8.1: Натуральні числа

Що таке дійсні числа і чому раціональних чисел не вистачає для наших математичних потреб? Зрештою, дійсні числа повинні задовольняти певні аксіоматичні властивості, які ми вважаємо бажаними для інтерпретації природного світу, задовольняючи прагнення математика до формальної основи математичних міркувань.

Звичайно, дійсні числа повинні містити раціональні числа. Ми також вимагаємо, щоб дійсні числа задовольняли досить очевидні алгебраїчні властивості, які мають для раціональних чисел, таких як комутативність додавання або розподільна властивість. Ці аксіоми дозволяють використовувати алгебру для вирішення завдань. Крім того, ми повинні задовольнити геометричні властивості, такі як нерівність трикутника, які дозволяють інтерпретувати позитивні дійсні числа як відстані. Нам потрібна наша система числення, щоб містити числа, що виникають з алгебраїчної та геометричної інтерпретації чисел. На жаль, раціональних чисел недостатньо для цієї обмеженої мети. Наприклад\(\sqrt{2}\), який ви знаєте на\(3.23\) прикладі ірраціональний, виникає геометрично як довжина діагоналі одиничного квадрата, і як рішення алгебраїчного рівняння\(x^{2}=2\).

Розвиток ліміту породило нові питання про реальні цифри. Зокрема, коли ми впевнені, що послідовність чисел збігається в нашій системі числення? У доказах конвергенції претензій часто використовується інша властивість дійсних чисел, найменш верхня межа властивості. Багато з потужних висновків числення є наслідками цієї властивості. Вільно кажучи, найменш верхня межа властивість означає, що дійсний числовий рядок не має ніяких «дірок». Іншим способом, якщо всі елементи одного непорожнього набору дійсних чисел менше всіх елементів іншого непорожнього набору дійсних чисел, то існує дійсне число більше або дорівнює всім елементам першої множини, і менше або дорівнює всім елементам другого множини. Це властивість називається порядком-повнотою, і формально визначено в Розділі 8.10. Замовлення-повнота, і його бажані наслідки, не дотримуються раціональних чисел.

Як довести існування множини з порядком і операціями, що задовольняє всі ці потреби одночасно? Не можна просто припустити, що така структура існує. Цілком можливо, що зазначені властивості логічно суперечливі. Ми могли б спробувати побудувати набір. Які правила побудови математичного об'єкта? Це питання спонукало математиків кінця дев'ятнадцятого - початку ХХ століття розробити правила такої конструкції - аксіоми теорії множин.

З цієї причини ми будуємо дійсні числа за допомогою множинно-теоретичної побудови. Тобто ми побудуємо натуральні числа, цілі числа, раціональні та ірраціональні числа по черзі, використовуючи базові множини, функції та відносини. При цьому ми побудуємо набір з порядком та операціями, який містить раціональні числа (або структуру, яка поводиться точно так, як ми очікуємо, що раціональні числа будуть вести себе), задовольняє аксіоми алгебраїчного та порядку, має властивості, необхідні для обчислення, і будується за допомогою інструментів, які ви розроблено в розділах 1 і 2.

Натуральні числа

Коли ми ввели натуральні числа в главі 1, ми були явними, що ми не визначали множину. Натомість ми продовжили припущення, що ви знайомі з натуральними числами в силу вашого попереднього математичного досвіду. Тепер ми визначаємо натуральні числа у всесвіті множин, будуючи їх з порожньої множини. ВИЗНАЧЕННЯ. Функція наступника\(Y\) Дозволяти бути множиною. Функція наступника визначається\(S\)\[S(Y):=Y \cup\{Y\} .\] DEFINITION. Індуктивна множина Дозволяти\(S\) бути наступною функцією і\(X\) бути будь-якою колекцією множин, що задовольняють наступним умовам:
(1)\(\emptyset \in X\)
(2)\([Y \in X] \Rightarrow[S(Y) \in X]\).

Тоді\(X\) називається індуктивним набором.

ВИЗНАЧЕННЯ. Натуральні числа\(X\) Дозволяти бути будь-яким індуктивним набором. Множина натуральних чисел - це перетин всіх підмножин\(X\), які є індуктивними множинами.

