9.E: Вправи
- Page ID
- 63209
Припустимо, у вас\(\mathbb{R}^2\) і\(+\) операція така:\[(a,b) + (c,d) = (a+d,b+c).\nonumber\] Скалярне множення визначається звичайним способом. Це векторний простір? Поясніть, чому чи чому ні.
Припустимо, у вас\(\mathbb{R}^2\) і\(+\) операція така:\[(a,b) + (c,d) = (0,b+d)\nonumber\] Скалярне множення визначається звичайним способом. Це векторний простір? Поясніть, чому чи чому ні.
Припустимо, що у вас є\(\mathbb{R}^2\) і скалярне множення визначено так, як\(c(a,b) = (a, cb)\) додавання векторів визначається як зазвичай. Це векторний простір? Поясніть, чому чи чому ні.
Припустимо, що у вас є\(\mathbb{R}^2\) і\(+\) операція визначається наступним чином. \[(a,b) + (c,d) = (a−c,b−d)\nonumber\]Скалярне множення таке ж, як і звичайне. Це векторний простір? Поясніть, чому чи чому ні.
Розглянемо всі функції, визначені на непорожній множині, які мають значення в\(\mathbb{R}\). Це векторний простір? Поясніть. Операції визначаються наступним чином. Тут\(f ,g\) позначають функції і\(a\) є скалярним\[\begin{aligned} (f+g)(x)&=f(x)+g(x) \\ (af)(x)&=a(f(x))\end{aligned}\]
Позначають\(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) множиною дійсних значень послідовностей. Бо\(\vec{a} ≡ \{a_n\}_{n=1}^∞\),\(\vec{b} ≡ \{b_n\}_{n=1}^\infty\) два з них, визначити їх суму, яку потрібно задати,\[\vec{a}+\vec{b}=\{a_n+b_n\}_{n=1}^\infty\nonumber\] і визначити\[c\vec{a}=\{ca_n\}_{n=1}^\infty\text{ where }\vec{a}=\{a+n\}_{n=1}^\infty\nonumber\] скалярне множення на Це особливий випадок вправи\(\PageIndex{5}\)? Це векторний простір?
\(\mathbb{C}^2\)Дозволяти множина впорядкованих пар комплексних чисел. Визначте додавання і скалярне множення звичайним способом. \[(z,w) + (\hat{z},\hat{w}) = (z+\hat{z},w+\hat{w}), u(z,w) ≡ (uz,uw)\nonumber\]Тут скаляри від\(\mathbb{C}\). Показати це векторний простір.
\(V\)Дозволяти набір функцій, визначених на непорожній множині, які мають значення у векторному просторі\(W\). Це векторний простір? Поясніть.
Розглянемо простір\(m\times n\) матриць з операцією додавання і скалярного множення, визначеним звичайним способом. Тобто, якщо\(A,B\) дві\(m\times n\) матриці і\(c\) скаляр,\[(A+B)_{ i j} = A_{i j} +B_{i j}, \:(cA)_{ i j} ≡ c (A_{ij})\nonumber\]
Розглянемо безліч\(n\times n\) симетричних матриць. Тобто,\(A = A^T\). Іншими словами,\(A_{i j} = A_{ji}\). Показати, що ця множина симетричних матриць є векторним простором і підпростором векторного простору\(n\times n\) матриць.
Розглянемо безліч всіх векторів в\(\mathbb{R}^2 ,(x, y)\) такому, що\(x + y ≥ 0\). Нехай векторні космічні операції будуть звичайними. Це векторний простір? Це підпростір\(\mathbb{R}^2\)?
Розглянемо вектори в\(\mathbb{R}^2 ,(x, y)\) таких, що\(xy = 0\). Це підпростір\(\mathbb{R}^2\)? Це векторний простір? Додавання і скалярне множення - звичайні операції.
Визначте операцію векторного додавання\(\mathbb{R}^2\) по\((x, y) + (u, v) = (x+u, y+v+1)\). Нехай скалярне множення буде звичайною операцією. Це векторний простір з цими операціями? Поясніть.
Нехай вектори будуть дійсними числами. Визначте векторні космічні операції звичайним способом. Тобто\(x+y\) означає скласти два числа і\(xy\) означає їх помножити. Чи є\(\mathbb{R}\) з цими операціями векторний простір? Поясніть.
Нехай скаляри є раціональними числами, а вектори - дійсними числами, які є формою\(a+b\sqrt{2}\) для\(a,b\) раціональних чисел. Покажіть, що при звичайних операціях це векторний простір.
\(\mathbb{P}_2\)Дозволяти множина всіх многочленів ступеня\(2\) або менше. Тобто, вони мають форму\(a+bx+cx^2\). Додавання визначається як\[(a+bx+cx^2)+(\hat{d}+\hat{b}x+\hat{c}x^2)=(a+\hat{a})+(b+\hat{b})x+(c+\hat{c})x^2\nonumber\] і скалярне множення визначається як\[d(a+bx+cx^2)=da+dbx+cdx^2\nonumber\] Показати, що при цьому визначенні векторних космічних операцій, що\(\mathbb{P}_2\) є векторним простором. Тепер давайте\(V\) позначимо ті многочлени\(a+bx+cx^2\) такі, що\(a+b+c = 0\). Чи\(V\) є підпростором\(\mathbb{P}_2\)? Поясніть.
