8.11: Вправи

ВПРАВА 8.1. \(S\)Дозволяти бути наступником функції у визначенні 8.1. Доведіть, що\[S(\emptyset) \neq \emptyset .\] Доведіть, що для будь-якого набору\(X\),\[S(X) \neq X .\] Вправа 8.2. Доведіть, що немає належної підмножини\(\mathbf{N}\) (див. Рівняння 8.1) є індуктивним.

ВПРАВА 8.3. \(\mathcal{F}=\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in Y\right\}\)Дозволяти сімейство індуктивних множин, індексованих по\(Y\). Доведіть, що\[\bigcap_{\alpha \in Y} X_{\alpha}\] є індуктивним.

ВПРАВА 8.4. Доведіть, що додавання і множення в\(\mathbb{N}\) (як формально визначено в Розділі 8.1) асоціативні, комутативні та розподільні.

ВПРАВА 8.5. Довести, що відношення,\(\leq\) визначене\(\mathbb{N}\) в розділі\(8.1\), є лінійним упорядкуванням\(\mathbb{N}\).

ВПРАВА 8.6. Доведіть, що додавання та множення в\(\mathbb{Z}\) (як формально визначено в розділі 8.2) є асоціативними, комутативними та розподільними.

ВПРАВА 8.7. Довести, що відношення,\(\leq\) визначене\(\mathbb{Z}\) в розділі\(8.2\), є лінійним упорядкуванням\(\mathbb{Z}\).

ВПРАВА 8.8. Доведіть, що\(\leq\) це добре впорядкування,\(\mathbb{N}\) але не з\(\mathbb{Z}\) (використовуючи формальне визначення відношення).

ВПРАВА 8.9. Доведіть, що додавання і множення в\(\mathbb{Z}\) і відношення\(\leq\) на\(\mathbb{Z}\) розширює операції і відношення на\(\mathbb{N}\). Дозвольте\(I: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) бути визначені\[I(n)=[\langle n, 0\rangle] .\] Доведіть, що\(I\) це ін'єкція і що для всіх\(m, n \in \mathbb{N}\),\[I(m+n)=I(m)+I(n),\]\[I(m \cdot n)=I(m) \cdot I(n)\] і\[m \leq n \Rightarrow I(m) \leq I(n)\] Зверніть увагу, що операції на лівій стороні рівнянь \(8.24\)і\(8.25\) визначаються в\(\mathbb{N}\) і з правого боку визначаються в\(\mathbb{Z}\). Аналогічно визначено\(8.26\) попереднє твердження,\(\mathbb{N}\) а наслідок визначається в\(\mathbb{Z}\).

ВПРАВА 8.10. Доведіть, що додавання та множення\(\mathbb{Q}\) (як формально визначено в розділі 8.3) є асоціативними, комутативними та розподільними.

ВПРАВА 8.11. Довести, що відношення,\(\leq\) визначене\(\mathbb{Q}\) в розділі\(8.3\), є лінійним упорядкуванням\(\mathbb{Q}\).

ВПРАВА 8.12. Доведіть, що додавання і множення на\(\mathbb{Q}\) і відношення\(\leq\) на\(\mathbb{Q}\) розширює операції і відношення на\(\mathbb{Q}\). Дозвольте\(I: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}\) бути визначені\[I(a)=[\langle a, 1\rangle] .\] Доведіть, що\(I\) це ін'єкція і що для всіх\(a, b \in \mathbb{Z}\),\[\begin{gathered} I(a+b)=I(a)+I(b) \\ I(a \cdot b)=I(a) \cdot I(b) \end{gathered}\] і\[a \leq b \Rightarrow I(a) \leq I(b)\] Зверніть увагу, що операції на лівій стороні рівнянь\(8.27\) і \(8.28\)визначаються в\(\mathbb{Z}\) і з правого боку визначаються в\(\mathbb{Q}\). Аналогічно визначено\(8.29\) попереднє твердження,\(\mathbb{Z}\) а наслідок визначається в\(\mathbb{Q}\).

ВПРАВА 8.13. Доведіть, що кожен ненульовий елемент\(\mathbb{Q}\) має мультиплікативний зворотний в\(\mathbb{Q}\). Вправа 8.14. Доведіть твердження (1), (2) та (3) у розділі 8.4.

ВПРАВА 8.15. Доведіть теорему 8.2.

