3.2: Множини, підмножини та предикати

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65360

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

3.2А. Набори та їх елементи

У математиці набір - це сукупність предметів. Об'єкти в колекції називаються «елементами» (або «членами») множини. Якщо хтось має певний набір на увазі, вони можуть захотіти сказати іншим людям, який він встановлений. Один хороший спосіб зробити це - перерахувати його елементи. Список потрібно оточити фігурними дужками («\(\{\ \ \}\)»), щоб вказати, що він представляє набір, а не якийсь інший тип об'єкта.

Інша термінологія.

У математиці термін колекція є синонімом «безліч».

Приклад\(3.2.1\).

\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\)множина натуральних чисел від\(1\) до\(5\).
\(\{1,2,3,\ldots,100\}\)множина натуральних чисел від\(1\) до\(100\).
\(\{\)♣, ♦, ♥, ♠\(\}\)являє собою набір мастей в стандартну колоду карт.
Набір провінцій Канади -\ [\ left\ {\ begin {array} {c}
\ text {Британська Колумбія, Альберта, Саскачеван, Манітоба,}\
\ text {Онтаріо, Квебек, Ньюфаундленд і Лабрадор,}\
\ text {Нью-Брансвік, Острів Принца Едуарда, Нова Шотландія}
\ end {масив}\ право\}.\]

Зауваження\(3.2.2\).

У повсякденному житті, коли у вас є купа речей, які ви хочете зберегти разом, ви можете шукати коробку, щоб покласти їх. (Сама коробка, ймовірно, не має ніякої цінності — вас цікавить тільки той матеріал, який знаходиться в коробці.) У математиці ви повинні складати речі в набір, а не коробку. Якщо ви думаєте про набір як про коробку речей, то елементи набору - це те, що ви бачите, коли відкриваєте коробку.

Приклад\(3.2.3\).

Якщо\(A = \{1,2,3\}\), то елементами\(A\) є числа\(1\)\(2\), і\(3\).
Якщо\(B=\{1,\{2,3\}\}\), то елементами\(B\) є число\(1\) і набір\(\{2,3\}\). Важливо відзначити, що цифри\(2\) і не\(3\) є елементами\(B\).
1. Щоб зрозуміти це, може допомогти розглянути аналогію з коробками: якщо ми відкриємо коробку\(B\), то побачимо номер\(1\) і коробку, але не побачимо ні числа,\(2\) ні числа\(3\).
  Вміст коробки\(B\) (2 елементи):
  число «1" коробка
  різноманітних чисел
  Нам потрібно буде відкрити коробку, яка знаходиться всередині,\(B\) щоб побачити ці додаткові числа. Так\(2\) і не\(3\) є елементами\(B\) множини — вони є елементами набору, який є елементом\(B\).
2. Як ще одна ілюстрація цього ж явища, припустимо, ми складаємо список команд у шаховому турнірі. Список може бути:
  1. U з Летбриджа,
  2. U Альберти,
  3. U Калгарі.
  І, можливо, членами команди Летбріджа є Аліса, Боб і Сінді. Тоді Аліси немає в списку команд, вона є членом однієї з команд у списку.

Позначення\(3.2.4\).

Використовуємо

«\(\in\)» як абревіатура від «є елементом», і
«\(\notin\)» як абревіатура від «не є елементом».

Наприклад, якщо\(A = \{1,2,3,4,5\}\), то у нас\(3 \in A\) і\(7 \notin A\), тому що\(3\) є елементом\(A\), але не\(7\) є елементом\(A\).

Визначення\(3.2.5\).

Набір без елементів може бути позначений\(\{\ \}\). (Це як порожня коробка.) Його називають порожнім набором, і він виникає так часто, що іменується спеціальним символом:\[\varnothing \text { denotes the empty set. }\]

Зауваження\(3.2.6\).

Оскільки порожній набір не має елементів,\[\text { for all } x \text {, we have } x \notin \varnothing \text {. }\]

Вправа\(3.2.7\).

Заповніть кожну заготовку за допомогою\(\in\) або\(\notin\).

