9.E: Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо, у вас$\mathbb{R}^2$ і$+$ операція така: $$(a,b) + (c,d) = (a+d,b+c).\nonumber$$ Скалярне множення визначається звичайним способом. Це векторний простір? Поясніть, чому чи чому ні.

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо, у вас$\mathbb{R}^2$ і$+$ операція така: $$(a,b) + (c,d) = (0,b+d)\nonumber$$ Скалярне множення визначається звичайним способом. Це векторний простір? Поясніть, чому чи чому ні.

Вправа$\PageIndex{3}$

Припустимо, що у вас є$\mathbb{R}^2$ і скалярне множення визначено так, як$c(a,b) = (a, cb)$ додавання векторів визначається як зазвичай. Це векторний простір? Поясніть, чому чи чому ні.

Вправа$\PageIndex{4}$

Припустимо, що у вас є$\mathbb{R}^2$ і$+$ операція визначається наступним чином. $$(a,b) + (c,d) = (a−c,b−d)\nonumber$$ Скалярне множення таке ж, як і звичайне. Це векторний простір? Поясніть, чому чи чому ні.

Вправа $\PageIndex{5}$

Розглянемо всі функції, визначені на непорожній множині, які мають значення в$\mathbb{R}$. Це векторний простір? Поясніть. Операції визначаються наступним чином. Тут$f ,g$ позначають функції і$a$ є скалярним $$\begin{aligned} (f+g)(x)&=f(x)+g(x) \\ (af)(x)&=a(f(x))\end{aligned}$$

Вправа$\PageIndex{6}$

Позначають$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ множиною дійсних значень послідовностей. Бо$\vec{a} ≡ \{a_n\}_{n=1}^∞$,$\vec{b} ≡ \{b_n\}_{n=1}^\infty$ два з них, визначити їх суму, яку потрібно задати, $$\vec{a}+\vec{b}=\{a_n+b_n\}_{n=1}^\infty\nonumber$$ і визначити $$c\vec{a}=\{ca_n\}_{n=1}^\infty\text{ where }\vec{a}=\{a+n\}_{n=1}^\infty\nonumber$$ скалярне множення на Це особливий випадок вправи$\PageIndex{5}$? Це векторний простір?

Вправа$\PageIndex{7}$

$\mathbb{C}^2$Дозволяти множина впорядкованих пар комплексних чисел. Визначте додавання і скалярне множення звичайним способом. $$(z,w) + (\hat{z},\hat{w}) = (z+\hat{z},w+\hat{w}), u(z,w) ≡ (uz,uw)\nonumber$$ Тут скаляри від$\mathbb{C}$. Показати це векторний простір.

Вправа$\PageIndex{8}$

$V$Дозволяти набір функцій, визначених на непорожній множині, які мають значення у векторному просторі$W$. Це векторний простір? Поясніть.

Вправа$\PageIndex{9}$

Розглянемо простір$m\times n$ матриць з операцією додавання і скалярного множення, визначеним звичайним способом. Тобто, якщо$A,B$ дві$m\times n$ матриці і$c$ скаляр, $$(A+B)_{ i j} = A_{i j} +B_{i j}, \:(cA)_{ i j} ≡ c (A_{ij})\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{10}$

Розглянемо безліч$n\times n$ симетричних матриць. Тобто,$A = A^T$. Іншими словами,$A_{i j} = A_{ji}$. Показати, що ця множина симетричних матриць є векторним простором і підпростором векторного простору$n\times n$ матриць.

Вправа$\PageIndex{11}$

Розглянемо безліч всіх векторів в$\mathbb{R}^2 ,(x, y)$ такому, що$x + y ≥ 0$. Нехай векторні космічні операції будуть звичайними. Це векторний простір? Це підпростір$\mathbb{R}^2$?

Вправа$\PageIndex{12}$

Розглянемо вектори в$\mathbb{R}^2 ,(x, y)$ таких, що$xy = 0$. Це підпростір$\mathbb{R}^2$? Це векторний простір? Додавання і скалярне множення - звичайні операції.

Вправа$\PageIndex{13}$

Визначте операцію векторного додавання$\mathbb{R}^2$ по$(x, y) + (u, v) = (x+u, y+v+1)$. Нехай скалярне множення буде звичайною операцією. Це векторний простір з цими операціями? Поясніть.