\(M,N\)Дозволяти бути підпростори векторного простору\(V\) і розглядати\(M +N\) визначені як множина всіх\(m+n\) де\(m ∈ M\) і\(n ∈ N\). Показати, що\(M +N\) є підпростором\(V\).
\(M,N\)Дозволяти підпростори векторного простору\(V\). Потім\(M ∩N\) складається з усіх векторів, які знаходяться в обох\(M\) і\(N\). Показати, що\(M ∩N\) є підпростором\(V\).
\(M,N\)Дозволяти підпростори векторного простору\(\mathbb{R}^2\). Потім\(N ∪M\) складається з усіх векторів, які знаходяться в будь-якому\(M\) або\(N\). Показати, що не обов'язково\(N ∪M\) є підпростором, наводячи приклад,\(N ∪M\) де не може бути підпростором.\(\mathbb{R}^2\)
Дозволяти\(X\) складатися з дійсних цінних функцій, які визначені на інтервалі\([a,b]\). For\(f ,g ∈ X, f +g\) - це назва функції, яка задовольняє\((f +g) (x) = f (x) +g(x)\). Для\(s\) дійсного числа,\((s f) (x) = s(f (x))\). Показати це векторний простір.
- Відповідь
-
Аксіоми векторного простору тримаються за те, що вони тримають векторний простір. Єдине, що залишилося перевірити, це твердження про речі, які повинні існувати. \(0\)буде нульовою функцією, яка посилає все\(0\). Це адитивна ідентичність. Тепер\(f\), якщо це функція,\(−f (x) ≡ (−f (x))\). Тоді\[(f + (−f)) (x) ≡ f (x) + (−f) (x) ≡ f (x) + (−f (x)) = 0\nonumber\] звідси\(f + −f = 0\). Для кожного\(x ∈ [a,b]\) нехай\(f_x (x) = 1\) і\(f_x (y) = 0\) якщо\(y\neq x\). Тоді ці вектори, очевидно, лінійно незалежні.
Розглянемо функції, визначені на\(\{1, 2,\cdots ,n\}\) мають значення в\(\mathbb{R}\). Поясніть, яким чином, якщо\(V\) є сукупністю всіх таких функцій,\(V\) можна вважати як\(\mathbb{R}^n\).
- Відповідь
-
\(f (i)\)Дозволяти\(i\) бути компонентом вектора\(\vec{x} ∈ \mathbb{R}^n\). Таким чином, типовим елементом в\(\mathbb{R}^n\) є\((f (1),\cdots , f (n))\).
Нехай вектори будуть поліномами ступеня не більше\(3\). Показати, що при звичайних визначеннях скалярного множення і додавання, де, для\(p(x)\) многочлена,\((ap) (x) = ap(x)\) і для\(p,q\) многочленів\((p+q) (x) = p(x) +q(x)\), це векторний простір.
- Відповідь
-
Це всього лише підпростір векторного простору функцій, оскільки він замкнутий щодо додавання векторів та скалярного множення. Звідси це векторний простір.
\(V\)Дозволяти бути векторний простір і припустимо,\(\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_l\}\) це набір векторів в\(V\). Покажіть, що\(\vec{0}\) знаходиться в\(span\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_k\}\).
- Відповідь
-
\(\sum\limits_{i=1}^k0\vec{x}_k=\vec{0}\)
Визначте\(p(x) = 4x^2 −x\), чи знаходиться в прольоті, заданому\[span \{x^2+x,\:x^2-1,\:-x+2\}\nonumber\]
Визначте\(p(x) = −x^2 +x+2\), чи знаходиться в прольоті, заданому\[span\{ x^2 +x+1,\: 2x^2 +x\}\nonumber\]
Визначте\(A=\left[\begin{array}{cc}1&3\\0&0\end{array}\right]\), чи знаходиться в прольоті, заданому\[span\left\{\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
Показати, що набір розтягування у Вправі\(\PageIndex{26}\) є набором для\(M_{22}\) векторного простору всіх\(2\times 2\) матриць.
Розглянемо векторний простір многочленів ступеня не більше\(2\),\(\mathbb{P}_2\). Визначте, чи є наступне підставою для\(\mathbb{P}_2\). \[\{x^2 +x+1,\: 2x^2 +2x+1,\: x+1\}\nonumber\]Підказка: Існує ізоморфізм від\(\mathbb{R}^3\) до\(\mathbb{P}_2\). Визначається вона наступним чином:\[T\vec{e}_1 = 1,\: T\vec{e}_2 = x,\: T\vec{e}_3= x^2\nonumber\] Потім розширюють\(T\) лінійно. Таким чином,\[T\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=x^2+x+1,\:T\left[\begin{array}{c}1\\2\\2\end{array}\right]=2x^2+2x+1,\:T\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=1+x\nonumber\] випливає, що якщо\[\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]\right\}\nonumber\] є основою для\(\mathbb{R}^3\), то поліноми будуть основою для\(\mathbb{P}_2\) тому, що вони будуть незалежними. Нагадаємо, що ізоморфізм приймає лінійно незалежний набір до лінійно незалежного множини. Також, оскільки\(T\) є ізоморфізмом, він зберігає всі лінійні відносини.
Знайти основу\(\mathbb{P}_2\) для підпростору\[span\{ 1+x+x^2 ,\: 1+2x,\: 1+5x−3x^2\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших. Підказка: Це ситуація, в якій ви маєте набір, і ви хочете скоротити його, щоб сформувати лінійно незалежний набір, який також є охоплюючим набором. Використовуйте той же ізоморфізм вище. Оскільки\(T\) це ізоморфізм, він зберігає всі лінійні відносини, тому, якщо такі можна знайти в\(\mathbb{R}^3\), однакові лінійні відносини будуть присутні в\(\mathbb{P}_2\).