\(\mathrm{t}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
\(\mathrm{i}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
\(\mathrm{m}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
\(\{\mathrm{t}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
\(\{\mathrm{i}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
\(\{\mathrm{m}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
\(\{\mathrm{t, i}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
\(\{\mathrm{m, e}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
\(\mathrm{t}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
\(\mathrm{i}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
\(\mathrm{m}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
\(\{\mathrm{t}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
\(\{\mathrm{i}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
\(\{\mathrm{m}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
\(\{\mathrm{t, i}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
\(\{\mathrm{m, e}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
\(\varnothing_{-}\varnothing\)
\(\varnothing_{-}\{\varnothing\}\)
\(\{\varnothing\}_{-}\varnothing\)
\(\{\varnothing\}_{-}\{\varnothing\}\)
\(\{\varnothing\}_{-}\{\{\varnothing\}\}\)

Ми говорили, що набір - це сукупність предметів, але це потребує трохи опрацювання:

Набір визначається його елементами. Це означає, що не може бути двох різних наборів, які мають однакові елементи. (Або, іншими словами, якщо два множини мають однакові елементи, то два множини рівні.) Наприклад, припустимо:
1. \(H\)це набір студентів, які мали ідеальний бал на минулому тижні історії вікторини,
2. \(M\)це набір студентів, які мали ідеальний бал на математичній вікторині минулого тижня.
3. \(\text { Alice and Bob }\)є єдиними двома студентами, які мали ідеальний бал на вікторині історії минулого тижня, і
4. \(\text { Alice and Bob }\)також є єдиними двома студентами, які мали ідеальний бал на математичній вікторині минулого тижня.
  Тоді\(H\) і\(M\) мають точно такі ж елементи, так\(H\) і просто\(M\) різні імена для одного і того ж набору: а саме обидва представляють\(\{\text { Alice, Bob \} }\). Отже, набори рівні: у нас є\(H = M\).

Припустимо\(B\),\(A\) і є двома множинами.
У нас є\(A = B\) якщо і тільки
для кожного\(x\),\(((x \in A) \Leftrightarrow(x \in B)) .\)

Набір - це невпорядкована колекція. Це означає, що перерахування елементів набору в іншому порядку не дає іншого набору. Наприклад,\(\{1,2,3\}\) і\(\{1,3,2\}\) знаходяться один і той же набір. Пишемо\(\{1,2,3\}=\{1,3,2\}\). Обидва вони є набором, чиї елементи є\(1\)\(2\), і\(3\).
Набір - це колекція без повторень. Це означає, що повторення чогось у списку елементів не змінює набір. Наприклад,\(\{1,2,2,3,3\}\) це той же набір, що і\(\{1,2,3\}\). Пишемо\(\{1,2,2,3,3\}=\{1,2,3\}\).

Вправа\(3.2.8\).

Заповніть бланк за допомогою\(=\) або\(\neq\).

\(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}, \mathrm{e}\}\)
\(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}, \mathrm{e}\}\)
\(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}\)
\(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}\}\)
\(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}, \mathrm{i}\}\)
\(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{t}, \mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}\)
\(\{\mathrm{t}, \mathrm{t}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}\}\)
\(\{\mathrm{t}, \mathrm{t}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{i}, \mathrm{i}\}\)
\(\{\mathrm{t}, \mathrm{t}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}\}\)

Вправа\(3.2.9\).

Надайте 2-стовпцевий доказ кожного відрахування.

\((a \in A) \Rightarrow(a \notin B), \quad(b \in B) \Rightarrow(a \in B), \quad \therefore(b \in B) \Rightarrow(a \notin A)\)
\((p \in X) \&(q \in X), \quad(p \in X) \Rightarrow((q \notin X) \vee(Y=\varnothing)), \quad \therefore Y=\varnothing .\)

Вправа\(3.2.10\).

Напишіть свої докази англійською мовою.

Припустимо:
1. Якщо\(p \in H\) і\(q \in H\), то\(r \in H\).
2. \(q \in H\).
  Покажіть, що якщо\(p \in H\), то\(r \in H\).
Припустимо:
1. Якщо\(X \neq \varnothing\), то\(a \in Y\).
2. Якщо\(X = \varnothing\), то\(b \in Y\).
3. Якщо або\(a \in Y\) або\(b \in Y\), то\(Y \neq \varnothing\).
  Показати\(Y \neq \varnothing\).