ВПРАВА 8.16. Нехай\(X \subseteq \mathbb{R}, Y \subseteq \mathbb{R}\) і нехай кожен елемент\(X\) бути менше, ніж кожен елемент\(Y\). Доведіть, що є\(a \in \mathbb{R}\) задовольняє\[(\forall x \in X)(\forall y \in Y) x \leq a \leq y .\] ВПРАВА 8.17. Дозвольте\(X \subseteq \mathbb{R}\) бути обмеженим вище. Доведіть, що найменша верхня\(X\) межа унікальна.

ВПРАВА 8.18. \(X \subseteq \mathbb{R}\)Дозволяти бути обмежені нижче. Доведіть, що\(X\) має найбільшу нижню межу.

ВПРАВА 8.19. Доведено лише окремий випадок теореми Больцано-Вейєрштрасса (теорема 8.6) (де\([b, c]\) замкнутий одиничний інтервал,\([0,1])\). Узагальнити доказ до довільного\(b, c \in \mathbb{R}\) де\(b \leq c\).

ВПРАВА 8.20. Нехай\(X \subseteq \mathbb{R}\). Ми говоримо,\(X\) що щільно в\(\mathbb{R}\) якщо дано будь-який\(a, b \in \mathbb{R}\) з\(a<b\), є\(x \in X\) таке, що\[a \leq x \leq b .\] а) Доведіть,\(\mathbb{Q}\) що щільно в\(\mathbb{R}\).

б) Доведіть,\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) що щільно в\(\mathbb{R}\).

ВПРАВА 8.21. \(\left\langle a_{n}\right\rangle\)Дозволяти ін'єкційної послідовності. Яка кардинальність множини всіх підпослідовностей\(\left\langle a_{n}\right\rangle\)? Що можна сказати про множину підпослідовностей неін'єкційної послідовності?

ВПРАВА 8.22. \(s\)Дозволяти нескінченне десяткове розширення\(n \in \mathbb{N}^{+}\), і для будь-якого, нехай\(s_{n}\) бути усічення\(s\) до\(n^{t h}\) десяткового знака. Доведіть, що послідовність\(\left\langle s_{n}\right\rangle\) є послідовність Коші.

ВПРАВА 8.23. \(\left\langle a_{n}\right\rangle\)Дозволяти збіжну послідовність і\(\left\langle a_{f(n)}\right\rangle\) бути підпослідовністю\(\left\langle a_{n}\right\rangle\). Доведіть, що\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{f(n)} .\] вправа 8.24. Доведіть наступне узагальнення нерівності трикутника: якщо ряд\(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\) сходиться, то\[\left|\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\right| \leq \sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right| .\] ВПРАВА 8.25. \(f\)Дозволяти бути реальна функція безперервної в\(a\), і\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) нехай послідовність сходяться до\(a\). Доведіть, що\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f(a) .\] вправа 8.26. Наведіть приклад неперервної функції на відкритому інтервалі, яка досягає своїх крайніх значень на інтервалі. Наведіть приклад неперервної функції, визначеної на відкритому інтервалі, яка не досягає своїх крайніх значень на інтервалі.

ВПРАВА 8.27. Завершити доказ теореми\(8.12\) - тобто довести результат при\(f(c)\) мінімальному значенні\(f\) на\((a, b)\).

ВПРАВА 8.28. Доведіть наслідок 8.15.

ВПРАВА 8.29. Довести, що будь-яка безперервна ін'єкційна реальна функція на інтервалі є монотонним на цьому інтервалі.

ВПРАВА 8.30. Доведіть, що немає безперервного біекції від\((0,1)\) до\([0,1]\).

ВПРАВА 8.31. Доведіть, що кожен многочлен в\(\mathbb{R}[x]\) непарного ступеня має принаймні один реальний корінь.

ВПРАВА 8.32. Доведіть, що якщо у вас квадратний стіл, з ніжками однакової довжини, і суцільним підлогою, ви завжди можете обертати стіл так, щоб всі 4 ніжки одночасно стикалися з підлогою. (Підказка: Застосуйте теорему проміжного значення до відповідним чином обраної функції). Це одне з найбільш ранніх застосувань математики до кав'ярень.

ВПРАВА 8.33. Доказ Пропозиції 8.16 вимагає, щоб ненульові дійсні числа мали взаємні (а отже, частки дійсних чисел чітко визначені). Доведіть, що ненульові дійсні числа мають взаємні. Вправа 8.34. Покажіть, що існує рівно 4 завершених розширень порядку,\(\mathbb{Q}\) в яких\(\mathbb{Q}\) щільно.