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ 1+x−x^2 +x^3 ,\: 1+2x+3x^3 ,\:−1+3x+5x^2 +7x^3 ,\: 1+6x+4x^2 +11x^3\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ 1+x−x^2 +x^3 ,\: 1+2x+3x^3 ,\:−1+3x+5x^2 +7x^3 ,\: 1+6x+4x^2 +11x^3\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 −2x^2 +x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2,\: 7x^3 +x^2 +4x+2,\: 5x^3 +3x+2\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 +2x^2 +x−2,\: 3x^3 +3x^2 +2x−2,\: 3x^3 +x+2,\: 3x^3 +x+2\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 −5x^2 +x+5,\: 3x^3 −4x^2 +2x+5,\: 5x^3 +8x^2 +2x−5,\: 11x^3 +6x+5\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{x^3 −3x^2 +x+3,\: 3x^3 −2x^2 +2x+3,\: 7x^3 +7x^2 +3x−3,\: 7x^3 +4x+3\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: 4x^3 +x^2 +2x+1,\: 3x^3 +2x−1\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: 13x^3 +x^2 +8x+4,\: 3x^3 +2x−1\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 −3x^2 +x+3,\: 3x^3 −2x^2 +2x+3,\:−5x^3 +5x^2 −4x−6,\: 7x^3 +4x−3\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 −2x^2 +x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2,\: 7x^3 −x^2 +4x+4,\: 5x^3 +3x−2\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 −2x^2 +x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2,\: 3x^3 +4x^2 +x−2,\: 7x^3 −x^2 +4x+4\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 −4x^2 +x+4,\: 3x^3 −3x^2 +2x+4,\:−3x^3 +3x^2 −2x−4,\:−2x^3 +4x^2 −2x−4\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 +2x^2 +x−2,\: 3x^3 +3x^2 +2x−2,\: 5x^3 +x^2 +2x+2,\: 10x^3 +10x^2 +6x−6\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 +x^2 +x−1,\: 3x^3 +2x^2 +2x−1,\: x^3 +1,\: 4x^3 +3x^2 +2x−1\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Знайти основу\(\mathbb{P}_3\) для підпростору\[span\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: x^3 +2x^2 −1,\: 4x^3 +x^2 +2x+1\}\nonumber\] Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.
Ось кілька векторів. \[\{ x^3 +x^2 −x−1,\: 3x^3 +2x^2 +2x−1\}\nonumber\]Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх\(\mathbb{P}_3\).
Ось кілька векторів. \[\{ x^3 −2x^2 −x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2\}\nonumber\]Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх\(\mathbb{P}_3\).
Ось кілька векторів. \[\{ x^3 −3x^2 −x+3,\: 3x^3 −2x^2 +2x+3\}\nonumber\]Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх\(\mathbb{P}_3\).
Ось кілька векторів. \[\{ x^3 −2x^2 −3x+2,\: 3x^3 −x^2 −6x+2,\:−8x^3 +18x+10\}\nonumber\]Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх\(\mathbb{P}_3\).
Ось кілька векторів. \[\{ x^3 −3x^2 −3x+3,\: 3x^3 −2x^2 −6x+3,\:−8x^3 +18x+40\}\nonumber\]Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх\(\mathbb{P}_3\).
Ось кілька векторів. \[\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: 4x^3 +2x+2\}\nonumber\]Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх\(\mathbb{P}_3\).
Ось кілька векторів. \[\{ x^3 +x^2 +2x−1,\: 3x^3 +2x^2 +4x−1,\: 7x^3 +8x+23\}\nonumber\]Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх\(\mathbb{P}_3\).
Визначте, чи є наступний набір лінійно незалежним. Якщо він лінійно залежний, запишіть один вектор як лінійну комбінацію інших векторів у множині. \[\{ x+1,\: x^2 +2,\: x^2 −x−3\}\nonumber\]
Визначте, чи є наступний набір лінійно незалежним. Якщо він лінійно залежний, запишіть один вектор як лінійну комбінацію інших векторів у множині. \[\{ x^2 +x,\:−2x^2 −4x−6,\: 2x−2\}\nonumber\]
Визначте, чи є наступний набір лінійно незалежним. Якщо він лінійно залежний, запишіть один вектор як лінійну комбінацію інших векторів у множині. \[\left\{\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{rr}-7&2\\-2&-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}4&0\\1&2\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
Визначте, чи є наступний набір лінійно незалежним. Якщо він лінійно залежний, запишіть один вектор як лінійну комбінацію інших векторів у множині. \[\left\{\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
Якщо у вас є\(5\) вектори\(\mathbb{R}^5\) і вектори лінійно незалежні, чи завжди можна зробити висновок, що вони охоплюють\(\mathbb{R}^5\)?
- Відповідь
-
Так. Якщо ні, існував би вектор не в прольоті. Але тоді ви могли б додати в цей вектор і отримати лінійно незалежний набір векторів з більшою кількістю векторів, ніж базису.
Якщо у вас є\(6\) вектори\(\mathbb{R}^5\), чи можливо, вони лінійно незалежні? Поясніть.
- Відповідь
-
Ні. Їх не може бути.
