3.1: Пропозиційна логіка недостатньо

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65352

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо наступний відрахування:

Мерлін - чарівник. Всі чарівники носять смішні капелюхи.
Тому Мерлін носить смішну капелюх.

Щоб символізувати його в Propositional Logic, ми визначаємо ключ символізації:

\(W\): Мерлін - чарівник.
\(A\): Всі чарівники носять смішні капелюхи.
\(H\): Мерлін одягнений у смішну шапку.

Тепер символізуємо відрахування:

Гіпотези:

\(W\)
\(A\)

Висновок:\(H\)

Це не є дійсним у логіці пропозицій. (Якщо\(W\) і\(A\) є істинними, але\(H\) помилковими, то очевидно, що обидві гіпотези вірні, але висновок помилковий.) Тут щось дуже не так, тому що вирахування, яке було написано англійською мовою, явно дійсний.

Проблема полягає в тому, що символізація цього вирахування в Propositional Logic залишає частину важливої структури: твердження «Всі чарівники носять смішні капелюхи» стосується як чарівників, так і про носіння капелюхів, але Propositional Logic не в змозі зафіксувати цю інформацію: вона втрачає зв'язок між Мерліна будучи чарівником і Мерлін носить капелюх. Однак проблема не в тому, що ми допустили помилку, символізуючи відрахування; це найкраща символізація, яку ми можемо дати для цього відрахування в логіці пропозиції.

Для того щоб правильно символізувати цей відрахування, нам потрібно використовувати більш потужний логічний мову. Ця мова називається логікою першого порядку, а її твердження будуються з «предикатів» і «квантифікаторів».

Присудок - це такий вислів, як «_______ носить смішну шапку». Це не твердження само по собі, оскільки воно не є ні правдою, ні помилковим, поки ми не заповнимо бланк, щоб вказати, хто саме, що ми стверджуємо, носить смішну шапку.

Деталі цього будуть пояснені в Розділі\(3.2D\), але ось основна ідея: У логіці першого порядку ми будемо представляти предикати великими літерами. Наприклад, ми могли б дозволити\(H\) стояти за «_______ носить смішну шапку». Однак ми будемо використовувати змінні замість пропусків; так\(x\) що «носить смішний капелюх» - це присудок, і ми могли б представляти його як\(H(x)\).

Слова «все» і «деякі» є кванторами, і у нас будуть символи, які їх представляють. Наприклад, «\(\exists\)» означатиме «існує якийсь ______, такий, що». Таким чином, сказати, що хтось носить смішну шапку, ми можемо написати\(\exists x ,H(x)\); тобто: Існує така\(x\), яка\(x\) носить смішну шапку. Квантори будуть розглянуті в розділі\(4\), коли логіка першого порядку буде повністю пояснена.

З предикатами та квантифікаторами ми будемо говорити про багатьох людей (або інших речей) відразу, а не про один за раз. Наприклад, ми можемо поговорити про «людей, які носять капелюхи», або «ссавців, які відкладають яйце». Це приклади наборів.