17.2: Логічна логіка

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми часто можемо класифікувати предмети як належать до наборів. Якщо ви пішли в бібліотеку шукати книгу, і вони попросили вас висловити свій пошук, використовуючи спілки, перехрестя та доповнення наборів, це було б трохи дивно. Замість цього ми зазвичай використовуємо такі слова, як «і», «або» і «не», щоб з'єднати наші ключові слова разом, щоб сформувати пошук. Ці слова, які складають основу булевої логіки, безпосередньо пов'язані з нашими множинними операціями. (Булева логіка була розроблена англійським математиком ^19-го століття Джорджем Булем.)

Логічна логіка

Логічна логіка поєднує в собі кілька тверджень, які є істинними або хибними, у вираз, який є істинним або помилковим.

У зв'язку з множинами пошук має значення true, якщо елемент є частиною множини.

Припустимо, $M$ це набір всіх таємничих книг, і $C$ це набір всіх комедійних книг. Якщо ми шукаємо «таємницю», ми шукаємо всі книги, які є елементом набору $M$ ; пошук вірний для книг, які є в наборі.

Коли ми шукаємо «таємницю та комедію», ми шукаємо книгу, яка є елементом обох наборів, на перетині. Якби ми шукали «таємницю чи комедію», ми шукаємо книгу, яка є таємницею, комедією чи обома, яка є об'єднанням наборів. Якщо ми шукали «не комедію», ми шукаємо будь-яку книгу в бібліотеці, яка не є комедією, доповненням набору $C$ .

Підключення до встановлених операцій

$A$ і $B$ елементів на перетині $A \cap B$

$A$ або $B$ елементи в союзі $A \cup B$

не $A$ елементи в доповненні $A^{c}$

Зверніть увагу тут, що або не є ексклюзивним. Це різниця між логічною логікою використання слова і загальним повсякденним вживанням. Коли ваша друга половинка запитує «ви хочете піти в парк чи кіно?» вони зазвичай пропонують ексклюзивний вибір — той чи інший варіант, але не обидва. У логічній логіці, або не є ексклюзивним - більше схоже на запитання в ресторані «хотіли б ви картопля фрі чи напій з цим?» Відповідь «обидва, будь ласка» - прийнятна відповідь.

Приклад 1

Припустимо, ми шукаємо базу даних бібліотек для мексиканських університетів. Висловіть розумний пошук за допомогою логічної логіки. Рішення

Ми могли б почати з пошуку «Мексика та університет», але, швидше за все, знайдуть результати для американського штату Нью-Мексико. Щоб врахувати це, ми могли б переглянути наш пошук, щоб прочитати:

Мексика і університет не «Нью-Мексико»

У більшості пошукових систем Інтернету не потрібно включати слово і; пошукова система припускає, що якщо ви надаєте два ключові слова, ви шукаєте обидва. У пошуку Google ключове слово або має бути записано з великої літери як OR, а негативний знак перед словом використовується для позначення «ні». Цитати навколо фрази вказують на те, що слід шукати всю фразу. Пошук з попереднього прикладу в Google міг бути написаний:

Університет Мексики - «Нью-Мексико»

Приклад 2

Опишіть числа, які відповідають умові:

парне і менше 10 і більше 0

Рішення

Цифри, які задовольняють всім трьом вимогам: $\{2,4,6,8\}$

Іноді заяви, зроблені англійською мовою, можуть бути неоднозначними. З цієї причини логічна логіка використовує дужки для показу прецеденту, як і в алгебраїчному порядку операцій.

Приклад 3

Опишіть числа, які відповідають умові:

непарне число і менше 20 і більше 0 і (кратне 3 або кратне 5)

Рішення

Перші три умови обмежують нас набором $\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\}$

Останні згруповані умови підказують нам знайти елементи цього набору, які також кратні 3 або кратні $5 .$ Це залишає нам набір. $\{3,5,9,15\}$

Зверніть увагу, що ми отримали б зовсім інший результат, якби ми написали

(непарне число і менше 20 і більше 0 і кратне 3) або кратне 5

Перший згрупований набір умов дасть {3, 9, 15}. Однак у поєднанні з останньою умовою цей набір розширюється без обмежень:

$\{3,5,9,15,20,25,30,35,40,45, \dots\}$

Приклад 4

Англійська фраза «Іди в магазин і купи мені яєць і бубликів або крупи» неоднозначна; незрозуміло, чи запитувачі завжди просять яєць разом з бубликами або крупою, або вони просять або поєднання яєць і бубликів, або просто крупи.

З цієї причини використання дужок уточнює намір:

Яйця і (бублики або крупа) означає Варіант 1: Яйця і бублики, Варіант 2: Яйця і крупа

(Яйця та бублики) або крупа означає Варіант 1: Яйця та бублики, Варіант 2: Зернові

Майте на увазі, що коли рядок умов пишеться без угруповання символів, він часто інтерпретується зліва направо, що призводить до останнього тлумачення.