\(\mathbb{P}_3\)Дозволяти бути поліномами ступеня не більше\(3\). Визначте, які з перерахованих нижче є основами для цього векторного простору.
- \(\{ x+1,\: x^3 +x^2 +2x,\: x^2 +x,\: x^3 +x^2 +x\}\)
- \(\{ x^3 +1,\: x^2 +x,\: 2x^3 +x^2 ,\: 2x^3 −x^2 −3x+1\}\)
- Відповідь
-
- Припустимо,\[c_1(x^3 +1)+c_2 (x^2 +x) +c_3( 2x^3 +x^2) +c_4 (2x^3 −x^2 −3x+1) = 0\nonumber\] Тоді об'єднайте терміни відповідно до потужності\(x\). \[(c_1 +2c_3 +2c_4) x^3 + (c_2 +c_3 −c_4) x^2 + (c_2 −3c_4) x+ (c_1 +c_4) = 0\nonumber\]Чи існує ненульове рішення для системи\[\begin{aligned}c_1 +2c_3 +2c_4 &= 0\\ c_2 +c_3 −c_4 &= 0\\ c_2 −3c_4 &= 0\\ c_1 +c_4 &= 0\end{aligned}\], Рішення є:\[[c_1 = 0,\: c_2 = 0,\: c_3 = 0,\: c_4 = 0]\nonumber\] Отже, вони лінійно незалежні.
У контексті наведеної задачі розглянемо поліноми\[\{a_ix^3 +b_ix^2 +c_ix+d_i ,\: i = 1, 2, 3, 4\}\nonumber\] Показати, що ця сукупність многочленів лінійно незалежна на\([s,t]\) інтервалі тоді і тільки тоді, коли\[\left[\begin{array}{cccc}a_1&b_1&c_1&d_1 \\ a_2&b_2&c_2&d_2 \\ a_3&b_3&c_3&d_3\\ a_4&b_4&c_4&d_4\end{array}\right]\nonumber\] є оборотною матрицею.
- Відповідь
-
Давайте\(p_i(x)\) позначимо\(i\) го з цих многочленів. Припустимо\(\sum_i C_ip_i(x) = 0\). Потім збираючи члени відповідно до показника\(x\), потрібно мати\[\begin{aligned}C_1a_1 +C_2a_2 +C_3a_3 +C_4a_4 &= 0\\ C_1b_1 +C_2b_2 +C_3b_3 +C_4b_4 &= 0\\ C_1c_1 +C_2c_2 +C_3c_3 +C_4c_4 &= 0\\ C_1d_1 +C_2d_2 +C_3d_3 +C_4d_4 &= 0\end{aligned}\] Матриця коефіцієнтів - це всього лише транспонування вищевказаної матриці. Існує нетривіальне рішення тоді і тільки тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює\(0\).
Нехай поле скалярів буде\(\mathbb{Q}\), раціональні числа і нехай вектори мають вигляд,\(a+b\sqrt{2}\) де\(a,b\) раціональні числа. Показати, що ця колекція векторів є векторним простором з полем скалярів\(\mathbb{Q}\) і дати основу для цього векторного простору.
- Відповідь
-
Коли ви додаєте два з них, ви отримаєте один, а коли ви помножите один з них на скаляр, ви отримаєте ще один. Основою є\(\{1,\sqrt{2}\}\). За визначенням, проміжок цих даних дає колекцію векторів. Чи незалежні вони? Скажіть\(a + b\sqrt{2} = 0\), де\(a,b\) раціональні числа. Якщо\(a\neq 0\), то\(b\sqrt{2} = −a\) чого не може статися, оскільки а є раціональним. Якщо\(b\neq 0\), то\(−a = b\sqrt{2}\) чого знову не може статися, тому що зліва раціональне число, а праворуч - ірраціональне. Звідси\(a,b = 0\) і так це основа.
Припустимо,\(V\) це скінченнорозмірний векторний простір. Виходячи з вищевикладеної теореми обміну, було показано, що будь-які дві основи мають однакову кількість векторів в них. Наведіть інший доказ цього факту, використовуючи більш ранній матеріал в книзі. Підказка: Припустимо\(\{\vec{y}_1,\cdots , \vec{y}_m\}\),\(\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_n\}\) і є двома основами с\(m < n\). Потім визначте\[φ : \mathbb{R}^n \mapsto V,\: ψ :\mathbb{R}^m\mapsto V\nonumber\] за допомогою\[φ (\vec{a}) = \sum\limits_{k=1}^n a_k\vec{x}_k ,\: ψ(\vec{b}) =\sum\limits_{j=1}^m b_j\vec{y}_j\nonumber\] Розглянемо лінійне перетворення,\(ψ^{−1}\circ φ\). Аргументуйте, що це один до одного і на відображення від\(\mathbb{R}^n\) до\(\mathbb{R}^m\). Тепер розглянемо матрицю цього лінійного перетворення та її зменшену рядково-ешелонову форму.
- Відповідь
-
Це очевидно, тому що коли ви додаєте два з них, ви отримуєте один, а коли ви множите один з них на скаляр, ви отримуєте ще один. Основою є\(\{1,\sqrt{2}\}\). За визначенням, проміжок цих даних дає колекцію векторів. Чи незалежні вони? Скажіть\(a+b\sqrt{2} = 0\), де\(a,b\) раціональні числа. Якщо\(a\neq 0\), то\(b\sqrt{2} = −a\) чого не може статися, оскільки\(a\) є раціональним. Якщо\(b\neq 0\), то\(−a = b\sqrt{2}\) чого знову не може статися, тому що зліва раціональне число, а праворуч - ірраціональне. Звідси\(a,b = 0\) і так це основа.
