1.1: Твердження, відрахування та дійсність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65130

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми почнемо наше обговорення Логіки з введення трьох основних інгредієнтів: твердження, відрахування та обґрунтованість.

Ось один з можливих відрахувань:

Гіпотеза:

Йде сильний дощ.
Якщо ви не візьмете парасольку, то промокнете.

Висновок:
Слід взяти парасольку.

(Обґрунтованість цього конкретного відрахування буде проаналізована в прикладі\(1.1.10\) нижче.)

У Логіці нас цікавлять лише пропозиції, які можуть бути гіпотезою або висновком дедукції. Вони називаються «твердженнями»:

Визначення\(1.1.1\).

Твердження - це речення, яке є або істинним, або хибним.

Інша термінологія.

У деяких підручниках замість твердження використовується термін пропозиція або твердження або речення.

Приклад\(1.1.2\).

Питання Речення «Ти ще сонний?» не є твердженням. Хоча ви можете бути сонними або ви можете бути насторожені, саме питання не є ні правдивим, ні помилковим. З цієї причини питання не враховуються як твердження в Logic.
Імперативи Команди часто формулюються як імперативи на кшталт «Прокинься! », «Сядьте прямо» і так далі. Хоча це може бути добре для вас, щоб сидіти прямо або це може не бути, сама команда не є ні істинною, ні помилковою.
Вигуки «Ой!» іноді називають окликличним реченням, але це ні правда, ні хибно. так що це ще один приклад речення, яке не є твердженням.

Зауваження\(1.1.3\).

Грубо кажучи, твердження - це констатація факту, наприклад, «Земля більша за місяць» або «Едмонтон - столиця Альберти». Однак важливо пам'ятати, що твердження може бути помилковим, і в цьому випадку це помилка (або, можливо, навмисна брехня), наприклад, «У всій Канаді менше 1000 автомобілів». У багатьох випадках правдивість або хибність твердження залежить від ситуації. Наприклад, твердження «Йде дощ» вірно в певних місцях в певний час, але є помилковим в інших.

У цьому і наступному, які є вступними, ми будемо мати справу в основному з твердженнями про реальний світ, де факти не завжди чіткі. (Наприклад, якщо Аліса і Боб майже однакового зросту, можливо, неможливо визначити, чи правда, що «Аліса вище Боба».) Ми приймаємо математичний (або науковий) погляд на логіку, а не філософський, тому ми будемо ігнорувати недосконалості цих реальних тверджень, які забезпечують мотивацію та ілюстрацію, оскільки наша мета - навчитися використовувати логіку для розуміння математичних об'єктів (а не об'єктів реального світу), де є відсутні сірі зони.

У цьому тексті ви знайдете вправи, які переглядають та вивчають щойно висвітлений матеріал. Немає заміни для реальної роботи над деякими проблемами, тому що цей курс, як і більшість передових математики, більше стосується способу мислення, ніж про запам'ятовування фактів.

Вправа\(1.1.4\).

Які з перерахованих нижче є «твердженнями» в логічному сенсі?

Англія менша за Китай.
Гренландія на південь від Єрусалиму.
Нью-Джерсі на схід від Вісконсіна?
Атомний номер гелію дорівнює 2.
Атомний номер гелію дорівнює\(\pi\).
Не поспішай.
Це останнє питання.
Ріанна народилася на Барбадосі.

Визначення\(1.1.5\).

Дедукція - це ряд гіпотез, за якими слід висновок. (Висновок і кожна з гіпотез повинні бути твердженням.)

Якщо гіпотези правдиві і відрахування хороший, то у вас є привід прийняти висновок.

Приклад\(1.1.6\).

Ось два відрахування.

Гіпотези:
1. Всі люди смертні.
2. Сократ - людина.
  Висновок: Сократ смертний.
Гіпотези:
1. Мона Ліза була намальована Леонардо да Вінчі.
2. Ніл Армстронг був першою людиною на Місяці.
  Висновок: Джастін Трюдо вчора пішов плавати.

Перший з цих відрахувань дуже відомий (і обговорювався давньогрецьким філософом Аристотелем), а ось другий - кульгавий. Може здатися дивним навіть називати це відрахуванням, оскільки дві гіпотези взагалі не мають нічого спільного з висновком, але, враховуючи наше визначення, це вважається відрахуванням. Однак це дуже бідний, тому на нього не можна покладатися як на доказ того, що висновок вірний.