Позначення\(3.2.11\).

Традиційно використовувати:

великі літери (наприклад,\(A,B,C, X,Y,Z\)) для представлення множин, і
малі літери (наприклад,\(a,b,c,x,y,z\)) для представлення чисел та інших об'єктів, які є окремими елементами (або «атомами»), а не множинами.

Крім того, непогано підтримувати відповідність між великими літерами та літерами нижнього регістру: коли це можливо, використовуйте\(a\) для представлення елемента\(A\) та\(b\) представлення елемента\(B\), наприклад.

Позначення\(3.2.12\).

Кілька особливо важливих наборів чисел отримали імена, які повинен знати кожен математик:

\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ... \}\)множина натуральних чисел.
(Попередження: Деякі підручники не вважають\(0\) натуральним числом.)
\(\mathbb{N}^{+} = \{1, 2, ... \}\)множина натуральних натуральних чисел.
\(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3,-2,-1, 0, 1, 2,3,\ldots \}\)множина цілих чисел. Число є цілим числом тоді і тільки тоді, коли воно є або натуральним числом, або від'ємним від натурального числа.
\ (\ mathbb {Q} =\ left\ {\ begin {масив} {c|c}
p & p, q\ in\ mathbb {Z}\\
q\ neq 0
\ end {масив}\ право\}\) - набір раціональних чисел. (Це позначення означає, що число\(x\) є елементом\(\mathbb{Q}\) if і тільки якщо існують цілі числа\(p\) і\(q\), з\(q \neq 0\), такі що\(x = p/q\).) Наприклад,\(1/2\),\(7/5\), і\(-32/9\) є елементами\(\mathbb{Q}\).
\(\mathbb{R}\)множина всіх дійсних чисел. (Тобто набір всіх чисел, які є або позитивними або негативними або\(0\). Якщо ви не дізналися про «комплексні числа» або «уявні числа», ймовірно, це так, що всі числа, які ви знаєте, є дійсними числами.) Наприклад,\(\root 3 \of n\) є дійсним числом кожного разу\(n \in \mathbb{Z}\); і\(\sqrt[3]{n}\) є дійсним числом кожного разу\(n \in \mathbb{R}\). («Ви не можете взяти квадратний корінь від'ємного числа.»)

Зауваження\(3.2.13\).

Множини є найбільш фундаментальними об'єктами в математиці. Дійсно, сучасні математики вважають кожен об'єкт всюди сукупністю, але ми не будемо зовсім такою крайністю. А саме, крім множин, ми розглянемо два додаткових типи об'єктів: числа і впорядковані пари. (Передбачається, що ви вже маєте великий досвід роботи з цифрами, і вмієте з ними боротися. Ви, напевно, також бачили впорядковані пари\((x,y)\), але їх основні властивості будуть переглянуті в Позначенні\(6.1.1\).) Функції - ще один дуже важливий клас математичних об'єктів, але, як буде видно в\(6.2\) Розділі, ми можемо думати про них як про певний тип множини.

3.2B. Кардинальність

Позначення\(3.2.14\).

Використовуємо\(\#A\) для позначення кількості елементів в наборі\(A\). (Таким чином, наприклад,\(\#\{\mathrm{a}, \mathrm{e}, \mathrm{i}, \mathrm{o}, \mathrm{u}\}=5\).) \(\#A\)Математики називають кардинальністю\(A\). Це, здавалося б, просте поняття насправді має деякі складні наслідки, і буде розглянуто більш детально в розділі\(9\).

Інші позначення.

Багато математиків використовують позначення\(|A|\) замість\(\# A\).

Зауваження\(3.2.15\).

Ви, напевно, вже знаєте, що деякі множини є кінцевими, а деякі (наприклад\(\mathbb{N}\)) нескінченними. Більш докладно про це ми поговоримо в главі 9. Наразі нагадуємо, що множина\(A\) є кінцевою, якщо елементи\(A\) можна порахувати (а відповідь - деяке число\(n\)); тобто якщо\(\#A = n\), для деяких\(n \in \mathbb{N}\).

Вправа\(3.2.16\).

Яка кардинальність кожного набору? (Вам не потрібно показувати свою роботу.)

