1.4: З'єднання

Логічні зв'язки використовуються для побудови складних тверджень з більш простих частин. У логіці пропозиції є п'ять логічних зв'язків. Ця таблиця їх узагальнює, і вони пояснюються нижче.

символ	прізвисько	що це означає
\(\lnot\)	не	«Це не так, що ______»
\(\&\)	і	«І ______, і ______»
\(\lor\)	або	«Або ______ або ______»
\(\Rightarrow\)	мається на увазі	«Якщо ______ то ______»
\(\Leftrightarrow\)	іфф	«______ якщо і тільки якщо ______»

Зауваження\(1.4.1\).

Коли ми навчимося писати докази, важливо буде мати можливість виробляти дедукцію в логіці пропозицій з послідовності тверджень англійською мовою. Також важливо буде мати можливість отримати англійське значення з послідовності тверджень у логіці пропозиції, з урахуванням ключа символізації. Наведена вище таблиця повинна виявитися корисною в обох цих завданнях.

1.4A. Чи не\((\lnot)\).

Як приклад розглянемо, як ми можемо символізувати ці твердження:

1. Мері в Барселоні.
2. Мері не в Барселоні.
3. Мері десь інше, ніж Барселона.

Для того щоб символізувати Assertion 1, нам знадобиться одна буква. Ми можемо надати ключ символізації:

\(B\): Мері в Барселоні.

Зверніть увагу, що тут ми даємо\(B\) іншу інтерпретацію, ніж ми робили в попередньому розділі. Ключ символізації визначає лише те, що\(B\) означає у певному контексті. Життєво важливо, щоб ми продовжували використовувати це значення до тих\(B\) пір, поки ми говоримо про Марію та Барселону. Пізніше, коли ми символізуємо різні твердження, ми можемо написати новий ключ символізації і використовувати,\(B\) щоб означати щось інше.

Тепер, твердження 1 просто\(B\).

Оскільки твердження 2, очевидно, пов'язане з твердженням 1, ми не хочемо вводити іншу букву для її представлення. Якщо говорити частково англійською мовою, твердження означає «Це не так»\(B\). Коротше кажучи, логіки кажуть «Ні»\(B\). Це називається логічним запереченням\(B\). Для того, щоб повністю перетворити його в символи, ми будемо використовувати «\(\lnot\)» для позначення логічного заперечення. Тоді ми можемо символізувати «Не\(B\)» як\(\lnot B\).

Твердження 3 про те, чи є Марія в Барселоні, але вона не містить слова «ні». Тим не менш, вони обидва означають «Це не так, що Мері знаходиться в Барселоні». Таким чином, ми можемо перевести як твердження 2, так і твердження 3 як\(\lnot B\). \[\text{An assertion can be symbolized as \(\lnot A\) if it can be paraphrased in English as "It is not the case that \(A\)''}\]

Розглянемо наступні приклади:

4. Віджет можна замінити, якщо він зламається.
5. Віджет незамінний.
6. Віджет не незамінний.

Якщо ми дозволимо\(R\) означати «Віджет є змінним», то твердження 4 можна перекласти як\(R\).

А як щодо твердження 5? Сказати віджет незамінний означає, що це не той випадок, що віджет є змінним. Таким чином, незважаючи на те, що твердження 5 не є негативним в англійській мові, ми символізуємо його, використовуючи заперечення як\(\lnot{R}\).

Твердження 6 можна перефразувати як «Це не так, що віджет незамінний». Тепер, як ми вже обговорювали, «Віджет незамінний» можна символізувати як «»\(\lnot R\). Тому твердження 6, можна сформулювати як «це не так»\(\lnot R\). Отже, це заперечення\(\lnot R\), тому його можна символізувати як\(\lnot \lnot R\). Це подвійне заперечення. (Однак, якщо ви думаєте про твердження англійською мовою, це ще один спосіб сказати те ж саме, що і Assertion 4. Загалом, ми побачимо, що якщо\(A\) будь-яке твердження, то\(A\) і\(\lnot\lnot A\) є «логічно рівнозначними».)

