Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5: Геометрія

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65848

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ті, хто боїться експериментувати своїми руками, ніколи нічого не дізнаються. - Джордж Сартон (1884-1956)

    Математична правда не визначається довільно правилами якоїсь «рукотворної» формальної системи, але має абсолютну природу і лежить поза будь-якою такою системою визначених правил. - Роджер Пенроуз (1930—)

    Геометрія багато в чому є найбільш природною галуззю елементарної математики, за допомогою якої можна передати «суть» дисципліни.

    • Основна тема корениться у баченні, русі, виконанні, малюванні, створенні тощо, і тому доступна кожному.
    • На середньому рівні цей практичний досвід досить природно призводить до напівформального трактування «геометрії як ментального всесвіту».
      • — Всесвіт, який розривається дивовижними фактами, твердження якого можна легко зрозуміти; і
      • — який має чітку логічну структуру, в плані якої докази цих фактів доступні, якщо іноді дражливо невловимі.

    Таке поєднання невловимих завдань, що підлягають вирішенню, і стійке накопичення доведених результатів дало поколінням учнів перший погляд на серйозну математику. Усі читачі можуть уявити собі досвід, який лежить за першою точкою кулі вище: багато проблем, які ми вже зустрічали (наприклад, Проблеми 4, 19, 20, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 37, 38, 39) не залежать від «напівформального лікування», про яке йдеться у другому точку кулі, тому може вирішувати кожен, хто зацікавлений - за умови, що вони визнають важливість навчання побудові власних діаграм (у дусі цитати Джорджа Сартона).

    Рука - це передній край розуму.

    Яків Броновський (1908-1974)

    Але є підступ - який пояснює, чому нинішня глава з'являється так пізно в колекції. Для багатьох проблем, щоб успішно передати «суть математики», має бути певне спільне розуміння того, що являє собою рішення. А в геометрії багато рішень вимагають побудови доказ. І все ж багато читачів ніколи не відчували когерентної «напівформальної обробки» елементарної геометрії в дусі другої точки кулі. Звідси в задачах 3 (с), 18, 21, 32, 34, 36 ми вчинили кардинальний гріх вести читача за ніс - розбиваючи кожну проблему на кроки для того, щоб нав'язати логічну структуру. Це, можливо, було виправдано в главі 1; але в главі, явно присвяченій геометрії, основна проблема повинна стикатися з головою: тобто необроблений досвід руки повинен бути вдосконалений, щоб забезпечити дедуктивну структуру для розуму.

    Як і в розділі 1, деякі проблеми, перераховані з розділу 5.3 далі, можна вирішити, не надто турбуючись про логічну структуру елементарної геометрії. Але в багатьох випадках «суть», яка захоплюється проблемою, вимагає, щоб проблема розглядалася в межах узгодженої логічної ієрархії - послідовності властивостей, результатів та методів, яка встановлює, що є наслідком чого - а отже, що може бути використано як частина a рішення. Зокрема, нам потрібно побудувати докази, які уникають кругових міркувань.

    Якщо B є наслідком A, або якщо B еквівалентний A, то «доказ» A, який використовує B, є в кращому випадку сумнівним і цілком може бути помилкою.

    Необхідність уникати таких кругових міркувань виникла вже в задачі 21 (зворотна теорема Піфагора), де ми відчували необхідність чітко заявити, що було б недоцільно використовувати правило косинуса: (див. Задача 192 нижче).

    Такі занепокоєння можуть пояснити, чому ця глава про геометрію є останньою з розділів, що стосуються початкової «шкільної математики», і чому ми починаємо главу з

    Ті, хто має сильний фон у геометрії, можуть пропустити ці розділи при першому читанні та перейти безпосередньо до проблем, які починаються в розділі 5.3. Але вони можуть не побачити, як сукупна архітектура Розділу 5.2 передає досить інший аспект «сутності математики», випливаючи не лише з окремих проблем, а від того, як ретельно продумане, систематичне розташування простих «цеглинок» може створити набагато більше значна математична структура.