Нехай\(M =\{\vec{u} = (u_1,\:u_2,\:u_3,\:u_4)\in \mathbb{R}^4\: :\: |u_1| ≤ 4\}\). Чи\(M\) є підпростором\(\mathbb{R}^4\)?
- Відповідь
-
Це не підпростір. \(\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]\)знаходиться в ньому, але\(20\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]\) немає.
Нехай\(M =\{\vec{u} = (u_1,\:u_2,\:u_3,\:u_4)\in \mathbb{R}^4\: :\: \sin(u_1) = 1\}\). Чи\(M\) є підпростором\(\mathbb{R}^4\)?
- Відповідь
-
Це не підпростір.
\(W\)Дозволяти бути підмножиною\(M_{22}\) заданого\[W = \{ A|A\in M_{22},A^T = A\}\nonumber\] In words,\(W\) це множина всіх симетричних\(2\times 2\) матриць. Чи\(W\) є підпростором\(M_{22}\)?
\(W\)Дозволяти бути\(M_{22}\) підмножиною заданого\[W=\left\{\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \: |a,b,c,d\in\mathbb{R},\:a+b=c+d\right\}\nonumber\]\(W\) є підпростором\(M_{22}\)?
\(W\)Дозволяти бути\(P_3\) підмножиною заданого\[W = \{ ax^3 +bx^2 +cx+d|\: a,b, c,d\in\mathbb{R},d = 0\}\nonumber\]\(W\) є підпростором\(P_3\)?
\(W\)Дозволяти бути\(P_3\) підмножиною заданого\[W = \{ p(x) = ax^3 +bx^2 +cx+d|\: a,b, c,d\in\mathbb{R}, p(2) = 1\}\nonumber\]\(W\) є підпростором\(P_3\)?
\(\mathbb{P}_2\to\mathbb{R}\)Дозволяти\(T\): бути лінійним перетворенням таким, що\[T(x^2)=1;\: T(x^2+x)=5;\: T(x^2+x+1)=-1.\nonumber\] Знайти\(T(ax^2+bx+c)\).
- Відповідь
-
За лінійності ми маємо\(T(x^2 ) = 1,\: T(x) = T(x^2 +x−x^2 ) = T(x^2 +x)−T (x^2 ) = 5−1 = 5,\) і\(T(1) = T(x^2 +x+1−(x^2 +x)) = T(x^2 +x+1)−T(x^2 +x)) = −1−5 = −6\). Таким чином\(T(ax^2 +bx+c) = aT(x^2 ) +bT(x) +cT(1) = a+5b−6c\).
Розглянемо наступні функції\(T\):\(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\). Поясніть, чому кожна з цих функцій не\(T\) є лінійною.
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z+1 \\ 2y-3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y^2+3z \\ 2y+3z+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sin x+2y+3z \\ 2y+3z+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y+3z-\ln z\end{array}\right]\)
\(T\)Припустимо, лінійне перетворення таке, що\[\begin{aligned} T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\end{aligned}\] знайти матрицю\(T\). Тобто знайти\(A\) таке, що\(T(\vec{x})=A\vec{x}\).
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{rrr}3&1&1\\3&2&3\\3&3&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&2&1\\5&2&1\\6&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}29&9&5\\46&13&8\\27&11&5\end{array}\right]\nonumber\]
\(T\)Припустимо, лінійне перетворення таке, що\[\begin{aligned} T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-18\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}5\\2\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\15\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}2\\5\\-2\end{array}\right]\end{aligned}\] знайти матрицю\(T\). Тобто знайти\(A\) таке, що\(T(\vec{x})=A\vec{x}\).
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{rrr}5&3&2\\2&3&5\\5&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}11&4&1\\10&4&1\\12&3&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}109&38&10\\112&35&10\\81&34&8\end{array}\right]\nonumber\]
Розглянемо наступні функції\(T\):\(\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\). Показати, що кожен є лінійним перетворенням і визначити для кожного матрицю\(A\) таку, що\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y-3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7x+2y+z \\ 3x-11y+2z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x+2y+z \\ x+2y+6z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2y-5x+z \\ x+y+z\end{array}\right]\)
Припустимо,\[[A_1\cdots A_n]^{-1}\nonumber\] існує там, де кожен\(A_j\in\mathbb{R}^n\) і нехай вектори\(\{B_1,\cdots ,B_n\}\) в\(\mathbb{R}^m\) бути задані. Показати, що завжди існує лінійне перетворення\(T\) таке, що\(T(A_i)=B_i\).
\(V\)\(W\)Дозволяти і бути\(\mathbb{R}^n\) підпростори і\(\mathbb{R}^m\) відповідно і нехай\(T\):\(V → W\) бути лінійним перетворенням. Припустимо,\(\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}\) що лінійно незалежний. Покажіть, що це повинен бути випадок, який також\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) є лінійно незалежним.
- Відповідь
-
Якщо\(\sum\limits_i^ra_i\vec{v}_r=0\), то використовуючи властивості лінійності\(T\) ми отримуємо\[0=T(0)=T\left(\sum\limits_i^ra_i\vec{v}_r\right)=\sum\limits_i^ra_iT(\vec{v}_r).\nonumber\] Так як ми припускаємо, що\(\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}\) є лінійно незалежним, ми повинні мати все\(a_i = 0\), і тому робимо висновок,\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) що також лінійно незалежний.