Ще приклади:

7. Елліотт короткий.
8. Елліотт високий.

Якщо ми дозволимо\(S\) означати «Елліот короткий», то ми можемо символізувати Assertion 7 як\(S\).

Однак було б помилкою символізувати Assertion 8 як\(\lnot{S}\). Якщо Елліотт високий, то він не короткий, але твердження 8 не означає те ж саме, що «Це не так, що Елліотт короткий». Можливо, він не високий, але і він не короткий: можливо, він десь між ними (середній зріст). Для того, щоб символізувати Assertion 8, нам знадобиться новий лист твердження.

Для будь-якого твердження\(A\):

• Якщо\(A\) істинно, то\(\lnot{A}\) є помилковим.
• Якщо\(\lnot{A}\) істинно, то\(A\) є помилковим.

Використовуючи «\(\mathsf{T}\)» для істинного і «\(\mathsf{F}\)» для помилкового, ми можемо підсумувати це в таблиці істинності для заперечення:\ [\ begin {масив} {c||c}
\ mathcal {A} &\ neg
\ mathcal {A}\\ mathrm {T} &\ mathrm {F}
\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\ кінець {масив}\]

Вправа\(1.4.2\).

Використовуючи заданий ключ символізації, перекладіть кожне англомовне твердження на.

\(M\): Ці істоти - чоловіки в костюмах.
\(C\): Ті істоти - шимпанзе.
\(G\): Ці істоти є горили.

1. Ці істоти не чоловіки в костюмах.
2. Це не так, що ці істоти не є горилами.
3. Звичайно, ці істоти не шимпанзе!

Вправа\(1.4.3\).

Використовуючи один і той же ключ символізації, перекладіть кожне символічне твердження на англійську мову:

1. \(G\)
2. \(\lnot M\)
3. \(\lnot\lnot C\)

1.4Б. І\((\&)\).

Розглянемо ці твердження:

9. Адам атлетичний.
10. Барбара атлетична.
11. Адам атлетичний, а Барбара також атлетична.

Нам знадобляться окремі літери твердження для тверджень 9 і 10, тому ми визначаємо цей ключ символізації:

\(A\): Адам спортивний.
\(B\): Барбара атлетична.

Твердження 9 може бути символізовано як\(A\).

Твердження 10 може бути символізовано як\(B\).

Твердження 11 можна перефразувати як «\(A\)і\(B\)» Для того, щоб повністю символізувати це твердження, нам потрібен інший символ. Ми будемо використовувати «\(\&\).» Переводимо «\(A\)і\(B\)» як\(A\& B\). Ми будемо називати це сполучним «і» (але багато логіків називають це кон'юнкцією).

Зверніть увагу, що ми не робимо жодної спроби символізувати «також» в Assertion 11. Такі слова, як «обидва» і «також» функціонують, щоб привернути нашу увагу до того, що дві речі поєднуються. Вони не роблять жодної подальшої логічної роботи, тому нам не потрібно представляти їх у Propositional Logic.

Ще кілька прикладів:

12. Барбара атлетична і енергійна.
13. Барбара і Адам обидва атлетичні.
14. Хоча Барбара енергійна, вона не атлетична.
15. Барбара атлетична, але Адам більш атлетичний, ніж вона.