Вправа$\PageIndex{14}$

Нехай вектори будуть дійсними числами. Визначте векторні космічні операції звичайним способом. Тобто$x+y$ означає скласти два числа і$xy$ означає їх помножити. Чи є$\mathbb{R}$ з цими операціями векторний простір? Поясніть.

Вправа$\PageIndex{15}$

Нехай скаляри є раціональними числами, а вектори - дійсними числами, які є формою$a+b\sqrt{2}$ для$a,b$ раціональних чисел. Покажіть, що при звичайних операціях це векторний простір.

Вправа$\PageIndex{16}$

$\mathbb{P}_2$Дозволяти множина всіх многочленів ступеня$2$ або менше. Тобто, вони мають форму$a+bx+cx^2$. Додавання визначається як $$(a+bx+cx^2)+(\hat{d}+\hat{b}x+\hat{c}x^2)=(a+\hat{a})+(b+\hat{b})x+(c+\hat{c})x^2\nonumber$$ і скалярне множення визначається як $$d(a+bx+cx^2)=da+dbx+cdx^2\nonumber$$ Показати, що при цьому визначенні векторних космічних операцій, що$\mathbb{P}_2$ є векторним простором. Тепер давайте$V$ позначимо ті многочлени$a+bx+cx^2$ такі, що$a+b+c = 0$. Чи$V$ є підпростором$\mathbb{P}_2$? Поясніть.

Вправа$\PageIndex{17}$

$M,N$Дозволяти бути підпростори векторного простору$V$ і розглядати$M +N$ визначені як множина всіх$m+n$ де$m ∈ M$ і$n ∈ N$. Показати, що$M +N$ є підпростором$V$.

Вправа$\PageIndex{18}$

$M,N$Дозволяти підпростори векторного простору$V$. Потім$M ∩N$ складається з усіх векторів, які знаходяться в обох$M$ і$N$. Показати, що$M ∩N$ є підпростором$V$.

Вправа$\PageIndex{19}$

$M,N$Дозволяти підпростори векторного простору$\mathbb{R}^2$. Потім$N ∪M$ складається з усіх векторів, які знаходяться в будь-якому$M$ або$N$. Показати, що не обов'язково$N ∪M$ є підпростором, наводячи приклад,$N ∪M$ де не може бути підпростором.$\mathbb{R}^2$

Вправа$\PageIndex{20}$

Дозволяти$X$ складатися з дійсних цінних функцій, які визначені на інтервалі$[a,b]$. For$f ,g ∈ X, f +g$ - це назва функції, яка задовольняє$(f +g) (x) = f (x) +g(x)$. Для$s$ дійсного числа,$(s f) (x) = s(f (x))$. Показати це векторний простір.

Відповідь

Аксіоми векторного простору тримаються за те, що вони тримають векторний простір. Єдине, що залишилося перевірити, це твердження про речі, які повинні існувати. $0$буде нульовою функцією, яка посилає все$0$. Це адитивна ідентичність. Тепер$f$, якщо це функція,$−f (x) ≡ (−f (x))$. Тоді $$(f + (−f)) (x) ≡ f (x) + (−f) (x) ≡ f (x) + (−f (x)) = 0\nonumber$$ звідси$f + −f = 0$. Для кожного$x ∈ [a,b]$ нехай$f_x (x) = 1$ і$f_x (y) = 0$ якщо$y\neq x$. Тоді ці вектори, очевидно, лінійно незалежні.

Вправа$\PageIndex{21}$

Розглянемо функції, визначені на$\{1, 2,\cdots ,n\}$ мають значення в$\mathbb{R}$. Поясніть, яким чином, якщо$V$ є сукупністю всіх таких функцій,$V$ можна вважати як$\mathbb{R}^n$.

Відповідь

$f (i)$Дозволяти$i$ бути компонентом вектора$\vec{x} ∈ \mathbb{R}^n$. Таким чином, типовим елементом в$\mathbb{R}^n$ є$(f (1),\cdots , f (n))$.

Вправа$\PageIndex{22}$

Нехай вектори будуть поліномами ступеня не більше$3$. Показати, що при звичайних визначеннях скалярного множення і додавання, де, для$p(x)$ многочлена,$(ap) (x) = ap(x)$ і для$p,q$ многочленів$(p+q) (x) = p(x) +q(x)$, це векторний простір.

