питання.
  • 2.8: Необов'язково - Розв'язування хвильового рівняння
    Багато явищ моделюються рівняннями, які пов'язують швидкості зміни різних величин. Оскільки швидкості зміни задаються похідними, отримані рівняння містять похідні і так називаються диференціальними рівняннями.
  • 2.9: Максимальне та мінімальне значення
    Однією з основних тем в курсах обчислення однієї змінної є знаходження максимумів і мінімумів функцій однієї змінної. Тепер ми будемо розширювати цю дискусію на функції більш ніж однієї змінної.
  • 2.10: Мультиплікатори Лагранжа
    В останньому розділі нам довелося вирішити ряд задач виду «Яке максимальне значення функціїf на кривійC\text{?}». У цих прикладах криваC була досить простою, щоб ми могли звести задачу до знаходження максимуму функції однієї змінної.