Твердження 12, очевидно, є сполучником. Твердження говорить про Барбару дві речі, тому в англійській мові допустимо посилатися на Барбару лише один раз. Можливо, буде спокусливо спробувати це при перекладі дедукції: Оскільки\(B\) означає «Барбара атлетична», можна перефразувати твердження як «\(B\)і енергійний». Це було б помилкою. Як тільки ми перекладаємо частину твердження як\(B\), будь-яка подальша структура втрачається. \(B\)є атомним твердженням; це не що інше, як істинне чи хибне. І навпаки, «енергійний» - це не твердження; само по собі воно не є ні істинним, ні помилковим. Ми повинні замість цього перефразувати твердження як «\(B\)і Барбара енергійна». Тепер нам потрібно додати букву твердження до ключа символізації. Нехай\(E\) означатиме «Барбара енергійна». Тепер твердження можна перекласти як\(B\& E\). \[\text{An assertion can be symbolized as \(A \& B\) if it can be paraphrased in English as "both A, and B"}\]

Твердження 13 говорить одне про дві різні теми. Це говорить як про Барбару, так і про Адама, що вони атлетичні, і в англійській мові ми використовуємо слово «атлетичний» лише один раз. У перекладі на Propositional Logic, важливо розуміти, що твердження можна перефразувати як: «Барбара атлетична, а Адам - атлетичний». Таким чином, це перекладається як\(B\& A\).

Твердження 14 трохи складніше. Слово «хоча» встановлює контраст між першою частиною твердження і другою частиною. Тим не менш, твердження говорить і про те, що Барбара енергійна і що вона не атлетична. Для того, щоб перетворити другу частину в атомне твердження, нам потрібно замінити «вона» на «Барбара».

Тож ми можемо перефразувати твердження 14 як: «Обидві Барбара енергійна, а Барбара не атлетична». Друга частина містить заперечення, тому ми перефразовуємо далі: «Обидві Барбара енергійна, і це не так, що Барбара атлетична». Це перекладається як\(E\&\lnot B\).

Твердження 15 містить аналогічну контрастну структуру. Це не має значення для перекладу на логіку пропозиції, тому ми можемо перефразувати твердження як «Обидві Барбара атлетична, а Адам більш атлетичний, ніж Барбара». (Зверніть увагу, що займенник «вона» ми в черговий раз замінюємо її ім'ям.) Як ми повинні перекласти другу частину? У нас вже є лист твердження,\(A\) який стосується атлетики Адама, і\(B\) який стосується атлетики Барбари, але ні про те, що один з них не є більш спортивним, ніж інший. Нам потрібен новий лист твердження. Нехай\(M\) означатиме «Адам більш атлетичний, ніж Барбара». Тепер твердження перекладається як\(B\& M\). \[\text{Assertions that can be paraphrased "\(A\), but \(B\)" or "Although \(A\), \(B\)" are best symbolized using "and": \(A \& B\).}\]

Важливо мати на увазі, що букви твердження\(A\)\(B\), і\(M\) є атомними твердженнями. Розглядаються як символи Пропозиційної логіки, вони не мають ніякого значення, крім того, щоб бути істинними чи хибними. Ми використовували їх, щоб символізувати різні твердження англійської мови, які стосуються людей, які є спортивними, але ця схожість повністю втрачається, коли ми перекладаємо. Жодна формальна мова не може охопити всю структуру англійської мови, але поки ця структура не важлива для вирахування, нічого не втрачено, залишивши її поза увагою.

За будь-які твердження\(A\) і\(B\),

\[\text{\(A \& B\) is true if and only if both \(A\) and \(B\) are true}\]

Ми можемо підсумувати це в таблиці істинності для «і»:\ [\ begin {масив}
{c|c||c}\ mathcal {A} &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}
\ &\ mathcal {B}\\ hline\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} m {T} &\ математика {F} &\ математика {F}\\
\ mathrm {F} &\ математика {T} &\ mathrm {F}\
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}
\ end {масив}\]

Вправа\(1.4.4\).

Використовуючи заданий ключ символізації, перекладіть кожне англомовне твердження в Propositional Logic.

E ₁: Ава - електрик.
E ₂: Харрісон - електрик.
F ₁: Ава - пожежник.
F ₂: Гаррісон - пожежник.
S ₁: Ава задоволена своєю кар'єрою.
S ₂: Харрісон задоволений своєю кар'єрою.