\(\#\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\}=\)
\(\#\{\mathrm{a}, \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\}=\)
\(\#\{\mathrm{a},\{\mathrm{b}, \mathrm{c}\}\}=\)
\(\#\{\mathrm{a}, \mathrm{a},\{\mathrm{b}, \mathrm{c}\},\{\mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\}\}=\)
\(\# \varnothing=\)
\(\#\{\varnothing\}=\)

Відповідь: Додайте сюди тексти. Не видаляйте цей текст спочатку.

3.2C. Підмножини.

Студенти з геометрії навчаються, що кожен квадрат - це прямокутник. Переводячи це в терміни теорії множин, можна сказати, що якщо

\(S\)це набір всіх квадратів, і
\(R\)це набір всіх прямокутників,

то кожен елемент набору також\(S\) є елементом\(R\). Коротше кажучи, ми говоримо, що\(S\) це підмножина\(R\), і ми можемо писати\(S \subset R\).

Визначення\(3.2.17\).

Припустимо\(B\),\(A\) і є двома множинами. Ми говоримо, що\(B\) є підмножиною\(A\) iff кожен елемент\(B\) є елементом\(A\).

Коли\(B\) є підмножиною\(A\):

В символах пишемо\(B \subset A\).
Можна сказати, що\(B\) міститься в\(A\) або що\(A\) містить\(B\).
Ми також можемо написати\(A \supset B\) (і викликати\(A\) супермножину\(B\)).

Приклад\(\PageIndex{1}\)

\(\{1,2,3\}\)є підмножиною\(\{1,2,3,4\}\), тому що елементи\(\{1,2,3\}\) є\(1\)\(2\), і\(3\), і кожен з цих чисел є елементом\(\{1,2,3,4\}\).
\(\{1,3,5\}\)не є підмножиною\(\{1,2,3,4\}\), тому що існує елемент\(\{1,3,5\}\) (а саме,\(5\)), який не є елементом\(\{1,2,3,4\}\).
У нас є\(\mathbb{N}^{+} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).

Зауваження\(3.2.19\).

Ми пишемо,\(B \not \subset A\) щоб позначити, що не\(B\) є підмножиною\(A\).
У нас є\(B \not \subset A\), якщо є принаймні один елемент\(B\), що не є елементом\(A\).

Зауваження\(3.2.20\).

Мовою повсякденного життя, припустимо, хтось дає вам коробку\(A\), в якій є якісь речі. Вам дозволяється взяти деякі речі з коробки і покласти їх в нову коробку\(B\). Але вам не дозволяється щось вкладати,\(B\) якщо його не було в коробці\(A\). Тоді\(B\) буде підмножина\(A\).
Якщо ви вирішите взяти всі речі, які були в коробці\(A\), то коробка в кінцевому підсумку\(B\) буде точно такою ж, як\(A\); тобто\(B = A\). Це ілюструє той факт, що кожен набір є підмножиною себе. \[\text { For every set } A \text {, we have } A \subset A \text {. }\]
Якщо ви вирішили взагалі нічого не брати з коробки\(A\), то коробка\(B\) буде порожня. Це ілюструє важливий факт, що порожній набір є підмножиною кожного набору. \[\text { For every set } A \text {, we have } \varnothing \subset A \text {. }\]

Визначення\(3.2.21\).

Припустимо\(A\) і\(B\) є множинами. Ми говоримо\(B\), що є належним підмножиною\(A\) iff\(B \subset A\) і\(B \neq A\).

Інші позначення.

Багато математиків використовують дещо інші позначення: вони визначають,\(A \subset B\) щоб означати, що\(A\) є належним підмножиною\(B\). Потім, щоб сказати, що\(A\) це підмножина\(B\), вони пишуть\(A \subseteq B\).

Вправа\(3.2.22\).

Заповніть кожну заготовку\(\subset\) або\(\notsubset\), якщо це доречно.

\(\{\mathrm{s}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
\(\{\mathrm{o, r}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
\(\{\mathrm{n, o, r}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
\(\{\mathrm{p, r, o, n, g}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
\(\{\mathrm{s, h, o, r, n}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
\(\varnothing_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
\(\{\varnothing\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
\(\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}_{\underline{ }}\varnothing\)

Інтуїтивно зрозуміло, що підмножина множини не може мати більше елементів, ніж початковий набір. Тобто:\[\text { If } B \subset A, \text { then } \# B \leq \# A .\]
Доведемо цей факт у Вправи\(9.1.15(2)\).