Нас цікавлять відрахування, які дійсно дають вагомі докази для своїх висновків:

Визначення\(1.1.7\).

Відрахування є дійсним, якщо його висновок вірний, коли всі його гіпотези вірні. Іншими словами, неможливо мати ситуацію, в якій всі гіпотези вірні, але висновок помилковий.

Завдання Logic - відрізнити дійсні відрахування від недійсних.

Приклад\(1.1.8\).

Гіпотези:

Апельсини - це або фрукти, або музичні інструменти.
Апельсини - це не фрукти.

Висновок:
Апельсини - музичні інструменти.

Висновок смішний. Проте, відрахування є дійсним, оскільки його висновок достовірно випливає з його гіпотез; тобто якби обидві гіпотези були вірними, то висновок обов'язково був би правдивим. Наприклад, ви можете уявити, що в деякій віддаленій річковій долині є сорт апельсина, який не є фруктом, тому що він порожнистий всередині, як гарбуз. Ну, якщо інша гіпотеза також вірна в цій долині, то жителі повинні використовувати апельсини для відтворення музики.

Це показує, що логічно достовірний вирахування не повинен мати справжніх гіпотез або справжнього висновку. І навпаки, наявності справжніх гіпотез та справжнього висновку недостатньо, щоб зробити відрахування дійсним:

Приклад\(1.1.9\).

Гіпотези:

Лондон знаходиться в Англії.
Пекін знаходиться в Китаї.

Висновок: Париж знаходиться у Франції.

Гіпотези і висновок цього вирахування, по суті, все вірно. Це страшний вирахування, однак, тому що гіпотези не мають нічого спільного з висновком. Наприклад, якби Париж проголосив незалежність від решти Франції, то висновок був би помилковим, хоча гіпотези обидва все одно були б вірними. Таким чином, логічно можлива ситуація, в якій гіпотези цього вирахування вірні, а висновок помилковий. Тому відрахування не є дійсним.

Приклад\(1.1.10\).

Згадайте вирахування, що вам слід взяти парасольку (вище), і припустимо на мить, що обидві його гіпотези вірні. (Таким чином, ви промокнете, якщо не візьмете парасольку.) Тепер чи обов'язково правда, що ви повинні взяти парасольку? Ні—можливо, вам подобається ходити під дощем, і ви хотіли б просочитися. У цьому випадку, незважаючи на те, що гіпотези були правдивими, висновок був би помилковим. Таким чином, відрахування не є дійсним.

Приклад\(1.1.11\).

Гіпотези:

Ви читаєте цю книгу.
Це підручник бакалаврату.

Висновок: Ви студент бакалаврату.

Це не страшний вирахування, адже більшість людей, які читають цю книгу, є студентами бакалаврату. Тим не менш, хтось, крім бакалаврату, може прочитати цю книгу. Наприклад, якби ваша мати або батько взяли в руки книгу і прокинули її, вони не відразу стануть студентами. Так що гіпотези цього вирахування, хоч і правдиві, не гарантують правдивості висновку. Таким чином, хоча деякі люди можуть сказати, що відрахування має певну цінність, він, безумовно, не є дійсним.

Зауваження\(1.1.12\).

Важливо пам'ятати, що обгрунтованість відрахування - це не правда чи хибність тверджень відрахування в реальному світі. Натомість мова йде про форму дедукції, в тому, що істина гіпотез несумісна з хибністю висновку у кожному можливому світі (реальному чи уявному). Крім того, відрахування дає вам підставу вірити його висновку лише в тих ситуаціях, коли його гіпотези вірні.

Вправа\(1.1.13\).

Що з наступного можливо? Якщо є можливість, наведіть приклад. Якщо це неможливо, поясніть, чому.

Дійсний вирахування, який має одну помилкову гіпотезу та одну справжню гіпотезу.
Дійсний відрахування, який має помилковий висновок.
Дійсний вирахування, який має хоча б одну помилкову гіпотезу, і справжній висновок.
Дійсний вирахування, який має всі справжні гіпотези, і помилковий висновок.
Недійсний вирахування, який має хоча б одну помилкову гіпотезу, і вірний висновок.