Відповідь

Це всього лише підпростір векторного простору функцій, оскільки він замкнутий щодо додавання векторів та скалярного множення. Звідси це векторний простір.

Вправа$\PageIndex{23}$

$V$Дозволяти бути векторний простір і припустимо,$\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_l\}$ це набір векторів в$V$. Покажіть, що$\vec{0}$ знаходиться в$span\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_k\}$.

Відповідь

$\sum\limits_{i=1}^k0\vec{x}_k=\vec{0}$

Вправа$\PageIndex{24}$

Визначте$p(x) = 4x^2 −x$, чи знаходиться в прольоті, заданому $$span \{x^2+x,\:x^2-1,\:-x+2\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{25}$

Визначте$p(x) = −x^2 +x+2$, чи знаходиться в прольоті, заданому $$span\{ x^2 +x+1,\: 2x^2 +x\}\nonumber$$

Вправа $\PageIndex{26}$

Визначте$A=\left[\begin{array}{cc}1&3\\0&0\end{array}\right]$, чи знаходиться в прольоті, заданому $$span\left\{\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&1\\1&1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{27}$

Показати, що набір розтягування у Вправі$\PageIndex{26}$ є набором для$M_{22}$ векторного простору всіх$2\times 2$ матриць.

Вправа$\PageIndex{28}$

Розглянемо векторний простір многочленів ступеня не більше$2$,$\mathbb{P}_2$. Визначте, чи є наступне підставою для$\mathbb{P}_2$. $$\{x^2 +x+1,\: 2x^2 +2x+1,\: x+1\}\nonumber$$ Підказка: Існує ізоморфізм від$\mathbb{R}^3$ до$\mathbb{P}_2$. Визначається вона наступним чином: $$T\vec{e}_1 = 1,\: T\vec{e}_2 = x,\: T\vec{e}_3= x^2\nonumber$$ Потім розширюють$T$ лінійно. Таким чином, $$T\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]=x^2+x+1,\:T\left[\begin{array}{c}1\\2\\2\end{array}\right]=2x^2+2x+1,\:T\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=1+x\nonumber$$ випливає, що якщо $$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\2\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ є основою для$\mathbb{R}^3$, то поліноми будуть основою для$\mathbb{P}_2$ тому, що вони будуть незалежними. Нагадаємо, що ізоморфізм приймає лінійно незалежний набір до лінійно незалежного множини. Також, оскільки$T$ є ізоморфізмом, він зберігає всі лінійні відносини.

Вправа$\PageIndex{29}$

Знайти основу$\mathbb{P}_2$ для підпростору $$span\{ 1+x+x^2 ,\: 1+2x,\: 1+5x−3x^2\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших. Підказка: Це ситуація, в якій ви маєте набір, і ви хочете скоротити його, щоб сформувати лінійно незалежний набір, який також є охоплюючим набором. Використовуйте той же ізоморфізм вище. Оскільки$T$ це ізоморфізм, він зберігає всі лінійні відносини, тому, якщо такі можна знайти в$\mathbb{R}^3$, однакові лінійні відносини будуть присутні в$\mathbb{P}_2$.

Вправа$\PageIndex{30}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ 1+x−x^2 +x^3 ,\: 1+2x+3x^3 ,\:−1+3x+5x^2 +7x^3 ,\: 1+6x+4x^2 +11x^3\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{31}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ 1+x−x^2 +x^3 ,\: 1+2x+3x^3 ,\:−1+3x+5x^2 +7x^3 ,\: 1+6x+4x^2 +11x^3\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{32}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 −2x^2 +x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2,\: 7x^3 +x^2 +4x+2,\: 5x^3 +3x+2\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{33}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 +2x^2 +x−2,\: 3x^3 +3x^2 +2x−2,\: 3x^3 +x+2,\: 3x^3 +x+2\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{34}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 −5x^2 +x+5,\: 3x^3 −4x^2 +2x+5,\: 5x^3 +8x^2 +2x−5,\: 11x^3 +6x+5\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{35}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{x^3 −3x^2 +x+3,\: 3x^3 −2x^2 +2x+3,\: 7x^3 +7x^2 +3x−3,\: 7x^3 +4x+3\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{36}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: 4x^3 +x^2 +2x+1,\: 3x^3 +2x−1\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{37}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: 13x^3 +x^2 +8x+4,\: 3x^3 +2x−1\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{38}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 −3x^2 +x+3,\: 3x^3 −2x^2 +2x+3,\:−5x^3 +5x^2 −4x−6,\: 7x^3 +4x−3\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{39}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 −2x^2 +x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2,\: 7x^3 −x^2 +4x+4,\: 5x^3 +3x−2\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{40}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 −2x^2 +x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2,\: 3x^3 +4x^2 +x−2,\: 7x^3 −x^2 +4x+4\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{41}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 −4x^2 +x+4,\: 3x^3 −3x^2 +2x+4,\:−3x^3 +3x^2 −2x−4,\:−2x^3 +4x^2 −2x−4\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{42}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 +2x^2 +x−2,\: 3x^3 +3x^2 +2x−2,\: 5x^3 +x^2 +2x+2,\: 10x^3 +10x^2 +6x−6\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{43}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 +x^2 +x−1,\: 3x^3 +2x^2 +2x−1,\: x^3 +1,\: 4x^3 +3x^2 +2x−1\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{44}$