У прикладі ми доведемо\(4.5.1\), що дві множини рівні тоді і тільки тоді, коли вони є підмножинами один одного. Це основний принцип, який буде дуже важливим у наступних розділах, коли ми робимо докази з наборами:\[\text { To show two sets } A \text { and } B \text { are equal, prove } A \subset B \text { and } B \subset A \text {. }\]

Вправа\(3.2.23\).

Напишіть докази з двох стовпців, щоб обґрунтувати кожне твердження.

\(X \subset Y \Rightarrow X \subset Z, X \subset Z \Rightarrow x \in Z, x \notin Z, \quad \therefore X \not \subset Y .\)
\((x \in Y) \Rightarrow(X \subset Y),(x \in Y) \vee(Y \subset X), \quad \therefore(X \subset Y) \vee(Y \subset X) .\)

3.2D. Присудки.

Найпростіші присудки - це речі, які можна сказати про один об'єкт; вони є властивостями індивідів. Наприклад, «\(x\)це собака» і «\(x\)є шанувальником Гаррі Поттера» обидва присудки. У логіці першого порядку ми символізуємо предикати великими літерами\(A\) через\(Z\) (з індексами або без них). Таким чином, наш ключ символізації може включати в себе:

\(D(x)\):\(x\) це собака.
\(H(x)\):\(x\) є шанувальником Гаррі Поттера.

Такі присудки називаються одномісними або унарними, тому що існує тільки одна змінна. Призначення значення цій змінній дає твердження. Наприклад, дозволяючи\(x\) = «Lassie» в першому присудку дає твердження «Лессі - собака». Зауважте, що при перекладі англійських тверджень змінна не завжди буде надходити на початку твердження: «Лувр володіє хоча б однією аквареллю, намальованою\(x\)» також є присудком.

Інші присудки стосуються зв'язку між двома речами. Наприклад, в алгебрі ми маємо відносини «\(x\)дорівнює»\(y\), символізуються як\(x = y\), і «\(x\)більше\(y\), ніж» символізуються як\(x > y\). Це двомісні або двійкові предикати, тому що значення повинні бути присвоєні двом змінним, щоб зробити твердження. Наш ключ символізації може включати в себе:

\(x\) \(F\) \(y\): \(x\)є другом\(y\).
\(x\) \(L\) \(y\): \(x\)знаходиться ліворуч від\(y\).
\(x\) \(M\) \(y\): \(x\)заборгував грошима\(y\).

Загалом, ми можемо мати предикати з такою кількістю змінних, скільки нам потрібно. Присудки зі\(n\) змінними, для деякого числа\(n\), називаються\(n\) -place або\(n\) -ary. Однак на практиці предикати майже завжди мають тільки одну або дві змінні.

Ключ символізації також може включати в себе константи (тобто імена конкретних об'єктів). Наприклад, у нас може бути ключ символізації, який виглядає так:

\(H(x)\):\(x\) щоб щасливий.
\(S(x)\):\(x\) до співає.
\(x\)\(T\)\(y\):\(x\) полягає в викладанні\(y\).
\(g\): Грег
\(m\): Марія
\(v\): Віккі

Це дозволяє нам символізувати твердження, які використовують будь-яку комбінацію цих предикатів і термінів. Наприклад:

твердження	символізація
Грег щасливий.	\(H(g)\)
Якщо Марія співає, то Віккі щаслива.	\(S(m) \Rightarrow H(v)\)
Грег і Мері співають.	\(S(g) \& S(m)\)
Якщо співає або Грег, або Мері, то Віккі не радий.	\((S(g) \vee S(m)) \Rightarrow \neg H(v)\)
Мері навчає Грега.	\(m \mathrel{T} g\)
Мері не навчає Віккі.	\(\neg( m \mathrel{T} v)\)
Віккі навчає або Мері, або Грег.	\((v \mathrel{T} m) \vee (v \mathrel{T} g)\)
Якщо Марія вчить Грега, то Мері і Віккі щасливі.	\((m \mathrel{T} g) \Rightarrow \bigl( H(m) \& H(v) \bigr)\)
Або Віккі не співає, або вона не вчить Мері.	\(\bigl( \neg S(v) \bigr) \vee \neg (v \mathrel{T} m)\)
Якщо Марія співає, то Грег не навчає Віккі.	\(S(m) \Rightarrow \neg (g \mathrel{T} v )\)

Попередження.