1. Ава і Харрісон обидва електрики.
2. Гаррісон - незадоволений електрик.
3. Ні Ава, ні Харрісон не електрик.
4. І Ава, і Харрісон електрики, але жоден з них не вважає це задовольняючим.
5. Не може бути, що Гаррісон є і електриком, і пожежником.
6. Ава не є ні електриком, ні пожежником.

Вправа\(1.4.5\).

Використовуючи заданий ключ символізації, перекладіть кожне символічне твердження на англійську мову.

\(J\): Ромео любить Джульєтту.
\(M\): Меркутіо любить Джульєтту.
\(T\): Ромео любить Тибальта.

1. \(M \& J\)
2. \(J \& \lnot T\)
3. \(\lnot M \& J\)

1.4C. Або\((\lor)\).

Розглянемо ці твердження:

16. Або Денісон буде грати зі мною в гольф, або він буде дивитися фільми.
17. Або Денісон, або Ellery буде грати зі мною в гольф.

Для цих тверджень ми можемо використовувати цей ключ символізації:

\(D\): Денісон буде грати зі мною в гольф.
\(E\): Ellery буде грати зі мною в гольф.
\(M\): Денісон буде дивитися фільми.

Твердження 16 - «Або\(D\) або»\(M\). Щоб повністю символізувати це, вводимо новий символ. Твердження стає\(D \lor M\). Ми будемо називати це сполучним «або» (але багато логіків називають це диз'юнкція).

Твердження 17 лише трохи складніше. Є два суб'єкти, але англійське твердження дає дієслово лише один раз. У перекладі ми можемо перефразувати це як. «Або Денісон буде грати в гольф зі мною, або Ellery буде грати в гольф зі мною». Тепер це, очевидно, перекладається як\(D \lor E\). \[\text{An assertion can be symbolized as \(A \lor B\) if it can be paraphrased in English as "Either \(A\), or \(B\)"}\]

Іноді в англійській мові слово «або» виключає можливість того, що обидва диз'юнкти вірні. Це називається ексклюзивним або. Ексклюзивний або явно призначений, коли в меню ресторану написано: «Закуски приходять з супом або салатом». У вас може бути суп; у вас може бути салат; але, якщо ви хочете і суп, і салат, то вам доведеться доплатити.

В інший час слово «або» дозволяє можливість того, що обидва диз'юнкти можуть бути правдивими. Ймовірно, це стосується Assertion 17, вище. Я міг би грати з Денісоном, з Еллері, або як з Денісоном, так і з Еллері. просто говорить, що я буду грати принаймні з одним з них. Це називається інклюзивним або.

Символ «\(\lor'\)'являє собою інклюзивне або. Так\(D \lor E\) істинно, якщо\(D\) правда, якщо\(E\) правда, або якщо обидва\(D\) і\(E\) є істинними. Це помилково, тільки якщо обидва\(D\) і\(E\) є помилковими. Ми можемо підсумувати це таблицею істинності для «або»:\ [\ begin {масив} {c|c||c}
\ mathcal {A} &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ vee\ mathcal {B}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\ mathrm {T} Therm {T} &\ матрм {F} &\ mathrm {T}\\

\ mathrm {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T}\
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}
\ end {масив}\]

Як і «і» сполучна «або» комутативна:\({A}\lor{B}\) логічно еквівалентна\({B}\lor{A}\) (див. Вправа\(1.7.5(2)\)). \[\text{In mathematical writing, "or" always means inclusive or}\]

Ці твердження дещо складніше:

18. Або у вас не буде супу, або салату у вас не буде.
19. У вас не буде ні супу, ні салату.
20. У вас виходить або суп, або салат, але не обидва.

Ми маємо на\(S_1\) увазі, що ви отримуєте суп і\(S_2\) означає, що ви отримаєте салат.