Знайти основу$\mathbb{P}_3$ для підпростору $$span\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: x^3 +2x^2 −1,\: 4x^3 +x^2 +2x+1\}\nonumber$$ Якщо вищевказані три вектори не дають базису, виставляйте один з них як лінійну комбінацію інших.

Вправа$\PageIndex{45}$

Ось кілька векторів. $$\{ x^3 +x^2 −x−1,\: 3x^3 +2x^2 +2x−1\}\nonumber$$ Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх$\mathbb{P}_3$.

Вправа$\PageIndex{46}$

Ось кілька векторів. $$\{ x^3 −2x^2 −x+2,\: 3x^3 −x^2 +2x+2\}\nonumber$$ Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх$\mathbb{P}_3$.

Вправа$\PageIndex{47}$

Ось кілька векторів. $$\{ x^3 −3x^2 −x+3,\: 3x^3 −2x^2 +2x+3\}\nonumber$$ Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх$\mathbb{P}_3$.

Вправа$\PageIndex{48}$

Ось кілька векторів. $$\{ x^3 −2x^2 −3x+2,\: 3x^3 −x^2 −6x+2,\:−8x^3 +18x+10\}\nonumber$$ Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх$\mathbb{P}_3$.

Вправа$\PageIndex{49}$

Ось кілька векторів. $$\{ x^3 −3x^2 −3x+3,\: 3x^3 −2x^2 −6x+3,\:−8x^3 +18x+40\}\nonumber$$ Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх$\mathbb{P}_3$.

Вправа$\PageIndex{50}$

Ось кілька векторів. $$\{ x^3 −x^2 +x+1,\: 3x^3 +2x+1,\: 4x^3 +2x+2\}\nonumber$$ Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх$\mathbb{P}_3$.

Вправа$\PageIndex{51}$

Ось кілька векторів. $$\{ x^3 +x^2 +2x−1,\: 3x^3 +2x^2 +4x−1,\: 7x^3 +8x+23\}\nonumber$$ Якщо вони лінійно незалежні, поширюються на основу для всіх$\mathbb{P}_3$.

Вправа$\PageIndex{52}$

Визначте, чи є наступний набір лінійно незалежним. Якщо він лінійно залежний, запишіть один вектор як лінійну комбінацію інших векторів у множині. $$\{ x+1,\: x^2 +2,\: x^2 −x−3\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{53}$

Визначте, чи є наступний набір лінійно незалежним. Якщо він лінійно залежний, запишіть один вектор як лінійну комбінацію інших векторів у множині. $$\{ x^2 +x,\:−2x^2 −4x−6,\: 2x−2\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{54}$

Визначте, чи є наступний набір лінійно незалежним. Якщо він лінійно залежний, запишіть один вектор як лінійну комбінацію інших векторів у множині. $$\left\{\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{rr}-7&2\\-2&-3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}4&0\\1&2\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{55}$

Визначте, чи є наступний набір лінійно незалежним. Якщо він лінійно залежний, запишіть один вектор як лінійну комбінацію інших векторів у множині. $$\left\{\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{cc}0&0\\1&1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{56}$

Якщо у вас є$5$ вектори$\mathbb{R}^5$ і вектори лінійно незалежні, чи завжди можна зробити висновок, що вони охоплюють$\mathbb{R}^5$?