Чи добре визначені натуральні числа? Тобто, чи залежить визначення від вибору набору\(X\)? Якщо\(\mathcal{F}\) це сімейство множин, всі з яких є індуктивними, то легко довести, що перетин над також\(\mathcal{F}\) є індуктивним. Якщо нам дають множини\(X\) і\(Y\) які є індуктивними, чи будуть множини породжувати той самий набір «натуральних чисел»? Знову ж таки, легко побачити, що відповідь так, оскільки\(X \cap Y\) є підмножиною обох\(X\) і\(Y\), і є індуктивним. «Натуральні числа», визначені термінами\(X\) і\(Y\) будуть «натуральними числами», визначеними термінами\(X \cap Y\) - вони складають «найменшу» індуктивну множину. Для того, щоб визначити натуральні числа у Всесвіті множин, необхідно надати, що існує індуктивна множина. Це аксіома теорії множин, що існує така множина, яка називається аксіомою нескінченності (див. Додаток В для обговорення аксіом теорії множин).

Яке відношення має цей набір до натуральних чисел, як ми розуміємо, і використовуємо їх у математиці? Розглянемо функцію\(i\), визначену\[i(0)=\emptyset\] і\[i(n+1)=i(n) \cup\{i(n)\} .\] So\[\begin{aligned} i(0) &=\emptyset \\ i(1) &=\{\emptyset\} \\ i(2) &=\{\emptyset,\{\emptyset\}\} \\ i(3) &=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\} . \end{aligned}\] Потім\(i\) дає біекцію між натуральними числами, як ми розуміємо їх інтуїтивно, і мінімальним індуктивним набором, який ми визначили вище.

Давайте\(\ulcorner n\urcorner\) формально визначимо, як множина, яку отримує, застосовуючи функцію наступника\(S\) до порожніх встановлених\(n\) часів. Отже,\[0=\emptyset\] і для\(n>0\) набору\[\ulcorner n\urcorner=\{\emptyset,\{\emptyset\}, \ldots\}\] є саме\(n\) елементи, і ми ототожнюємо його з набором\[\{0,1, \ldots, n-1\}\], який ми раніше вибрали як канонічний набір з\(n\) елементами.

Множина\[\mathbf{N}:=\{\ulcorner n\urcorner \mid n \in \mathbb{N}\}\] є індуктивною, а тому містить натуральні числа. Нарешті, читач може підтвердити, що не\(\mathbf{N}\) має належної підмножини, яка є індуктивною.

Підсумовуючи конструкцію до цих пір, аксіома нескінченності гарантує, що існує набір, який є індуктивним. Підібрати такий набір,\(X\). Перетин всіх підмножин,\(X\) що є індуктивними є\(\mathbf{N}\), які ми можемо ототожнити з натуральними числами (задуманими інтуїтивно) за допомогою біекції i Для того, щоб продовжити будівництво, ми вважаємо\(\mathbb{N}\) і\(\mathbf{N}\) бути той же набір. Нам\(\mathbb{N}\) потрібно мати операції\(+\) і. а також відношення\(\leq\). Визначимо додавання\(\mathbb{N}\) з основними операціями набору та кардинальністю. Якщо\(m, n \in \mathbb{N}\), то ми визначаємо додавання по\[m+n:=|(\ulcorner m\urcorner \times\{\ulcorner 0\urcorner\}) \cup(\ulcorner n\urcorner \times\{\ulcorner 1\urcorner\})| .\] Renall, що кардинальність скінченної множини - це унікальне натуральне число, яке є двооб'єктивним з множиною - звідси складний вираз в правій частині визначення є натуральним числом. Легко підтвердити, що доповнення, визначене таким чином, узгоджується зі звичайною операцією в\(\mathbb{N}\). Чому ми намагаємося визначити операцію, яку ви розуміли протягом багатьох років? Ми визначили додавання натуральних чисел як операцію множини.

Множення визначити дещо простіше. Якщо\(m, n \in \mathbb{N}\), то\[m \cdot n:=|\ulcorner m\urcorner \times\ulcorner n\urcorner| .\] (Звичайно, під\(\ulcorner m\urcorner \times\ulcorner n\urcorner\) декартовим добутком множин\(\ulcorner m\urcorner\) і\(\ulcorner n\urcorner\).) Нарешті, якщо\(m, n \in \mathbb{N}\)\[[m \leq n] \Longleftrightarrow[\ulcorner m\urcorner \subseteq\ulcorner n\urcorner] .\] Ви повинні підтвердити, що операції і відношення погодитися зі звичайними\(+, \cdot\) і\(\leq\) на натуральні числа.

Завершивши цю конструкцію, розумно запитати,\(\mathbb{N}\) чи дійсно набір натуральних чисел. Це, безумовно, виправдано для вас зробити висновок, що ніякої ясності щодо числа 2 не забезпечується, ототожнюючи його з набором\(\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\). Те, що ми отримуємо, - це зменшення чисел до множин, які проведуть нас через побудову всіх дійсних чисел, включаючи числа, які нелегко побудувати.