1.3: Використання букв для символізації тверджень

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65177

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У решті цього ми обговоримо логічну мову під назвою. Це забезпечує зручний спосіб опису логічного зв'язку між двома (або більше) твердженнями, використовуючи великі літери для представлення тверджень. Розглядається тільки як символ, буква\(A\) могла означати будь-яке твердження. Отже, при перекладі з англійської на, важливо надати ключ символізації, який визначає, яке твердження представлено кожною буквою.

Для прикладу розглянемо таке відрахування:

Гіпотеза:

На столі є яблуко.
Якщо на столі є яблуко, то Дженні добиралася до класу. Дженні потрапила до класу.

Висновок:
Дженні потрапила до класу.

Це, очевидно, дійсний відрахування англійською мовою.

Що станеться, якщо ми замінюємо кожне твердження буквою? Наш ключ символізації виглядав би так:

\(A\):На столі є яблуко.
\(B\): Якщо на столі є яблуко, то Дженні добиралася до класу.
\(C\): Дженні потрапила до класу.

Тоді ми б символізували відрахування таким чином:

Гіпотеза:

\(A\)
\(B\)

Висновок:\(C\)

На жаль, немає необхідного зв'язку між двома твердженнями\(A\) і\(B\), що може бути будь-якими твердженнями, і третім твердженням\(C\), яке може бути будь-яким твердженням, тому це не є дійсним відрахуванням. Таким чином, дійсність вихідного відрахування втрачена в цьому перекладі; нам потрібно зробити щось інше, щоб зберегти логічну структуру вихідного відрахування та отримати дійсний переклад.

Важливим у початковому вирахуванні є те, що друга гіпотеза - це не просто будь-яке твердження, логічно відокремлене від інших тверджень у вирахуванні. Натомість друга гіпотеза містить першу гіпотезу та висновок як частини. Наш ключ символізації для дедукції повинен включати лише значення для\(A\) і\(C\), і ми можемо побудувати другу гіпотезу з цих частин. Таким чином, ми могли б символізувати відрахування таким чином:

Гіпотеза:

\(A\)
Якщо\(A\), то\(C\).

Висновок:\(C\)

Це зберігає структуру дедукції, яка робить його дійсним, але все одно використовує англійський вираз «If\(\ldots\) then»\(\ldots\). Зрештою, ми замінимо всі англійські вирази математичними позначеннями, але це хороший початок.

Твердження, які символізуються однією літерою, називаються атомними твердженнями, оскільки вони є основними будівельними блоками, з яких будуються більш складні твердження. Незалежно від логічної структури твердження може бути втрачено, коли воно перекладається як атомне твердження. З точки зору логіки пропозиції, твердження - це всього лише лист. Його можна використовувати для побудови більш складних тверджень, але його не можна розібрати.

Позначення\(1.3.1\).

Символ «\(\therefore\)» означає «отже», і ми часто будемо використовувати в\[A, B, C, \ldots, \therefore Z\]
якості абревіатури для відрахування

Гіпотези:

\ (\ begin {вирівняні}
&A\\
&B\
&C\\
&\ vdots
\ end {вирівняні}\)

Висновок:\(Z\).