Відповідь

Так. Якщо ні, існував би вектор не в прольоті. Але тоді ви могли б додати в цей вектор і отримати лінійно незалежний набір векторів з більшою кількістю векторів, ніж базису.

Вправа$\PageIndex{57}$

Якщо у вас є$6$ вектори$\mathbb{R}^5$, чи можливо, вони лінійно незалежні? Поясніть.

Відповідь

Ні. Їх не може бути.

Вправа$\PageIndex{58}$

$\mathbb{P}_3$Дозволяти бути поліномами ступеня не більше$3$. Визначте, які з перерахованих нижче є основами для цього векторного простору.

1. $\{ x+1,\: x^3 +x^2 +2x,\: x^2 +x,\: x^3 +x^2 +x\}$
2. $\{ x^3 +1,\: x^2 +x,\: 2x^3 +x^2 ,\: 2x^3 −x^2 −3x+1\}$

Відповідь

2. Припустимо, $$c_1(x^3 +1)+c_2 (x^2 +x) +c_3( 2x^3 +x^2) +c_4 (2x^3 −x^2 −3x+1) = 0\nonumber$$ Тоді об'єднайте терміни відповідно до потужності$x$. $$(c_1 +2c_3 +2c_4) x^3 + (c_2 +c_3 −c_4) x^2 + (c_2 −3c_4) x+ (c_1 +c_4) = 0\nonumber$$ Чи існує ненульове рішення для системи $$\begin{aligned}c_1 +2c_3 +2c_4 &= 0\\ c_2 +c_3 −c_4 &= 0\\ c_2 −3c_4 &= 0\\ c_1 +c_4 &= 0\end{aligned}$$ , Рішення є: $$[c_1 = 0,\: c_2 = 0,\: c_3 = 0,\: c_4 = 0]\nonumber$$ Отже, вони лінійно незалежні.

Вправа$\PageIndex{59}$

У контексті наведеної задачі розглянемо поліноми $$\{a_ix^3 +b_ix^2 +c_ix+d_i ,\: i = 1, 2, 3, 4\}\nonumber$$ Показати, що ця сукупність многочленів лінійно незалежна на$[s,t]$ інтервалі тоді і тільки тоді, коли $$\left[\begin{array}{cccc}a_1&b_1&c_1&d_1 \\ a_2&b_2&c_2&d_2 \\ a_3&b_3&c_3&d_3\\ a_4&b_4&c_4&d_4\end{array}\right]\nonumber$$ є оборотною матрицею.

Відповідь

Давайте$p_i(x)$ позначимо$i$ го з цих многочленів. Припустимо$\sum_i C_ip_i(x) = 0$. Потім збираючи члени відповідно до показника$x$, потрібно мати $$\begin{aligned}C_1a_1 +C_2a_2 +C_3a_3 +C_4a_4 &= 0\\ C_1b_1 +C_2b_2 +C_3b_3 +C_4b_4 &= 0\\ C_1c_1 +C_2c_2 +C_3c_3 +C_4c_4 &= 0\\ C_1d_1 +C_2d_2 +C_3d_3 +C_4d_4 &= 0\end{aligned}$$ Матриця коефіцієнтів - це всього лише транспонування вищевказаної матриці. Існує нетривіальне рішення тоді і тільки тоді, коли визначник цієї матриці дорівнює$0$.

Вправа$\PageIndex{60}$

Нехай поле скалярів буде$\mathbb{Q}$, раціональні числа і нехай вектори мають вигляд,$a+b\sqrt{2}$ де$a,b$ раціональні числа. Показати, що ця колекція векторів є векторним простором з полем скалярів$\mathbb{Q}$ і дати основу для цього векторного простору.

Відповідь

Коли ви додаєте два з них, ви отримаєте один, а коли ви помножите один з них на скаляр, ви отримаєте ще один. Основою є$\{1,\sqrt{2}\}$. За визначенням, проміжок цих даних дає колекцію векторів. Чи незалежні вони? Скажіть$a + b\sqrt{2} = 0$, де$a,b$ раціональні числа. Якщо$a\neq 0$, то$b\sqrt{2} = −a$ чого не може статися, оскільки а є раціональним. Якщо$b\neq 0$, то$−a = b\sqrt{2}$ чого знову не може статися, тому що зліва раціональне число, а праворуч - ірраціональне. Звідси$a,b = 0$ і так це основа.

