5.12: Кубики у вищих розмірах

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65876

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цей останній розділ про елементарну геометрію прагне дослідити свіжу територію, виходячи за три виміри. Всякий раз, коли ми намагаємося піднятися на новий рівень, це може допомогти спочатку зробити крок назад і «зробити більш тривалий пробіг». Тому, будь ласка, будьте терплячі, якщо ми спочатку зробимо крок або два назад.

Всі ми знаємо, що таке одиниця 3D-куба. І - йдучи назад - неважко здогадатися, що мається на увазі під одиницею «2D-куб»: одиниця 2D-куба - це просто інша назва одиничного квадрата. Тоді неважко помітити, що одиниця 3D-куба може бути побудована з двох одиниць 2D-кубів наступним чином:

перша позиція двох одиниць 2D-кубів на 1 одиницю один від одного в 3D просторі, причому один безпосередньо над іншим;
переконайтеся, що кожна вершина нижнього 2D-куба знаходиться безпосередньо під вершиною верхнього 2D-куба;
потім з'єднайте кожну вершину верхнього 2D-куба з відповідною вершиною під нею.

Можливо, одиниця 2D-куба може бути побудована аналогічним чином з «одиниці LD-кубів»! Ця ідея говорить про те, що одиниця «1D-куб» - це просто інша назва одиничного сегмента лінії.

Візьмемо одиницю LD-куба, щоб бути відрізком лінії від 0 до 1:

розташуйте два таких 1D-куба в 2D (наприклад, одне з'єднання (0,0) до (1, 0), а інше приєднання (0,1) до (1,1));
перевірити, що кожна вершина нижнього 1D-куба знаходиться безпосередньо під вершиною верхнього 1D-куба;
потім з'єднують відповідні пари вершин - одну з верхнього 1D-куба і одну з нижнього 1D-куба (((0, 0) до (0,1), і (1,0) до (1,1)) - для отримання одиниці 2D-куба.

Зробивши крок назад, повторюємо (і переформулюємо) попередню конструкцію 3D-куба: ^o

позиціонують дві такі одиниці 2D-кубів в 3D: з одним 2D-кубом приєднання (0, 0, 0) до (1,0,0), потім до (1,1, 0), потім до (0,1, 0) і назад до (0, 0, 0), а інший 2D-куб приєднання (0,0,1) до (1, 0,1), потім до (1,1,1), потім до (0,1,1) і назад до (1,0, 0);
з одним 2D-кубом прямо над іншим,
потім з'єднують відповідні пари вершин - одну з верхнього 2D-куба і одну з нижнього 2D-куба ((0,0,0) до (0,0,1), і (1, 0,0) до (1, 0,1), і (1,1, 0) до (1,1,1), і (0,1, 0) до (0,1,1)) - для отримання одиниці 3D-куба.

Підсумовуємо: одиничний куб в 1D, або в 2D, або в 3D:

має як «вершини» всі точки, координати яких всі «0s або 1s» (в 1D, або 2D, або 3D)
має як «ребра» всі одиничні сегменти (або одиниці 1D-кубів), що з'єднують вершини, координати яких відрізняються точно в одному місці
і одиничний 3D-куб має як «грані» всі одиниці 2D-кубів, охоплені вершинами з постійним значенням (0 або 1) в одному з трьох координатних місць (тобто для одиниці 3D-куба: чотири вершини з x = 0, або чотири вершини з x = 1; або чотири вершини з y = 0, або чотири вершини з y = 1; або чотири вершини з z = 0, або чотири вершини з z = 1).

3D-куб оточений шістьма 2D-кубами (або гранями), а 2D-куб оточений чотирма 1D-кубами (або гранями). Тому природно інтерпретувати дві кінцеві вершини 1D-куба як «0D-куби». Потім ми можемо побачити, що куб у будь-якому вимірі складається з кубів менших розмірів. Ми також можемо почати робити розумні здогадки щодо того, що ми можемо очікувати, щоб знайти в «4D-Cuhe».