Всякий раз, коли у вас є предикат з двома (або більше) змінними, важливо бути обережним щодо порядку, в якому відбуваються змінні. (Наприклад, говорити\(x < y\), звичайно, не те саме, що говорити\(y < x\).) Деякі спеціальні варіанти предикатів є «симетричними», що означає, що якщо предикат істинний зі змінними в одному порядку, то це вірно для тих самих змінних в іншому порядку, але цього ніколи не слід припускати. Порядок змінних завжди повинен представляти саме те, що ми знаємо.

Вправа\(3.2.24\).

Використовуючи один і той же ключ символізації, запишіть ці англійські твердження за допомогою присудків і логічних зв'язків.

\(x\)\(O\)\(y\):\(x\) старше\(y\).
\(x\)\(F\)\(y\):\(x\) є другом\(y\).
\(S\): набір всіх учнів.
\(r\): Роджер
\(s\): Сем
\(t\): Тесс

\(r\)\(O\)\(s\)
\(t\)\(O\)\(s\)
(\(r\)\(F\)\(t\))\(\Rightarrow(t \in S)\)
\(((s \in S) \&(r \in S)) \Rightarrow\)(\(s\)\(F\)\(r\))
\((t \in S) \vee\)(\(r\)\(O\)\(t\))
(\(r\)\(F\)\(s\))\(\Leftrightarrow(t \notin S)\)

Вправа\(3.2.25\).

Використовуючи той же ключ symbolizaiton, запишіть ці англійські твердження за допомогою присудків і логічних зв'язків.

Тесс старша за Роджера.
Роджер - друг Сема.
Якщо Тесс студентка, то Тесс - друг Сема.
Або Сем - студент, або Роджер - не студент.
Якщо Роджер - друг Сема, то Сем - студент.
Сем старший за Роджера тоді і тільки в тому випадку, якщо Роджер студент.
Якщо Сем і Роджер обидва студенти, то Сем не друг Роджера.

Вправа\(3.2.26\).

Використовуючи той самий ключ символізації, напишіть докази з двох стовпців, щоб обґрунтувати кожне з наступних відрахувань.

\((r \in S) \Rightarrow((r O s) \vee(r \notin S)), \quad \therefore((t \in S) \& \neg(r O s)) \Rightarrow(r \notin S)\)
Якщо або Роджер - студент, або Тесс не студентка, то Сем старший за Тесс.
Якщо Тесс - студентка, то Роджер теж студент.
\(\therefore\)Сем старший за Тесс.

3.2Е. Використання предикатів для визначення підмножин.

Підмножини виникають у повсякденному житті, коли ви хочете лише частину чогось. Наприклад, припустимо, що ви перебуваєте на кухні з великою кількістю тарілок. Якщо ви миєте посуд, то вам не хочеться віддавати всі тарілки, а тільки ті, які брудні. У математичному плані ви не хочете набір всіх пластин, а хочете лише підмножину, ті, які брудні. Тобто, якщо\(P\) являє собою набір всіх пластин, а\(D\) являє собою набір всіх брудних пластин, то\(D \subset P\).

Цей тип ситуації обробляється наступними корисними позначеннями:

Припустимо,\(A\)\(P(x)\) це множина і є присудком.
Потім\(\{a \in A \mid P(a)\}\)
позначається набір всіх елементів\(A\),\(a\) таких, що\(P(a)\) істинно.
Це підмножина\(A\).

У наведеному вище прикладі вас цікавить підмножина,\[\{p \in P \mid p \text { is dirty }\} ,\]
оскільки це набір пластин, які забруднені. Позначення говорить нам переглянути всі пластини і перевірити кожну з них\(P\), щоб побачити, чи вона брудна. Якщо це так, ми ставимо його в підмножини. Якщо він не брудний, то не ставимо його в підмножини.