Твердження 18 можна перефразувати таким чином: «Або це не так, що ви отримуєте суп, або це не так, що ви отримуєте салат». Переклад цього вимагає як «або», так і «ні». Це стає\(\lnot S_1 \lor \lnot S_2\).

Твердження 19 також вимагає заперечення. Це можна перефразувати як: «Це не так, що або ви отримуєте суп, або ви отримаєте салат». Ми використовуємо дужки, щоб вказати, що «не» заперечує все твердження\(S_1 \lor S_2\), а не просто\(S_1\) або\(S_2\): «Це не так»\((S_1 \lor S_2)\). Це стає просто\(\lnot (S_1 \lor S_2)\).

Зверніть увагу, що круглі дужки роблять важливу роботу тут. Твердження\(\lnot S_1 \lor S_2\) означало б «Або у вас не буде супу, або у вас буде салат».

Твердження 20 є ексклюзивним або. Ми можемо розбити твердження на дві частини. Перша частина говорить про те, що ви отримуєте ту чи іншу. Переводимо це як\((S_1 \lor S_2)\). Друга частина говорить про те, що у вас не виходить і те, і інше. Ми можемо перефразувати це так: «Це не так, що ви обидва отримуєте суп і отримуєте салат». Використовуючи як «не», так і «і», ми перекладаємо це як\(\lnot(S_1 \& S_2)\). Тепер нам просто потрібно скласти дві частини разом. Як ми бачили вище, «але» зазвичай можна перекласти як «і». Таким чином, твердження 20 можна перекласти як\((S_1 \lor S_2) \& \lnot(S_1 \& S_2)\).

Хоча «\(\lor'\)'є інклюзивним або, попередній абзац ілюструє, що ми можемо символізувати ексклюзивну або в логіці пропозиції. Нам просто потрібно більше одного сполучного, щоб зробити це.

Вправа\(1.4.6\).

Використовуючи заданий ключ символізації, перекладіть кожне англомовне твердження в Propositional Logic.

\(M\): Ці істоти - чоловіки в костюмах.
\(C\): Ті істоти - шимпанзе.
\(G\): Ці істоти є горили.

1. Ці істоти - чоловіки в костюмах, або вони не є.
2. Ці істоти або горили, або шимпанзе.
3. Або ці істоти шимпанзе, або вони не горили.

Вправа\(1.4.7\).

Дайте ключ символізації та символізуйте наступні твердження в логіці пропозиції.

1. Або Аліса, або Боб - шпигун, але не обидва.
2. Або Боб - шпигун, або справа в тому, що код був порушений, і посольство Німеччини перебуває в бешенстві.
3. Або код був зламаний, або він ні, але посольство Німеччини перебуває в бешенстві незалежно.
4. Аліса може бути шпигуном, а може і не бути, але код був зламаний в будь-якому випадку.

Вправа\(1.4.8\).

Використовуючи заданий ключ символізації, перекладіть кожне твердження на англійську мову.

Дж: Ромео любить Джульєтту.
М: Меркутіо любить Джульєтту.
Т: Ромео любить Тибальта.

1. \(M \lor T\)
2. \(T \lor (\lnot J \& M)\)
3. \(\lnot (M \lor J) \& \lnot T\)

1.4Д. Має на увазі\((\Rightarrow)\).

Для наступних тверджень нехай\(R\) означають «Ви переріжете червоний дріт» і\(B\) означають «бомба вибухне».

21. Якщо перерізати червоний дріт, то бомба вибухне.
22. Бомба вибухне, якщо перерізати червоний дріт.
23. Бомба вибухне тільки в тому випадку, якщо перерізати червоний дріт.

Твердження 21 можна перекласти частково як «Якщо\(R\), то»\(B\). Ми можемо перефразувати це як «\(R\)означає»\(B\). Ми будемо використовувати символ «\(\Rightarrow\)» для представлення «має на увазі»: твердження стає\(R\Rightarrow B\). Ми називаємо це сполучним «має на увазі» або «якщо-то» (але багато логіків називають це умовним). Твердження з лівого боку (\(R\)в даному прикладі) називається гіпотезою, а твердження з правого боку (\(B\)) називається висновком.

