1.9: Деякі дійсні відрахування

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65167

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо, що відрахування дійсний, якщо його висновок вірний у всіх ситуаціях, коли всі його гіпотези вірні. Це означає, що для кожного можливого призначення true/false змінним, якщо всі гіпотези вірні, то висновок також вірний.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Поясніть, як ви знаєте, що наступний відрахування дійсний. \[A \lor B, \quad \lnot A, \quad \therefore \ B .\]

Рішення

Припустимо, ми перебуваємо в ситуації, в якій обидві гіпотези вирахування вірні. Тоді, з першої гіпотези, ми знаємо, що або\(A\) правда, або\(B\) є правдою. Однак з другої гіпотези ми знаємо, що\(A\) це неправда. Тому це повинно бути\(B\) так. Значить, висновок відрахування вірний.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Дайте відповідь на кожне з наведених нижче питань і обґрунтуйте свою відповідь.

Припустимо,\(({A}\&{B})\Rightarrow{C}\) це ні тавтологія, ні протиріччя. Що можна сказати про відрахування «\(A\)\(B\),\(\therefore C\)»?
Припустимо,\(A\) це протиріччя. Що можна сказати про відрахування «\(A\)\(B\),\(\therefore C\)»?
Припустимо,\(C\) це тавтологія. Що можна сказати про відрахування «\(A\)\(B\),\(\therefore C\)»?

Інша термінологія\(1.9.3\).

Будь-яке дійсне вирахування можна назвати теоремою.

Вправа\(1.9.4\). (Rules of Propositional Logic).

Неважко помітити, що кожне з перерахованих нижче є дійсним відрахуванням. Для кожного з них або дайте коротке пояснення того, як ви знаєте, що воно дійсне, або перевірте дедукцію, оцінивши висновок для всіх можливих значень змінних, які роблять гіпотези правдивими.


1.	Повторити	\(\mathit{A},\enspace \therefore \mathit{A}\)
2.	&-Вступ	\(\mathit{A, B}, \enspace \therefore \mathit{A}\& \mathit{B}\)
3.	&-Ліквідація	\(\mathit{A} \& \mathit{B}, \enspace \therefore\mathit{A} \quad \mathit{A} \& \mathit{B}, \enspace \therefore\mathit{B}\)
4.	\(\lor\)-Вступ	\(\mathit{A}, \enspace \therefore \mathit{A}\lor\mathit{B} \quad \mathit{B}, \enspace \therefore \mathit{A}\lor\mathit{B}\)
5.	\(\lor\)-Ліквідація	\(\mathit{A}\lor\mathit{B},\lnot\mathit{A}, \enspace\therefore\mathit{B} \quad \mathit{A}\lor\mathit{B},\lnot\mathit{B}, \enspace\therefore\mathit{A}\)
6.	\(\Rightarrow\)-Ліквідація	\(\mathit{A}\Rightarrow\mathit{B}, \enspace\mathit{A}, \enspace\therefore\mathit{B}\)
7.	\(\Leftrightarrow\)-Вступ	\(\mathit{A}\Rightarrow\mathit{B}, \enspace\mathit{B}\Rightarrow\mathit{A}, \enspace\therefore\mathit{A}\Leftrightarrow\mathit{B}\)
8.	\(\Leftrightarrow\)-Ліквідація	\(\mathit{A}\Leftrightarrow\mathit{B}, \enspace\therefore\mathit{A}\Rightarrow\mathit{B} \quad\mathit{A}\Leftrightarrow\mathit{B}, \enspace\therefore\mathit{B}\Rightarrow\mathit{A}\)
9.	Доказ у справах	\(\mathit{A}\lor\mathit{B}, \enspace\mathit{A}\Rightarrow\mathit{C}, \enspace\mathit{B}\Rightarrow\mathit{C}, \enspace\therefore\mathit{C}\)

Всі теореми в Вправи\(1.9.4\). будуть використовуватися на регулярній основі в наступних розділах (і в ваших пізніших курсах математики).

Інша термінологія.

Більшість логіків називають правило\(\Rightarrow\) -елімінації латинською назвою, яке є Modus Ponens. (Згідно з Вікіпедією, це скорочення від modus ponendo ponens, що означає «спосіб, який підтверджується підтвердженням».)

Зауваження\(1.9.5\).

Теорема залишається дійсною, якщо ми змінюємо імена змінних. Наприклад,\(P \lor Q\), це те ж\(Q\) саме\(\lnot P\), що і\(\lor\) -elimination, але ми замінили на\(P\) і\(A\)\(B\) з\(Q\). (Мовою алгебри середньої школи ми підключили\(P\) для\(A\), і підключили\(Q\) для\(B\).) Дійсно, повинно бути зрозуміло, що будь-яка теорема залишається дійсною, навіть якщо ми підставляємо більш складні вирази в змінні.

Приклад\(1.9.6\)

Теорема\[(X \lor Y) \Rightarrow (Y \lor Z), \ X \lor Y, \ \therefore Y \lor Z\]
отримується з «\(\Rightarrow\)-елімінації», шляхом дозволу\(A = (X \lor Y)\) і\(B = (Y \lor Z)\).

Вправа\(1.9.7\)

Кожен з наступних є дійсною теоремою, яка отримується з однієї з основних теорем у Вправи\(1.9.4\), шляхом підстановки деяких виразів у змінні. Визначте теорему, з якої вона отримана, і вирази, які були замінені в кожну змінну.

\((A \lor B) \& (Y \Rightarrow Z), \ \therefore Y \Rightarrow Z\)
\((A \lor B) \& (Y \Rightarrow Z), \ \therefore (A \lor B) \& (Y \Rightarrow Z)\)
\(A \lor B, \ \therefore (A \lor B) \lor (Y \Rightarrow Z)\)
\((A \lor B), (Y \Rightarrow Z), \ \therefore (A \lor B) \& (Y \Rightarrow Z)\)

Вправа\(1.9.8\).

Кожен з наступних є англомовною версією дійсної теореми, яка виходить з однієї з основних теорем таблиці 1.9.1, шляхом підстановки деяких виразів в змінні. Визначте теорему, з якої вона отримана.

Сьюзі зупиниться або в продуктовому магазині, або в аптеці. Якщо вона зупиниться в продуктовому магазині, то придбає молоко. Якщо вона зупиниться в аптеці, то придбає молоко. Тому я впевнена, що Сьюзі буде купувати молоко.
Мій опонент на цих виборах - брехун! Мій опонент на цих виборах - це шахрай! Тому кажу вам, що мій опонент - брехун і обманщик!
Джон пішов в магазин. Тому, як я вже говорив вам, Джон пішов в магазин.
Якби у мене було 50 доларів, я б змогла купити нове пальто. Гей, дивись! Я знайшов купюру в 50 доларів на тротуарі! Так що я зможу купити нове пальто.