Приклад\(3.2.27\).

Припустимо\(B=\{1,2,3, \ldots, 10\}\). Потім:
1. \(\{b \in B \mid b \text { is odd }\}=\{1,3,5,7,9\}\).
2. \(\{b \in B \mid b \text { is even }\}=\{2,4,6,8,10\}\).
3. \(\{b \in B \mid b \text { is prime }\}=\{2,3,5,7\}\).
4. \(\left\{b \in B \mid b^{2}-1 \text { is divisible by } 3\right\}=\{1,2,4,5,7,8,10\} \text {. }\)
5. \(\left\{b \in B \mid(b-5)^{2}>4\right\}=\{1,2,8,9,10\}\).
6. \(\{b \in B \mid 3 \leq b \leq 8 \text { and } b \text { is even }\}=\{4,6,8\} \text {. }\).
Для будь-якого\(n \in \mathbb{N}\), у нас є\(\{i \in \mathbb{N} \mid 1 \leq i \leq n\}=\{1,2,3, \ldots, n\}\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Нехай\(A = \{1,2,3,4,5\}\) і\(B = \{1,3,5,7,9\}\). Вкажіть кожен набір, перерахувавши його елементи.

\(\{a \in A \mid a \text { is even }\}=\)
\(\{b \in B \mid b \text { is even }\}=\)
\(\{a \in A \mid a \text { is odd }\}=\)
\(\{b \in B \mid b \text { is odd }\}=\)
\(\{a \in A \mid a<4\}=\)
\(\{b \in B \mid b<4\}=\)
\(\left\{a \in A \mid(a-3)^{2}=9\right\}=\)
\(\left\{b \in B \mid(b-3)^{2}=9\right\}=\)
\(\{a \in A \mid a \in B\}=\)
\(\{b \in B \mid b \in A\}=\)
\(\{a \in A \mid a \notin B\}=\)
\(\{b \in B \mid b \notin A\}=\)
\(\{a \in A \mid 2 a \in B\}=\)
\(\{b \in B \mid 2 b \in A\}=\)
\(\left\{a \in A \mid a^{2} \in B\right\}=\)
\(\left\{a \in A \mid a^{2}<0\right\}=\)

Студенти математики, як очікується, зможуть довести твердження про множини та їх підмножини. Перш ніж навести приклад цього, зазначимо, що якщо\(A\) є множиною,\(P(x)\) є присудком, а\[B = \{\, a \in A \mid P(a) \,\} ,\]
потім твердження «\(b \in B\)» логічно еквівалентно твердженню «»\((b \in A) \& P(b)\). Таким чином, на доказ:

якщо твердження, як\(b \in B\) відомо, є правдою, то ми також знаємо, що\(b \in A\) і\(P(b)\) є правдою; і
якщо твердження\(b \in A\) і\(P(b)\) обидва, як відомо, вірні, то ми також знаємо, що\(b \in B\) це правда.

У\(2\) доказі -column обґрунтуванням цих тверджень є «визначення\(B\)» або «тому що»\(B = \{\, a \in A \mid P(a) \,\}\).

Звичайно, не всі\(A\) набори називаються і\(B\), але ті ж принципи дотримуються і для наборів, названих іншими буквами.

Приклад\(3.2.29\).

Припустимо,\(X\) і\(Y\) є множинами, і нехай\(Z = \{\, y \in Y \mid y \notin X \,\}\). Покажіть, що якщо\(z \in Z\), то\(z \notin X\).

Рішення

Припустимо\(z \in Z\). Тоді, з визначення\(Z\), ми знаємо\(z \in Y\) і\(z \notin X\). Зокрема\(z \notin X\), за бажанням.

Вправа\(3.2.30\).

Припустимо\(A=\{d \in D \mid d \text { is hungry }\} .\)
1. Якщо ми це знаємо\(p \in A\), то про що ми знаємо\(p\)?
2. Якщо ми хочемо це довести\(q \in A\), то що нам потрібно показати?
Припустимо\(f(x) = x^{2}\) і\(K=\{y \in \mathbb{R} \mid f(y)>2\}\).
1. Якщо ми це знаємо\(s \in K\), то про що ми знаємо\(s\)?
2. Якщо ми хочемо це довести\(t \in K\), то що нам потрібно показати?
Припустимо\(G=\{i \in I \mid M(i)\}\), де\(M(x)\) знаходиться присудок.
1. Якщо ми це знаємо\(v \in G\), то про що ми знаємо\(v\)?
2. Якщо ми хочемо це довести\(w \in G\), то що нам потрібно показати?

