12.6: Очікувана вартість
- Last updated
- Oct 27, 2022
- Save as PDF
Очікуване значення - це, мабуть, найкорисніша концепція ймовірності, яку ми обговоримо. Він має багато додатків, від страхових полісів до прийняття фінансових рішень, і це одна річ, що казино та державні установи, які ведуть азартні ігри операції та лотереї сподіваються, що більшість людей ніколи не дізнаються про.
[1] У ігровій рулетці казино обертається колесо з 38 пробілами (18 червоних, 18 чорних та 2 зелених). В одній можливій ставці гравець робить ставку 1 долар на одне число. Якщо це число обертається на колесі, то вони отримують $36 (їх початковий $1 + $35). В іншому випадку вони втрачають свій $1. В середньому, скільки грошей гравець повинен очікувати, щоб виграти або програти, якщо вони грають в цю гру повторно?
Рішення
Припустимо, ви ставите $1 на кожному з 38 пробілів на колесі, на загальну суму $38 ставка. Коли виграшний номер обертається, вам платять 36 доларів за цей номер. Поки ви виграли на цьому одному номері, загалом ви втратили 2 долари. За пробілом ви «виграли»-\$ 2 / \$ 38 \approx-\$ 0.053. Іншими словами, в середньому ви втрачаєте 5,3 цента за місце, на яке ви ставите.
Ми називаємо цей середній приріст або програш очікуваним значенням гри в рулетку. Зверніть увагу, що ніхто ніколи не втрачає рівно 5,3 центів: більшість людей (насправді, близько 37 з кожних 38) втрачають 1 долар, а дуже мало людей (близько 1 людини з кожних 38) отримують 35 доларів (36 доларів, які вони виграють мінус $1, який вони витратили на гру).
Існує ще один спосіб обчислити очікуване значення, не уявляючи, що станеться, якщо ми відтворюємо всі можливі місця. Існує 38 можливих результатів, коли колесо крутиться, тому ймовірність виграшу є\frac{1}{38}. Доповнення, ймовірність програшу, є\frac{37}{38}.
Підсумовуючи їх разом зі значеннями, отримаємо таку таблицю:
\ (\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline\ текст {Результат} &\ текст {Імовірність результату}
\\ hline\ $35 &\ frac {1} {38}\
\ hline-\ $1 &\ frac {37} {38}\
\ hline
\ кінець {масив}\)
Зверніть увагу, що якщо ми помножимо кожен результат на його відповідну ймовірність, ми отримаємо\$ 35 \cdot \frac{1}{38}=0.9211 і-\$ 1 \cdot \frac{37}{38}=-0.9737, і якщо ми додамо ці числа ми отримаємо0.9211+(-0.9737) \approx-0.053, яке є очікуваним значенням, яке ми обчислили вище.
Очікуване значення - це середній приріст або втрата події, якщо процедура повторюється багато разів.
Ми можемо обчислити очікуване значення, множивши кожен результат на ймовірність цього результату, а потім склавши продукти.
Ви купуєте лотерейний квиток, щоб допомогти благодійній організації. Розіграш квитка коштує 5 доларів. Благодійна організація продає 2000 квитків. Один з них буде розіграно і людині, яка тримає квиток, отримає приз у розмірі 4000 доларів. Обчислити очікуване значення для цього розіграшу.
- Відповідь
-
(\$ 3,995) \cdot \dfrac{1}{2000}+(-\$ 5) \cdot \dfrac{1999}{2000} \approx-\$ 3.00
У лотереї певного штату 48 куль під номером від 1 до 48 поміщаються в машину і шість з них витягуються випадковим чином. Якщо шість намальованих чисел відповідають числам, які гравець вибрав, гравець виграє 1 000 000 доларів. Якщо вони відповідають 5 чисел, то виграйте 1000 доларів. Купити квиток коштує 1 долар. Знайдіть очікуване значення.
Рішення
Раніше ми обчислювали ймовірність відповідності всіх 6 чисел і ймовірність відповідності 5 чисел:
\frac{_6 C_{6}}{_{48} C_{6}}=\frac{1}{12271512} \approx 0.0000000815для всіх 6 номерів,
\frac{\left(_{6} C_{5}\right)\left(_{42} C_{1}\right)}{_{48} C_{6}}=\frac{252}{12271512} \approx 0.0000205на 5 номерів.