Нехай\[V=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\2\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\] нехай\(T\vec{x}=A\vec{x}\) де\(A\) матриця\[\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&0\\0&1&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right]\nonumber\] Дайте основу для\(Im(T)\).
\[V=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\4\\4\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]Нехай\(T\vec{x}=A\vec{x}\) де\(A\) є матриця\[\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&0\\0&1&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right]\nonumber\] Знайти основу для\(Im(T)\). При цьому вихідні вектори не утворюють самостійного множини.
- Відповідь
-
Так як третій вектор є лінійними комбінаціями перших двох, то зображення третього вектора також буде лінійними комбінаціями зображення перших двох. Однак зображення перших двох векторів лінійно незалежні (перевірте!) , А значить, формують основу образу. Таким чином, основою для\(Im(T)\) є:\[V=span\left\{\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}4\\2\\4\\5\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
Якщо\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) лінійно незалежний і\(T\) є лінійним перетворенням один до одного, показати,\(\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}\) що також лінійно незалежний. Наведіть приклад, який показує, що якщо\(T\) є лише лінійним, може статися, що, хоча і\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) є лінійно незалежним, не\(\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}\) є. Насправді, показати, що може статися, що кожен з\(T\vec{v}_j\) дорівнює\(0\).
\(V\)\(W\)Дозволяти і бути\(\mathbb{R}^n\) підпростори і\(\mathbb{R}^m\) відповідно і нехай\(T\):\(V → W\) бути лінійним перетворенням. Показати, що якщо\(T\) є на\(W\) і якщо\(\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}\) є основою для\(V\), то\(span\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\} = W\).
Визначте\(T\):\(\mathbb{R}^4 → \mathbb{R}^3\) наступним чином. \[T\vec{x}=\left[\begin{array}{rrrr}3&2&1&8\\2&2&-2&6\\1&1&-1&3\end{array}\right]\vec{x}\nonumber\]Знайдіть основу для\(Im(T)\). Також знайдіть основу для\(\text{ker}(T)\).
Визначте\(T\):\(\mathbb{R}^4 → \mathbb{R}^3\) наступним чином. \[T\vec{x}=\left[\begin{array}{rrr}1&2&0\\1&1&1\\0&1&1\end{array}\right]\vec{x}\nonumber\]де праворуч, це просто матричне множення вектора,\(\vec{x}\) який мається на увазі. Поясніть, чому\(T\) є ізоморфізм\(\mathbb{R}^3\) до\(\mathbb{R}^3\).
Припустимо\(T\):\(\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^3\) це лінійне перетворення,\(A\) задане\[T\vec{x}=A\vec{x}\nonumber\] де\(3\times 3\) матриця. Покажіть, що\(T\) є ізоморфізмом, якщо і тільки тоді, коли\(A\) є оборотним.
Припустимо\(T\):\(\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^3\) це лінійне перетворення,\(A\) задане\[T\vec{x}=A\vec{x}\nonumber\] де\(m\times n\) матриця. Покажіть,\(T\) що ніколи не є ізоморфізмом, якщо\(m\neq n\). Зокрема, показати, що якщо\(m>n\),\(T\) не може бути на і якщо\(m<n\), то\(T\) не може бути один до одного.
Визначте\(T\):\(\mathbb{R}^2 → \mathbb{R}^3\) наступним чином. \[T\vec{x}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\\0&1\end{array}\right]\vec{x}\nonumber\]де праворуч, це просто матричне множення вектора,\(\vec{x}\) який мається на увазі. Покажіть,\(T\) що один до одного. Далі нехай\(W = Im(T)\). Показати, що\(T\) є ізоморфізмом\(\mathbb{R}^2\) і\(Im (T)\).
У наведеній вище задачі знайдіть\(2\times 3\) матрицю\(A\) таку, що обмеження\(A\) to\(Im(T)\) дає той же результат, що і\(T^{−1}\) на\(Im(T)\). Підказка: Ви можете дозволити\(A\) бути таким, що\[A\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right],\:A\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\nonumber\] тепер знайти інший вектор,\(\vec{v} ∈ \mathbb{R}^3\) такий, який\[\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right],\:\vec{v}\right\}\nonumber\] є основою. Ви можете вибрати,\[\vec{v}=\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber\] наприклад. Поясніть, чому це працює або один на ваш вибір працює. Тоді ви можете визначити,\(A\vec{v}\) щоб дорівнювати деякому вектору в\(\mathbb{R}^2\). Поясніть, чому буде більше однієї такої матриці\(A\), яка буде доставити зворотний ізоморфізм\(T^{−1}\) на\(Im(T)\).
Тепер нехай\(V\) дорівнює\(span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]\right\}\) і нехай\(T\):\(V\to W\) бути лінійним перетворенням де\[W=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\] і\[T\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right],\:T\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right]\nonumber\]
Поясніть\(T\), чому виникає ізоморфізм. Визначте матрицю,\(A\) яка при множенні на ліворуч дає той самий результат,\(T\) що\(V\) і матрицю\(B\), яка подає\(T^{−1}\) далі\(W\). Підказка: Вам потрібно мати\[A\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\1&1\\0&1\end{array}\right]\nonumber\]
Тепер\(\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]\) збільшуємо,\(\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]\) щоб отримати основу для\(\mathbb{R}^3\). Ви можете додати,\(\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\) наприклад, а потім вибрати інший вектор в\(\mathbb{R}^4\) і нехай\(A\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\) дорівнює цьому іншому вектору. Тоді б у вас\[A\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right]\nonumber\]
Це передбачало б вибір нового вектора в\(\mathbb{R}^4\) векторі\(\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1\end{array}\right]^T\). Тоді ви могли б знайти\(A\). Ви можете зробити щось подібне, щоб знайти матрицю для\(T^{-1}\) позначеного як\(B\).
