12.2: Основні поняття

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 12.1: Вступ до ймовірності
- 12.3: Робота з подіями

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Якщо ви катаєте плашку, забираєте карту з колоди гральних карт або випадковим чином вибираєте людину і спостерігаєте за їх кольором волосся, виконуємо експеримент або процедуру. Ймовірно, ми дивимося на ймовірність різних результатів. Почнемо з деякої термінології.

Події та результати

Результат експерименту називається результатом.

Подія - це будь-який конкретний результат або група результатів.

Проста подія - це подія, яку неможливо розбити далі

Зразковий простір - це сукупність всіх можливих простих подій.

Приклад 1

Якщо ми згортаємо стандартну 6-сторонню матрицю, опишіть простір зразка і деякі прості події.

Зразок простору являє собою сукупність всіх можливих простих подій: $\{1,2,3,4,5,6\}$

$Картинка, на якій зображено два червоних 6-сторонніх кубика та один зелений 6-сторонній кубик.$

Кілька прикладів простих подій:

розгортаємо 1

розгортаємо 5

Деякі складні події:

Розкочуємо число більше 4

Прокочуємо парне число

Основна ймовірність

Враховуючи, що всі результати однаково вірогідні, ми можемо обчислити ймовірність події $E$ за такою формулою:

$P(E)=\frac{\text { Number of outcomes corresponding to the event } \mathrm{E}}{\text { Total number of equally - likely outcomes }}$

Приклад 2

Якщо ми розгортаємо 6-сторонню плашку, розрахуємо

П (прокатка а 1)
P (прокатка числа більше 4)

Рішення

Нагадаємо, що простір зразка $\{1,2,3,4,5,6\}$

Є один результат, відповідний «прокатці 1», тому ймовірність $\frac{1}{6}$
Є два результати більше, ніж 4, тому ймовірність $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Імовірності є по суті дробів і можуть бути зведені до нижчих членів, таких як дроби.

Приклад 3

Припустимо, у вас є мішок з 20 вишнями, 14 солодких і 6 кислих. Якщо ви вибираєте вишню навмання, яка ймовірність того, що вона буде солодкою?

Рішення

Є 20 можливих вишень, які можна зібрати, тому кількість можливих результатів становить 20. З цих 20 можливих результатів 14 сприятливі (солодкі), тому ймовірність того, що вишня буде солодкою, є $\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$ .

Однак є одне потенційне ускладнення для цього прикладу. Потрібно припустити, що ймовірність збирання будь-якої з вишень така ж, як і ймовірність збирання будь-якої іншої. Це не було б правдою, якщо (давайте уявимо) черешні менше, ніж кислі. (Вишня потрапляла б до рук легше, коли ви взяли проби з мішка.) Отже, майте на увазі, що коли ми оцінюємо ймовірності з точки зору співвідношення сприятливих для всіх потенційних випадків, ми в значній мірі покладаємося на припущення рівної ймовірності для всіх результатів.

Спробуйте зараз 1

У якийсь випадковий момент ви дивитеся на свій годинник і відзначаєте читання хвилин.

Яка ймовірність читання хвилин 15?
Яка ймовірність читання хвилин 15 або менше?

Відповідь

Є 60 можливих показань, від 00 до 59.

$\frac{1}{60}$
$\frac{16}{60}$ (рахуючи від 00 до 15)

Картки

Стандартна колода з 52 гральних карт складається з чотирьох мастей (серця, піки, діаманти і трефи). Піки та трефи чорні, а серця та діаманти червоні. Кожна масть містить 13 карт, кожна з яких різного рангу: туз (який у багатьох іграх функціонує як низька карта, так і висока карта), карти під номером від 2 до 10, валет, дама і король.

Приклад 4

Обчислити ймовірність випадкового витягування однієї карти з колоди і отримання Туза.

Рішення

У колоді 52 карти і 4 тузи так

$P(A c e)=\dfrac{4}{52}=\frac{1}{13} \approx 0.0769 \nonumber$

Ми також можемо думати про ймовірності як відсотки: Існує 7.69% шанс, що випадково вибрана карта буде тузом.

Зверніть увагу, що найменша можлива ймовірність дорівнює 0 — якщо немає результатів, які відповідають події. Найбільша можлива ймовірність 1 — якщо всі можливі результати відповідають події.

Певні та неможливі події

Неможлива подія має ймовірність 0.

Певна подія має ймовірність 1.

Імовірність будь-якої події повинна бути $0 \leq P(E) \leq 1$ .

У ході цієї глави, якщо ви обчислюєте ймовірність і отримаєте відповідь, яка є негативною або більшою за 1, ви допустили помилку і повинні перевірити свою роботу.