Твердження 22 говорить нам, що якщо перерізати червоний дріт, то бомба вибухне. Таким чином, це логічно еквівалентно Assertion 21, тому його можна символізувати як\(R \Rightarrow B\).

Твердження 23 - це також умовне твердження, яке говорить нам, що щось має бути правдою, якщо щось інше вірно. Оскільки слово «якщо» з'являється у другій половині твердження, може бути спокусливо символізувати це так само, як твердження 21 і 22. Це було б помилкою.

Підтекст\(R\Rightarrow B\) говорить, що якби\(R\) були правдою, то також\(B\) було б правдою. Це не говорить про те, що ваше різання червоного дроту є єдиним способом, щоб бомба могла вибухнути. Хтось інший може перерізати дріт, або бомба може бути на таймері. Твердження нічого\(R\Rightarrow B\) не говорить про те, чого очікувати, якщо\(R\) помилково. Твердження 3 буває різним. Він говорить, що єдині умови, за яких бомба вибухне, пов'язані з тим, що ви перерізали червоний дріт; тобто, якщо бомба вибухає, то ви повинні були перерізати дріт. Таким чином, Assertion 3 слід символізувати як\(B \Rightarrow R\).

Зауваження\(1.4.9\).

Перефразоване твердження «\(A\)тільки якщо\(B\)» логічно еквівалентно «Якщо\(A\), то»\(B\).

«Якщо\(A\), то\(B\)» означає, що якщо\(A\) правда, то так і є\(B\). Отже, ми знаємо, що якщо гіпотеза істинна, але висновок помилковий, то підтекст «Якщо\(A\), то\(B\)» помилковий. (Наприклад, якщо ви перерізали червоний дріт, але бомба не вибухає, то Assertion 21 явно помилково.) Розглянемо тепер інші можливі ситуації, і визначимо, правда твердження «Якщо\(A\), то\(B\)» чи ні.

• Припустимо, наприклад, що ви не перерізаєте червоний дріт. Тоді Assertion 21 - це не брехня, вибухає бомба чи ні, тому що твердження нічого не обіцяє в даному випадку. Таким чином, ми вважаємо Assertion 21 вірним у цьому випадку. Загалом, якщо\({A}\) помилково, то імплікація «\({A} \Rightarrow {B}\)» істинно. (Неважливо,\({B}\) правда чи ні.)
• Єдиний випадок, що залишився, щоб розглянути, коли ви перерізали червоний дріт і бомба дійсно вибухає. У цьому випадку твердження 21 говорило правду. Загалом, якщо\({A}\) і\({B}\) є істинними, то підтекст «\({A} \Rightarrow {B}\)» істинний. \[\text{A \(\Rightarrow\) B is true unless A is true and B is false. In that case, the implication is false.}\]

Ми можемо підсумувати це таблицею істинності для «має на увазі». \ [\ почати {масив} {c|c||c}
\ математична {A} &\ математична {B} &\ математична {A}\ Стрілка вправо\ математична {B}
\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T}\\ mathrm {T} &\ математика {F}\
\\ математика {F} &\ математика {T} &\ математика {T}\\
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\ end {масив}\]

Зауваження\(1.4.10\).

Логіка студентів іноді бентежить той факт, що\({A}\Rightarrow {B}\) це правда, коли\({A}\) є помилковим, але насправді це цілком природно. Наприклад, припустимо, що вчитель обіцяє: «Якщо ви виконаєте всі домашні завдання, то ви пройдете курс». Студент, який не виконує всі домашні завдання, не може звинуватити вчителя у фальші, незалежно від того, проходить він курс чи ні.