Нехай\(V=\mathbb{R}^3\) і нехай\[W=span(S),\text{ where }S=\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-2\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\end{array}\right]\right\}\nonumber\] Знайти основу\(W\) складається з векторів в\(S\).
- Відповідь
-
У цьому випадку\(\text{dim}(W) = 1\) і основу для складання\(W\) векторів в\(S\) можна отримати, взявши будь-який (ненульовий) вектор з\(S\).
\(T\)Дозволяти лінійне перетворення, задане\[T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber\] Знайти основу для\(\text{ker}(T)\) і\(Im(T)\).
- Відповідь
-
Основа для\(\text{ker}(T)\) є\(\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right]\right\}\) і основа для\(Im(T)\) є\(\left\{\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]\right\}\). Є багато інших можливостей для конкретних баз, але в даному випадку\(\text{dim}(\text{ker}(T)) = 1\) і\(\text{dim}(Im(T)) = 1\).
\(T\)Дозволяти лінійне перетворення, задане\[T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber\] Знайти основу для\(\text{ker}(T)\) і\(Im(T)\).
- Відповідь
-
У цьому випадку\(\text{ker}(T) = \{0\}\) і\(Im(T) = \mathbb{R}^2\) (підібрати будь-яку основу\(\mathbb{R}^2\)).
Нехай\(V=\mathbb{R}^3\) і нехай\[W=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\2\\-1\end{array}\right]\right\}\nonumber\] Розширити цю основу\(W\) до основи\(V\).
- Відповідь
-
Існує багато можливих таких розширень, одне є (звідки ми знаємо?) :\[\left\{\left[\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
\(T\)Дозволяти лінійне перетворення, задане\[T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber\] What is\(\text{dim}(\text{ker}(T))\)?
- Відповідь
-
Ми можемо легко це побачити, і\(\text{dim}(Im(T)) = 1\), таким чином\(\text{dim}(\text{ker}(T)) = 3−\text{dim}(Im(T)) = 3−1 = 2\).
Розглянемо наступні функції, які відображаються\(\mathbb{R}^n\) на\(\mathbb{R}^n\).
- \(T\)множить\(j\) той компонент\(\vec{x}\) на ненульове число\(b\).
- \(T\)замінює компонент\(i\) th\(b\) раз на той\(j\) компонент, доданий до компонента\(i\) h.\(\vec{x}\)
- \(T\)перемикає\(i\) й і\(j\) ті компоненти.
Покажіть ці функції лінійних перетворень і опишіть їх матриці\(A\) такі, що\(T (\vec{x}) = A\vec{x}\).
- Відповідь
-
- Матриця\(T\) - це елементарна матриця, яка множить\(j\) діагональний запис матриці ідентичності на\(b\).
- Матриця\(T\) - це елементарна матриця, яка займає\(b\) 3 рази\(j\) від го рядка і додає до\(i\) го рядка.
- Матриця\(T\) - це елементарна матриця, яка перемикає\(i\) th та\(j\) th рядки, де дві складові знаходяться в\(i\) th та\(j\) th положеннях.
Вам дається лінійне перетворення\(T\):\(\mathbb{R}^n → \mathbb{R}^m\) і ви знаєте, що\[T(A_i)=B_i\nonumber\] де\(\left[\begin{array}{ccc}A_1&\cdots&A_n\end{array}\right]^{-1}\) існує. Показати, що\(T\) матриця має вигляд\[\left[\begin{array}{ccc}B_1&\cdots&B_n\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}A_1&\cdots&A_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber\]
- Відповідь
-
Припустимо\[\left[\begin{array}{c}\vec{c}_1^T \\ \vdots \\ \vec{c}_n^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber\], таким чином\(\vec{c}_i^T\vec{a}_j=\delta_{ij}\). Тому\[\begin{aligned} \left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\: \left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\vec{a}_i &=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}\vec{c}_1^T \\ \vdots \\ \vec{c}_n^T\end{array}\right] \vec{a}_i \\ &=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right] \vec{e}_i \\ &=\vec{b}_i\end{aligned}\] Таким чином\(T\vec{a}_i=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\: \left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\vec{a}_i=A\vec{a}_i\). Якщо\(\vec{x}\) довільна, то так як матриця\(\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]\) є оборотною, існує унікальна\(\vec{y}\) така, що\(\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]\vec{y}=\vec{x}\) Звідси\[T\vec{x}=T\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i\vec{a}_i\right)=\sum\limits_{i=1}^ny_iT\vec{a}_i=\sum\limits_{i=1}^ny_1A\vec{a}_i=A\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i\vec{a}_i\right)=A\vec{x}\nonumber\]
\(T\)Припустимо, лінійне перетворення таке, що\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}5\\1\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\5\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\1\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\3\\-2\end{array}\right]\end{aligned}\] знайти матрицю\(T\). Тобто знайти\(A\) таке, що\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{rrr}5&1&5\\1&1&3\\3&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\2&2&1\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}37&17&11\\17&7&5\\11&14&6\end{array}\right]\nonumber\]
\(T\)Припустимо, лінійне перетворення таке, що\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-8\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\3\\1\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}2\\4\\1\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\3\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}6\\1\\-1\end{array}\right]\end{aligned}\] знайти матрицю\(T\). Тобто знайти\(A\) таке, що\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&6\\3&4&1\\1&1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&3&1\\5&3&1\\6&2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}52&21&9\\44&23&8\\5&4&1\end{array}\right]\nonumber\]
