8: Кардинальність

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 7.4: Алгебра комбінацій
- 8.1: Еквівалентні набори

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Саме існування вогнеметів доводить, що якийсь час, десь, хтось сказав собі: «Знаєте, я хочу підпалити тих людей, але я просто недостатньо близький, щоб виконати роботу».

—Джордж Карлін

8.1: Еквівалентні набори
Ми вже бачили кілька цікавих прикладів співвідношень еквівалентності, і в цьому розділі ми розглянемо ще один: ми скажемо, що два множини еквівалентні, якщо вони мають однакову кількість елементів. Зазвичай відношення еквівалентності має ефект, що він виділяє одну характеристику досліджуваних об'єктів, ігноруючи при цьому всі інші. Еквівалентність множин приводить питання розміру (ака кардинальність) в гострий фокус, забуваючи все про багато інших особливостей наборів.
8.2: Приклади множинної еквівалентності
Існує давня загадка про те, що відбувається, коли непереборна сила зустрічається з нерухомим предметом. У подібному дусі іноді ведуться бурхливі суперечки серед маленьких дітей щодо того, який супергерой виграє бійку. Багатьом людям поточна тема здаватиметься такою ж розумною, як щойно натякали дискусії на шкільному дворі. Ми стурбовані тим, щоб знати, чи один нескінченний набір більший за інший, чи вони однакового розміру.
8.3: Теорема Кантора
Багато людей вважають, що результат, відомий як теорема Кантора, говорить про те, що дійсні числа,, мають більшу кардинальність, ніж натуральні числа,. Це не зовсім правильно. Насправді теорема Кантора є набагато ширшим твердженням, одним із наслідків якого є те, що ||>||. Перш ніж ми продовжимо обговорювати теорему Кантора в повній загальності, ми спочатку дослідимо її, по суті, в цій спрощеній формі.
8.4: Домінування
8.5: Гіпотеза континууму та узагальнена гіпотеза континуу
Слово «континуум» в назві цього розділу використовується для позначення множин точок, які мають певну властивість безперервності. Наприклад, в реальному проміжку можна переходити з однієї точки в іншу, плавно, ніколи не виходячи з інтервалу. У діапазоні раціональних чисел це неможливо, оскільки між кожною парою раціональних є ірраціональні значення.