Також люди часто використовують цей принцип, коли говорять саркастично. Прикладом може служити твердження: «Якщо Руді кращий гравець в команді, то свині можуть літати». Ми всі знаємо, що свині не можуть літати, але, логічно, твердження вірне до тих пір, поки Руді не найкращий гравець у команді.

Попередження.

Сполучне «передбачає» не комутативне: ви не можете поміняти гіпотезу та висновок, не змінюючи значення твердження, тому що легко знайти ситуацію, в якій\({A}\Rightarrow{B}\) є правдивою, але\({B}\Rightarrow{A}\) помилковою. (А саме, припустимо, є помилковим і є істинним.)

Повернемося до прикладу, з якого ми почали наше обговорення «»\(\Rightarrow\), в якому\(R\) є твердження «Ти переріжеш червоний дріт», і\(B\) означає «бомба вибухне». Існує багато різних способів сказати англійською\(R \Rightarrow B\) мовою. Ось деякі способи; всі вони означають одне і те ж!

• Якщо перерізати червоний дріт, то бомба вибухне.
• Ви розрізаєте червоний дріт означає, що бомба вибухне.
• За будь-яких обставин, при яких ви перерізаєте червоний дріт, бомба вибухне.
• Всякий раз, коли ви перерізаєте червоний дріт, бомба вибухне.
• Бомба вибухне щоразу, коли ви перерізаєте червоний дріт.
• Вибухає бомба є необхідним наслідком того, що ви перерізуєте червоний дріт.
• Вам ріжучий червоний дріт досить для того, щоб бомба вибухнула.
• Ви ріжете червоний дріт гарантує, що бомба вибухне.
• Ви перерізуєте червоний дріт тільки в тому випадку, якщо бомба вибухне.
• Якщо бомба не вибухне, ви не повинні були перерізати червоний дріт.
• Або ви не будете перерізати червоний дріт, або бомба вибухне.

Вправа\(1.4.11\).

Використовуючи заданий ключ символізації, перекладіть кожне англомовне твердження в Propositional Logic.

\(A\): Містер Ейс був убитий.
\(B\): Дворецький скоїв вбивство.
\(C\): Кухар вчинив вбивство.
\(D\): Герцогиня бреше.
\(E\): Містер Едж був убитий.
\(F\): Знаряддям вбивства була сковорода.

1. Якщо містер Ейс був убитий, то кухар зробив це.
2. Якщо містер Едж був убитий, то кухар цього не робив.
3. Якщо знаряддям вбивства була сковорода, то винуватцем, мабуть, був кухар.
4. Якщо знаряддям вбивства була не сковорода, то винуватцем був або кухар, або дворецький.
5. Або герцогиня бреше, або це був містер Едж, який був убитий.
6. Якщо пан Ейс був убитий, він був зроблений на сковороді.
7. Кухар вбив Містера Еджа, але вона не скористалася сковорідкою.

Вправа\(1.4.12\).

Дайте ключ символізації та символізуйте наступні твердження в логіці пропозиції.

1. Якщо Грегор грає першу базу, то команда програє.
2. Якщо або Грегор, або Еван грають першу базу, то дива не буде.
3. Якщо ні Грегор, ні Еван не зіграють першу базу, то станеться диво.
4. Команда програє, якщо не буде дива.
5. Якщо є диво, то мама Грегора не буде пекти печиво.

Вправа\(1.4.13\).

Для кожного відрахування напишіть ключ символізації і перекладіть відрахування якнайкраще в.

1. Якщо Дороті вранці грає на фортепіано, то Роджер прокидається примхливим. Дороті грає на фортепіано вранці, якщо вона не відволікається. Так що якщо Роджер не прокидається примхливим, то Дороті треба відволікатися.
2. У вівторок буде або дощ, або сніг. Якщо піде дощ, Невілл буде сумний. Якщо піде сніг, Невіллу буде холодно. Тому Невіллу буде або сумно, або холодно у вівторок.
3. Якщо Зоог запам'ятав займатися своїми справами, то речі чисті, але не акуратні. Якщо він забув, то речі акуратні, але не чисті. Тому речі або акуратні, або чисті, але не обидва.

