Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

18.1: Динаміка мереж безперервного стану

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    67390

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Переключимо передачі на аналіз динамічних властивостей мереж. Спочатку ми обговоримо, як деякі аналітичні методи, які ми вже розглядали в попередніх розділах, можуть бути застосовані до динамічних мережевих моделей, а потім перейдемо до деяких додаткових тем, характерних для мереж.

    Перш за все, хотілося б дати зрозуміти, що ми вже обговорювали динамічні мережеві моделі в попередніх розділах. Типова автономна динамічна система дискретного часу

    \[x_{t} =F(x_{t-1}) \label{(18.1)} \]

    або безперервний час

    \[\frac{dx}{dt} =F(x), \label{(18.2)} \]

    можна вважати динамічною мережею, якщо простір стану багатовимірний. Наприклад, систему з п'ятивимірним простором стану можна розглядати як динамічну мережу, складену з п'яти вузлів, кожен з яких має скалярний стан, що динамічно змінюється на основі математичного правила, визначеного в функції\(F\) (рис.18.1). Більш конкретно, динаміка стану вузла i визначається\(i\) -й розмірною частиною\(F\), і якщо ця частина відноситься до\(j\) -ї складової вектора стану, то вузол\(j\) з'єднується з\(i\) вузлом тощо.

    Це означає, що динамічні мережі принципово не відрізняються від інших динамічних систем. Тому якщо стани вузлів безперервні, то всі аналітичні

    Рис. 18.1.PNG
    Рисунок\(\PageIndex{1}\): Схематична ілюстрація того, як багатовимірну динамічну систему можна розглядати як динамічну мережу. Зліва: Фактичні динамічні рівняння. Праворуч: Взаємозалежні зв'язки між змінними, представлені у вигляді динамічної мережі.

    методи, про які ми говорили раніше — пошук точок рівноваги, лінеаризація динаміки навколо точки рівноваги, аналіз стійкості стану системи з використанням власних значень якобійської матриці тощо — застосовуватимуться до динамічних мережевих моделей без будь-яких модифікацій.

    Аналіз динамічних мереж найпростіше, коли модель лінійна, т. Е.

    \[x_{t} =Ax_{t-1} \label{(18.3)} \]

    або

    \[\frac{dx}{dt} =Ax \label{(18.4)} \]

    Якщо це так, все, що вам потрібно зробити, це знайти власні значення матриці коефіцієнтів\(A\), визначити домінуюче власне значення (и)\(λ_d\) (з найбільшим абсолютним значенням для випадків дискретного часу, або найбільшу дійсну частину для випадків безперервного часу), а потім визначити стабільність системи стан навколо походження шляхом порівняння\(|λ_d|\_ with 1 for discrete-time cases, or \(Re(λ_d)\) з 0 для випадків безперервного часу. Домінантний власний вектор (и), який відповідає,\(λ_d\) також говорить нам про асимптотичний стан мережі. Хоча ця методологія не застосовується до інших більш загальних нелінійних мережевих моделей, вона все ще досить корисна, оскільки багато важливих динаміки мережі можна записати як лінійні моделі. Одним з таких прикладів є дифузія, про яку ми розповімо в наступному розділі докладніше.