Вправа$\PageIndex{61}$

Припустимо,$V$ це скінченнорозмірний векторний простір. Виходячи з вищевикладеної теореми обміну, було показано, що будь-які дві основи мають однакову кількість векторів в них. Наведіть інший доказ цього факту, використовуючи більш ранній матеріал в книзі. Підказка: Припустимо$\{\vec{y}_1,\cdots , \vec{y}_m\}$,$\{\vec{x}_1,\cdots ,\vec{x}_n\}$ і є двома основами с$m < n$. Потім визначте $$φ : \mathbb{R}^n \mapsto V,\: ψ :\mathbb{R}^m\mapsto V\nonumber$$ за допомогою $$φ (\vec{a}) = \sum\limits_{k=1}^n a_k\vec{x}_k ,\: ψ(\vec{b}) =\sum\limits_{j=1}^m b_j\vec{y}_j\nonumber$$ Розглянемо лінійне перетворення,$ψ^{−1}\circ φ$. Аргументуйте, що це один до одного і на відображення від$\mathbb{R}^n$ до$\mathbb{R}^m$. Тепер розглянемо матрицю цього лінійного перетворення та її зменшену рядково-ешелонову форму.

Відповідь

Це очевидно, тому що коли ви додаєте два з них, ви отримуєте один, а коли ви множите один з них на скаляр, ви отримуєте ще один. Основою є$\{1,\sqrt{2}\}$. За визначенням, проміжок цих даних дає колекцію векторів. Чи незалежні вони? Скажіть$a+b\sqrt{2} = 0$, де$a,b$ раціональні числа. Якщо$a\neq 0$, то$b\sqrt{2} = −a$ чого не може статися, оскільки$a$ є раціональним. Якщо$b\neq 0$, то$−a = b\sqrt{2}$ чого знову не може статися, тому що зліва раціональне число, а праворуч - ірраціональне. Звідси$a,b = 0$ і так це основа.

Вправа$\PageIndex{62}$

Нехай$M =\{\vec{u} = (u_1,\:u_2,\:u_3,\:u_4)\in \mathbb{R}^4\: :\: |u_1| ≤ 4\}$. Чи$M$ є підпростором$\mathbb{R}^4$?

Відповідь

Це не підпростір. $\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]$знаходиться в ньому, але$20\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right]$ немає.

Вправа$\PageIndex{63}$

Нехай$M =\{\vec{u} = (u_1,\:u_2,\:u_3,\:u_4)\in \mathbb{R}^4\: :\: \sin(u_1) = 1\}$. Чи$M$ є підпростором$\mathbb{R}^4$?

Відповідь

Це не підпростір.

Вправа$\PageIndex{64}$

$W$Дозволяти бути підмножиною$M_{22}$ заданого $$W = \{ A|A\in M_{22},A^T = A\}\nonumber$$ In words,$W$ це множина всіх симетричних$2\times 2$ матриць. Чи$W$ є підпростором$M_{22}$?

Вправа$\PageIndex{65}$

$W$Дозволяти бути$M_{22}$ підмножиною заданого $$W=\left\{\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \: |a,b,c,d\in\mathbb{R},\:a+b=c+d\right\}\nonumber$$ $W$ є підпростором$M_{22}$?

Вправа$\PageIndex{66}$

$W$Дозволяти бути$P_3$ підмножиною заданого $$W = \{ ax^3 +bx^2 +cx+d|\: a,b, c,d\in\mathbb{R},d = 0\}\nonumber$$ $W$ є підпростором$P_3$?

Вправа$\PageIndex{67}$

$W$Дозволяти бути$P_3$ підмножиною заданого $$W = \{ p(x) = ax^3 +bx^2 +cx+d|\: a,b, c,d\in\mathbb{R}, p(2) = 1\}\nonumber$$ $W$ є підпростором$P_3$?

Вправа$\PageIndex{68}$

$\mathbb{P}_2\to\mathbb{R}$Дозволяти$T$: бути лінійним перетворенням таким, що $$T(x^2)=1;\: T(x^2+x)=5;\: T(x^2+x+1)=-1.\nonumber$$ Знайти$T(ax^2+bx+c)$.