Вправа\(1.4.14\).

Використовуючи заданий ключ символізації, перекладіть кожне твердження на англійську мову.

\(J\): Ремео любить Джульєтту.
\(M\): Меркутіо любить Джулейт.
\(T\): Ромео любить Тибальта.

1. \(M \Rightarrow J\)
2. \(J \vee(M \Rightarrow \neg T)\)
3. \((T \Rightarrow J) \&(M \Rightarrow J)\)

1.4E. Іфф\((\Leftrightarrow)\).

Розглянемо ці твердження:

24. Фігура на дошці являє собою трикутник, якщо він має рівно три сторони.
25. Фігура на дошці являє собою трикутник тільки в тому випадку, якщо він має рівно три сторони.
26. Фігура на дошці являє собою трикутник тоді і тільки в тому випадку, якщо він має рівно три сторони.

Нехай\(T\) означають «Фігура - трикутник» і\(S\) означають «Фігура має рівно три сторони».

Твердження 24 можна перефразувати так: «Якщо фігура має рівно три сторони, то це трикутник». Так що його можна перекласти як\(S \Rightarrow T\).

Твердження 25 важливо інше. Зауваження\(1.4.9\) говорить нам, що його можна перекласти як\(T\Rightarrow S\).

Твердження 26 говорить про дві речі: що «\(T\)вірно, якщо\(S\) це правда» і що «\(T\)вірно, тільки якщо\(S\) це правда». Перша половина - це Assertion 1, а друга половина - Assertion 25; таким чином, його можна перекласти як\[(S\Rightarrow T) \& (T \Rightarrow S) .\]
Однак це «якщо і тільки якщо» виникає так часто, що має свою назву. Ми називаємо цей сполучний «iff», що скорочується від «якщо і тільки якщо» (але багато логіків називають це двозастережним).

Тому що ми завжди могли писати\(({A}\Rightarrow{B})\&({B}\Rightarrow{A})\) замість\({A}\Leftrightarrow{B}\), нам не потрібно, строго кажучи, вводити новий символ для «iff». Проте він корисний настільки часто, що прийнято вважати одним з основних логічних зв'язків. \[\text{A \(\Leftrightarrow\) B is true if and only if A and B have the same truth value (either both are true or both are false).}\]

Це таблиця істинності для «iff»:\ [\ begin {масив} {c|c|c}
\ mathcal {A} &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\\ mathcal {A}
\ Mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\ mathrm {T} Therm {T} &\ математика {F} &\ математика {F}
\\ математика {F} & amp;\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\ end {масив}\]

Вправа\(1.4.15\).

Використовуючи заданий ключ символізації, перекладіть кожне англомовне твердження в Propositional Logic.

E ₁: Ава - електрик.
E ₂: Харрісон - електрик.
F ₁: Ава - пожежник.
F ₂: Гаррісон - пожежник.
S ₁: Ава задоволена своєю кар'єрою.
S ₂: Харрісон задоволений своєю кар'єрою.

1. Якщо Ава не електрик, то і не Харрісон, але якщо вона є, то він теж.
2. Ава задоволена своєю кар'єрою тоді і тільки в тому випадку, якщо Харрісон не задоволений своєю.
3. Харрісон і Ава обидва пожежники, якщо і тільки якщо жоден з них не є електриком.

Вправа\(1.4.16\).

Використовуючи заданий ключ символізації, перекладіть кожне твердження на англійську мову.

\(J\): Ромео любить Джульєтту.
\(M\): Меркутіо любить Джульєтту.
\(T\): Ромео любить Тибальта.
\(Y\): Ромео любить Йорика.

1. \(T \Leftrightarrow Y\)
2. \(M \Leftrightarrow(J \vee Y)\)
3. \((J \Leftrightarrow M) \&(T \Rightarrow Y)\)