Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.8: Зворотний і контрапозитивний

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65146

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Зворотне імплікації\({A} \Rightarrow {B}\) є наслідком\({B} \Rightarrow {A}\). Наприклад, зворотне слово «якщо Боб платить касиру долар, то сервер дає Бобу конус морозива» - «якщо сервер дає Бобу морозиво, то Боб платить касиру долар». Повинно бути зрозуміло, що це не говорить одне і те ж. (Наприклад, можливо, у Боба є купон на вільний конус.) Це ілюструє той факт, що зворотне твердження, як правило, логічно не еквівалентно оригінальному твердженню. Іншими словами (як було згадано в розділі 1.4), сполучна не\(\Rightarrow\) є комутативною:

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Покажіть,\(A\Rightarrow B\) що логічно не еквівалентно його зворотному\(B \Rightarrow A\).

    Те, що обернено наслідком\({A} \Rightarrow {B}\), є наслідком\(\lnot{A} \Rightarrow \lnot{B}\). Наприклад, зворотне «якщо Боб платить касі долар, то сервер дає Бобу конус морозива» - «якщо Боб не платить касиру долар, то сервер не дає Бобу конус морозива». Повинно бути зрозуміло, що вони не говорять одне і те ж (тому що одне твердження стосується того, що станеться, якщо Боб заплатить долар, а інше - про зовсім іншу ситуацію, в якій Боб не платить ні долара). Це ілюструє той факт, що зворотне твердження, як правило, логічно не еквівалентно оригінальному твердженню:

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Покажіть,\(A\Rightarrow B\) що логічно не еквівалентно його зворотному\(\lnot A \Rightarrow \lnot B\).

    Контрапозитив імплікації - це зворотне його зворотне (або зворотне його зворотне, що становить одне і те ж). Тобто,

    \[\text{ the contrapositive of } A\Rightarrow B\text{ is the implication }\lnot B\Rightarrow\lnot A\]

    Наприклад, контрапозитив «якщо Боб платить касиру долар, то сервер дає Бобу конус морозива» - «якщо сервер не дає Бобу конус морозива, то Боб не платить касиру долар». Трохи думки повинні переконати вас, що вони говорять те саме. Це ілюструє наступний важливий факт:

    \[\text{Any implication is logically equivalent to its contrapositive.}\]

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Покажіть,\(A\Rightarrow B\) що логічно еквівалентно його контрапозитиву\(\lnot B \Rightarrow \lnot A\).

    Зауваження\(1.8.4\).

    Зворотне не буде важливим для нас, хоча зворотне і контрапозитивне є фундаментальними. Однак, можливо, варто згадати, що зворотне є контрапозитивним зворотним, а тому зворотне і зворотне логічно еквівалентні один одному.

    Попередження.

    Наслідки (тобто ті, що мають форму\({A} \Rightarrow {B}\)) - це єдині твердження, які мають зворотне або контрапозитивне. Наприклад, зворотного слова «Я ненавиджу сир» не існує, тому що це твердження не є твердженням if-then.

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Стан (а) зворотний і (б) контрапозитив кожного імплікації. (Не потрібно показувати свою роботу. )

    1. Якщо учні приходять на заняття, то викладач читає лекції.
    2. Якщо йде дощ, то я ношу парасольку.
    3. Якщо мені доводиться ходити до школи сьогодні вранці, то сьогодні будній день.
    4. Якщо ви дасте мені 5 доларів, я можу відвезти вас до аеропорту.
    5. Якщо Могутні Качки - найкраща хокейна команда, то свині можуть літати.
    6. Альберта - провінція.
    7. Якщо ви хочете зробити добре в своєму класі математики, то вам потрібно зробити всі домашні завдання.