Вправа\(3.2.31\).

Напишіть свої докази англійською мовою.

Припустимо,\(A\) і\(B\) є множинами, і нехай\(C = \{\, a \in A \mid a \in B\,\}\). Покажіть, що якщо\(c \in C\), то\(c \in B\).
Нехай\(A = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x = 14\,\}\). Покажіть, що якщо\(a \in A\), то\(a < 10\).

Позначення\(3.2.32\).

Говорячи про множини або використання предикатів, ми зазвичай припускаємо, що «уні-вірш дискурсу»\(\mathcal{U}\) був узгоджений. Це означає, що всі елементи всіх обговорюваних наборів приймаються як члени\(\mathcal{U}\). Тоді\[\{x \mid P(x)\}\]
може використовуватися як абревіатура для\(\{\, x \in \mathcal{U} \mid P(x) \,\}\).

Всесвіт дискурсу іноді вважається зрозумілим з контексту, але це важливе поняття, і найкраще вказати його, щоб не було місця для плутанини. Наприклад, якщо ми скажемо «Всі щасливі», хто входить в це всіх? Ми зазвичай не маємо на увазі всіх нині живих на Землі. Ми, звичайно, не маємо на увазі всіх, хто коли-небудь був живий або хто коли-небудь буде жити. Ми маємо на увазі щось більш скромне: можливо, ми маємо на увазі всіх в будівлі, або всіх в класі, а може, ми маємо на увазі всіх в кімнаті.

Конкретизація всесвіту дискурсу усуває цю неоднозначність. \(\mathcal{U}\)Це сукупність речей, про які ми говоримо. Отже, якщо ми хочемо поговорити про людей у Летбриджі, ми визначаємо, що це набір усіх людей у Летбриджі. Ми пишемо це на початку нашого символічного ключа, ось так:

\(\mathcal{U}\): набір всіх людей в Летбриджі

Все, що слід, коливається над всесвітом дискурсу. Враховуючи це\(\mathcal{U}\), «кожен» означає «кожен у Летбриджі», а «хтось» означає «хтось у Летбриджі».

Кожна постійна імена якогось члена\(\mathcal{U}\), так що, якщо\(\mathcal{U}\) це набір людей в Летбриджі, то константи Дональд, Грег і Мері можуть бути використані тільки в тому випадку, якщо ці три людини всі знаходяться в Летбриджі. Якщо ми хочемо поговорити про людей в місцях, крім Летбриджа, то нам потрібно вказати інший всесвіт дискурсу.

Приклад\(3.2.33\).

Якщо\(\mathcal{U}\) сукупність всіх канадських провінцій, то\[\{x \mid \text { the English name of } x \text { has three syllables }\}=\{\text { Alberta, New Brunswick }\} \text {. }\]

Зауваження\(3.2.34\).

Існує дуже тісний зв'язок між множинами і унарними предикатами. Загалом:

З будь-якого унарного\(P(x)\) присудка ми можемо визначити множину\[\{x \mid P(x)\} .\]
І навпаки, з будь-якої\(A\) множини, ми можемо визначити унарний\(P(x)\) присудок бути «\(x\)є членом»\(A\).

Через це множини більш-менш взаємозамінні з унарними присудками. Наприклад, присудок «\(x\)це собака» може символізуватися двома абсолютно різними способами:

Наш ключ символізації може стверджувати, що\(D(x)\) означає «\(x\)це собака».
Крім того, наш ключ символізації може дозволити\(D\) бути набором всіх собак. Тоді «\(x\)is a dog» буде перекладено як «»\(x \in D\).

Математики використовують множини набагато частіше, ніж унарні присудки. Ми побачимо в Зауваження\(4.2.1.\), що це, як правило, полегшує переклад тверджень з англійської мови на логіку першого порядку, коли задіяні квантори.