Відповідь

За лінійності ми маємо$T(x^2 ) = 1,\: T(x) = T(x^2 +x−x^2 ) = T(x^2 +x)−T (x^2 ) = 5−1 = 5,$ і$T(1) = T(x^2 +x+1−(x^2 +x)) = T(x^2 +x+1)−T(x^2 +x)) = −1−5 = −6$. Таким чином$T(ax^2 +bx+c) = aT(x^2 ) +bT(x) +cT(1) = a+5b−6c$.

Вправа$\PageIndex{69}$

Розглянемо наступні функції$T$:$\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$. Поясніть, чому кожна з цих функцій не$T$ є лінійною.

1. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z+1 \\ 2y-3x+z\end{array}\right]$
2. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y^2+3z \\ 2y+3z+z\end{array}\right]$
3. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sin x+2y+3z \\ 2y+3z+z\end{array}\right]$
4. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y+3z-\ln z\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{70}$

$T$Припустимо, лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned} T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x})=A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{rrr}3&1&1\\3&2&3\\3&3&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&2&1\\5&2&1\\6&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}29&9&5\\46&13&8\\27&11&5\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{71}$

$T$Припустимо, лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned} T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-18\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}5\\2\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\15\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}2\\5\\-2\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x})=A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{rrr}5&3&2\\2&3&5\\5&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}11&4&1\\10&4&1\\12&3&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}109&38&10\\112&35&10\\81&34&8\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{72}$

Розглянемо наступні функції$T$:$\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$. Показати, що кожен є лінійним перетворенням і визначити для кожного матрицю$A$ таку, що$T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

1. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y-3x+z\end{array}\right]$
2. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7x+2y+z \\ 3x-11y+2z\end{array}\right]$
3. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x+2y+z \\ x+2y+6z\end{array}\right]$
4. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2y-5x+z \\ x+y+z\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{73}$

Припустимо, $$[A_1\cdots A_n]^{-1}\nonumber$$ існує там, де кожен$A_j\in\mathbb{R}^n$ і нехай вектори$\{B_1,\cdots ,B_n\}$ в$\mathbb{R}^m$ бути задані. Показати, що завжди існує лінійне перетворення$T$ таке, що$T(A_i)=B_i$.

Вправа$\PageIndex{74}$

$V$$W$Дозволяти і бути$\mathbb{R}^n$ підпростори і$\mathbb{R}^m$ відповідно і нехай$T$:$V → W$ бути лінійним перетворенням. Припустимо,$\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}$ що лінійно незалежний. Покажіть, що це повинен бути випадок, який також$\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}$ є лінійно незалежним.

Відповідь

Якщо$\sum\limits_i^ra_i\vec{v}_r=0$, то використовуючи властивості лінійності$T$ ми отримуємо $$0=T(0)=T\left(\sum\limits_i^ra_i\vec{v}_r\right)=\sum\limits_i^ra_iT(\vec{v}_r).\nonumber$$ Так як ми припускаємо, що$\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}$ є лінійно незалежним, ми повинні мати все$a_i = 0$, і тому робимо висновок,$\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}$ що також лінійно незалежний.

Вправа$\PageIndex{75}$

Нехай $$V=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\2\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ нехай$T\vec{x}=A\vec{x}$ де$A$ матриця $$\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&0\\0&1&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right]\nonumber$$ Дайте основу для$Im(T)$.

Вправа$\PageIndex{76}$

$$V=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}1\\4\\4\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ Нехай$T\vec{x}=A\vec{x}$ де$A$ є матриця $$\left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&1&1&0\\0&1&2&1\\1&1&1&2\end{array}\right]\nonumber$$ Знайти основу для$Im(T)$. При цьому вихідні вектори не утворюють самостійного множини.

Відповідь

Так як третій вектор є лінійними комбінаціями перших двох, то зображення третього вектора також буде лінійними комбінаціями зображення перших двох. Однак зображення перших двох векторів лінійно незалежні (перевірте!) , А значить, формують основу образу. Таким чином, основою для$Im(T)$ є: $$V=span\left\{\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\\3\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}4\\2\\4\\5\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{77}$

Якщо$\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}$ лінійно незалежний і$T$ є лінійним перетворенням один до одного, показати,$\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}$ що також лінійно незалежний. Наведіть приклад, який показує, що якщо$T$ є лише лінійним, може статися, що, хоча і$\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}$ є лінійно незалежним, не$\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\}$ є. