1.5: Визначення того, чи є твердження істинним

Щоб помістити їх усі в одне місце, тут повторюються таблиці істинності для зв'язків логіки пропозицій:\ [\ begin {масив} {c||c}
\ mathcal {A} &\ neg\ mathcal {A}\
\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\ mathrm {F} &
\ mathrm {T}\ mathrm {T}
{масив}\]
\ [\ begin {масив} {c|c||c|c|c|c}
\ mathcal {A} &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ &\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ mathcal {B} &\ mathcal {A}\ Matchal {B} cal {A}\ Стрілка вліво\ mathcal {B}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ математика {T} &\ математика {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {R} &\ mathrm {R} &\ mathrm {R} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\\
\ математика {F} &\ математика {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ математика {T} &\ mathrm {T}
\ end {масив}\]

Таблиці істинності для зв'язків Пропозиційної логіки.

Кожен просунутий студент математики повинен бути в змозі швидко відтворити всі ці таблиці правди, не дивлячись їх вгору.

Використовуючи ці таблиці, ви повинні мати можливість вирішити, чи є будь-яке задане твердження істинним чи хибним, для будь-яких конкретних значень його букв твердження. (У цьому ми часто називаємо літери твердження як «змінні».)

Приклад\(1.5.1\).

Припустимо, що\(A\) це правда,\(B\) є помилковим, і\(C\) є помилковим. Це\((A \lor B) \Rightarrow (B \& \lnot C)\) правда?

Рішення

У нас\[\begin{aligned} (A \lor B) \Rightarrow (B \& \lnot C) &\quad= \quad(\mathsf{T} \lor \mathsf{F}) \Rightarrow (\mathsf{F} \& \lnot \mathsf{F}) \\&\quad= \quad\mathsf{T} \Rightarrow (\mathsf{F} \& \mathsf{T}) \\&\quad= \quad\mathsf{T} \Rightarrow \mathsf{F} \\&\quad= \quad\mathsf{F} . \end{aligned}\] є Твердження не відповідає дійсності.

Що це означає в англійській мові? Припустимо, наприклад, що у нас є ключ символізації

Відповідь: Білл спекв яблучний пиріг,

Б: Білл пекла банановий пиріг,

C: Білл спекла вишневий пиріг.

Також припустимо, що Еллен говорить нам (можливо, тому, що вона знає, які інгредієнти має Білл):

Якщо Білл пек або яблучний пиріг, або банановий пиріг, то він пек банановий пиріг, але не спечив вишневий пиріг.

Тепер виявляється, що\[\text{Bill baked an apple pie, but did not bake a banana pie, and did not bake a cherry pie.}\] Тоді вищевказаний розрахунок показує, що Еллен помилялася; її твердження помилкове.

Приклад\(1.5.2\).

Припустимо, що\(A\) це правда,\(B\) є помилковим, і\(C\) є істинним. Це\((A \lor C) \Rightarrow \lnot (A \Rightarrow B)\) правда?

Рішення

У нас\[\begin{aligned} (A \lor C) \Rightarrow \lnot (A \Rightarrow B) &\quad= \quad (\mathsf{T} \lor \mathsf{T}) \Rightarrow \lnot (\mathsf{T} \Rightarrow \mathsf{F}) \\& \quad= \quad \mathsf{T} \Rightarrow \lnot \mathsf{F} \\& \quad= \quad \mathsf{T} \Rightarrow \mathsf{T} \\& \quad= \quad \mathsf{T} . \end{aligned}\] є Твердження вірне.

Вправа\(1.5.3\).

Визначте, чи є кожне твердження істинним для заданих значень змінних.

1. \((A \lor C) \Rightarrow \lnot (A \Rightarrow B)\)
   1. \(A\)є\(B\) істинним, помилковим і\(C\) помилковим.
   2. \(A\)є помилковим,\(B\) є істинним, і\(C\) є помилковим.
2. \(\bigl(P \lor \lnot (Q \Rightarrow R) \bigr) \Rightarrow \bigl( (P \lor Q) \& R \bigr)\)
   1. \(P\),\(Q\), і\(R\) все вірно.
   2. \(P\)є\(Q\) істинним, хибним, і\(R\) є істинним.
   3. \(P\)є помилковим,\(Q\) є істинним, і\(R\) є помилковим.
   4. \(P\),\(Q\), і всі\(R\) неправдиві.
3. \(\bigl( (U \& \lnot V) \lor (V \& \lnot W) \lor (W \& \lnot U) \bigr)\)4ем\(\Rightarrow \lnot (U \& V \& W)\)
   1. \(U\),\(V\), і\(W\) все вірно.
   2. \(U\)є\(V\) істинним, істинним, і\(W\) є помилковим.
   3. \(U\)є помилковим,\(V\) є істинним, і\(W\) є помилковим.
   4. \(U\),\(V\), і всі\(W\) неправдиві.
4. \((X \lor \lnot Y) \& (X \Rightarrow Y)\)
   1. \(X\)і\(Y\) обидва вірні.
   2. \(X\)є\(Y\) істинним і є помилковим.
   3. \(X\)є помилковим і\(Y\) є істинним.
   4. \(X\)і\(Y\) обидва хибні.