\(T\)Припустимо, лінійне перетворення таке, що\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\3\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}-3\\1\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{4}1\\3\\-3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\3\\-3\end{array}\right]\end{aligned}\] знайти матрицю\(T\). Тобто знайти\(A\) таке, що\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{rrr}-3&1&5\\1&3&3\\3&-3&-3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\1&2&1\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}15&1&3\\17&11&7\\-9&-3&-3\end{array}\right]\nonumber\]
\(T\)Припустимо, лінійне перетворення таке, що\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\end{aligned}\] знайти матрицю\(T\). Тобто знайти\(A\) таке, що\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{rrr}3&1&1\\3&2&3\\3&3&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&2&1\\5&2&1\\6&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}29&9&5\\46&13&8\\27&11&5\end{array}\right]\nonumber\]
\(T\)Припустимо, лінійне перетворення таке, що\[\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-18\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}5\\2\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\15\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}2\\5\\-2\end{array}\right]\end{aligned}\] знайти матрицю\(T\). Тобто знайти\(A\) таке, що\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{rrr}5&3&2\\2&3&5\\5&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}11&4&1\\10&4&1\\12&3&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}109&38&10 \\112&35&10\\81&34&8\end{array}\right]\nonumber\]
Розглянемо наступні функції\(T\):\(\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2\). Показати, що кожен є лінійним перетворенням і визначити для кожного матрицю\(A\) таку, що\(T(\vec{x}) = A\vec{x}\).
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y-3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7x+2y+z \\ 3x-11y+2z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x+2y+z \\ x+2y+6z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2y-5x+z \\ x+y+z\end{array}\right]\)
Розглянемо наступні функції\(T\):\(\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2\). Поясніть, чому кожна з цих функцій не\(T\) є лінійною.
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z+1 \\ 2y-3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y^2+3z \\ 2y+3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sin x+2y+3z \\ 2y+3x+z\end{array}\right]\)
- \(T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y+3x-\ln z\end{array}\right]\)
Припустимо,\[\left[\begin{array}{ccc}A_1&\cdots&A_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber\] існує там, де кожен\(A_j ∈ \mathbb{R}^n\) і нехай вектори\(\{B_1,\cdots ,B_n\}\) в\(\mathbb{R}^m\) бути задані. Показати, що завжди існує лінійне перетворення\(T\) таке, що\(T(A_i) = B_i\).
Знайдіть матрицю для\(T (\vec{w}) = \text{proj}_{\vec{v}} (\vec{w})\) де\(\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3\end{array}\right]^T\).
- Відповідь
-
Нагадаємо, що\(\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v}\bullet\vec{u}}{||\vec{u}||^2}\vec{u}\) і так потрібна матриця має\(i\) стовпець, рівний\(\text{proj}_{\vec{u}} (\vec{e}_i)\). Тому бажана матриця\[\frac{1}{14}\left[\begin{array}{rrr}1&-2&3\\-2&4&-6\\3&-6&9\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть матрицю для\(T (\vec{w}) = \text{proj}_{\vec{v}} (\vec{w})\) де\(\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&5&3\end{array}\right]^T\).
- Відповідь
-
\[\frac{1}{35}\left[\begin{array}{ccc}1&5&3\\5&25&15\\3&15&9\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть матрицю для\(T (\vec{w}) = \text{proj}_{\vec{v}} (\vec{w})\) де\(\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\end{array}\right]^T\).
- Відповідь
-
\[\frac{1}{10}\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&0&0\\3&0&9\end{array}\right]\nonumber\]
\(B=\left\{\left[\begin{array}{r}2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right]\right\}\)Дозволяти бути основою\(\mathbb{R}^2\) і нехай\(\vec{x}=\left[\begin{array}{r}5\\-7\end{array}\right]\) бути вектор в\(\mathbb{R}^2\). Знайти\(C_B(\vec{x})\).
\(B=\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}2\\1\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\2\end{array}\right]\right\}\)Дозволяти бути основою\(\mathbb{R}^3\) і нехай\(\vec{x}=\left[\begin{array}{r}5\\-1\\4\end{array}\right]\) бути вектор в\(\mathbb{R}^2\). Знайти\(C_B(\vec{x})\).
- Відповідь
-
\(C_B(\vec{x})=\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right]\).
\(\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}^2\)Дозволяти\(T\): бути лінійним перетворенням, визначеним\(T\left(\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}a+b\\a-b\end{array}\right]\).
Розглянемо дві основи\[B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\] і\[B_2=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right]\right\}\nonumber\] знайдемо матрицю\(M_{B_2,B_1}\) по\(T\) відношенню до основ\(B_1\) і\(B_2\).
- Відповідь
-
\(M_{B_2B_1}=\left[\begin{array}{rr}1&0\\-1&1\end{array}\right]\)