Проблема 225

(a) (i) Скільки вершин (тобто 0D-кубів) є в 1D-кубі?

(ii) Скільки ребер (тобто 1D-кубів) є в 1D-кубі?

(b) (i) Скільки вершин (або 0D-кубів) є в 2D-кубі?

(ii) Скільки «граней» (тобто 2D-кубів) є в 2D-кубі?

(iii) Скільки ребер (тобто 1D-кубів) є в 2D-кубі?

(ii) Скільки 3D-кубів є в 3D-кубі?

(iii) Скільки ребер (тобто 1D-кубів) є в 3D-кубі?

(iv) Скільки «граней» (тобто 2D-кубів) є в 3D-кубі?

(d) (i) Скільки вершин (або 0D-кубів) ви очікуєте знайти в 4D-кубі?

(ii) Скільки 4D-кубів ви очікуєте знайти в 4D-кубі?

(iii) Скільки ребер (тобто LD-кубів) ви очікуєте знайти в 4D-кубі?

(iv) Скільки «облич» (тобто 2D-кубів) ви очікуєте знайти в 4D-кубі?

(v) Скільки 3D-кубів ви очікуєте знайти в 4D-кубі?

Проблема 226

(a) (i) Намалюйте одиницю 2D-куба наступним чином. Починаючи з двох одиниць LD-кубів - один прямо над іншим. Потім з'єднайте кожну вершину верхнього LD-куба до вершини, якій вона відповідає в нижньому LD-кубі (безпосередньо під ним).

(ii) Позначте кожну вершину вашого ескізу координатами (x, y) (x, y = 0 або 1) так, щоб нижній 2D-куб мав рівняння «y = 0», а верхній 2D-куб мав рівняння «y = 1».

(b) (i) Намалюйте одиницю 3D-куба, починаючи з двох одиниць 2D-кубів - один прямо над іншим. Потім з'єднайте кожну вершину у верхньому 2D-кубі до вершини, якій вона відповідає в нижньому 2D-кубі (безпосередньо під ним).

(ii) Позначте кожну вершину вашого ескізу координатами (x, y, z) (де кожен x, y, z = 0 або 1) так, щоб нижній 2D-куб мав рівняння «z = 0», а верхній 2D-куб мав рівняння «z = 1».

[Підказка: Частково (b) ваш ескіз був проекцією 3D-куба на 2D-папір, і це змусило вас представляти нижній і верхній 2D-куби як ромби, а не справжні 2D-куби (одиничні квадрати). У частині (c) ви стикаєтеся з ще більш складним завданням представлення 4D-куба на 2D-папері; тому ви повинні бути готові до інших «спотворень». Зокрема, практично неможливо побачити, що відбувається, якщо спробувати фізично розташувати один 3D-куб «прямо над» іншим на 2D папері. Отже, почніть з «верхнього» блоку 3D-куба у верхньому правому кубі вашого паперу, а потім розташуйте «нижній» блок 3D-куба не безпосередньо під ним на папері, а нижче і трохи вліво, перш ніж спарювати і з'єднати кожну вершину верхнього 3D-куба з відповідною вершиною в нижньому 3D-кубі.]

(ii) Позначте кожну вершину вашого ескізу координатами (w, x, y, z) (де кожна w, x, y, z = 0 або 1) так, щоб нижній 3D-куб мав рівняння «z = 0», а верхній 3D-куб мав рівняння «z = 1».

Задача 227 Єдино можливий шлях по краях 2D-куба використовує кожну вершину один раз і повертається до початку після відвідування всіх чотирьох вершин.

(a) (i) Намалюйте контур по краях 3D-куба, який відвідує кожну вершину рівно один раз і повертається до початку.

(ii) Подивіться на послідовність координатних трійок, коли ви йдете по своєму шляху. Що ви помічаєте?

(b) (i) Намалюйте контур по краях 4D-куба, який відвідує кожну вершину рівно один раз і повертається до початку.

(ii) Подивіться на послідовність координат 4-кортежі, коли ви йдете по своєму шляху. Що ви помічаєте?