Наші ймовірності та значення результатів:
\ (\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline\ текст {Результат} &\ текст {Імовірність результату}
\\ hline\ $999,999 &\ frac {1} {12271512}\
\ hline\ $999 &\ frac {252} {12271512}
\\ hline- $\ 1 & 1-\ frac {253} 12271512} =\ фрейк {12271259} {12271512}\
\ hline
\ end {масив}\)
Очікувана величина, тоді дорівнює:
(\$ 999,999) \cdot \frac{1}{12271512}+(\$ 999) \cdot \frac{252}{12271512}+(-\$ 1) \cdot \frac{12271259}{12271512} \approx-\$ 0.898
В середньому можна розраховувати на втрату близько 90 центів на лотерейний квиток. Звичайно, більшість гравців втратять $1.
Загалом, якщо очікувана вартість гри негативна, грати в гру не дуже добре, оскільки в середньому ви втратите гроші. Краще було б грати в гру з позитивним очікуваним значенням (удачі, намагаючись знайти його!) , хоча майте на увазі, що навіть якщо середній виграш є позитивним, це може бути так, що більшість людей втрачають гроші і один дуже щасливий людина виграє багато грошей. Якщо очікуване значення гри дорівнює 0, ми називаємо це чесною грою, оскільки жодна зі сторін не має переваги.
Не дивно, що очікуване значення для ігор казино є негативним для гравця, що є позитивним для казино. Це повинно бути позитивним, інакше вони вийдуть з бізнесу. Гравцям просто потрібно мати на увазі, що коли вони грають в гру неодноразово, їх очікуване значення є негативним. Це нормально до тих пір, як ви любите грати в гру і думаю, що це коштує вартості. Але було б неправильно розраховувати на вихід вперед.
Друг пропонує зіграти в гру, в якій ви кидаєте 3 стандартних 6-гранних кубика. Якщо всі кубики кидають різні значення, ви віддаєте йому 1 долар. Якщо будь-які дві кістки відповідають значенням, ви отримаєте $2. Яка очікувана цінність цієї гри? Ви б зіграли?
- Відповідь
-
Припустимо, ви закочуєте першу плашку. Імовірність другого буде відрізнятися є\dfrac{5}{6}. Імовірність того, що третій кидок відрізняється від попередніх двох\dfrac{4}{6}, тому ймовірність того, що три кубики відрізняються, є\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{6}=\dfrac{20}{36}. Імовірність того, що дві кістки будуть збігатися, є доповненням,1-\dfrac{20}{36}=\dfrac{16}{36}.
Очікувана величина:(\$ 2) \cdot \dfrac{16}{36}+(-\$ 1) \cdot \dfrac{20}{36}=\dfrac{12}{36} \approx \$ 0.33. Так, це у вашій вигоді грати. У середньому ви виграєте $0.33 за гру.
Очікувана вартість також має додатки поза азартними іграми. Очікувана вартість дуже поширена при прийнятті страхових рішень.
40-річний чоловік у США має ризик смерті в розмірі 0,242% протягом наступного року [2]. Страхова компанія стягує 275 доларів за поліс страхування життя, який виплачує допомогу на смерть у розмірі 100 000 доларів США. Яка очікувана вартість для особи, яка купує страховку?
Рішення
Ймовірності та результати
\ (\ begin {масив} {|l|l|}
\ hline\ текст {Результат} &\ текст {Імовірність результату}\
\ hline\ $100 000-\ $ 275=\ $99,725 & 0.00242
\\ hline-\ $275 & 1-0.00242=0.99758\
\ hline
\ кінець {масив}\)
Очікувана величина -(\$ 99,725)(0.00242)+(-\$ 275)(0.99758)=-\$ 33.
Не дивно, що очікуване значення негативне; страхова компанія може дозволити собі пропонувати поліси тільки в тому випадку, якщо вони, в середньому, заробляють гроші на кожному полісі. Вони можуть дозволити собі виплатити випадкові вигоди, тому що вони пропонують достатньо політики, що ці виплати виплат виплат збалансовані рештою застрахованих людей.
Для людей, які купують страховку, існує негативне очікуване значення, але є безпека, яка походить від страхування, яка коштує цієї вартості.
[1] Фото CC-BY-SA http://www.flickr.com/photos/stoneflower/
[2] За оцінювачем на www.numericalexample.com/inde... =ідентифікатор статті=91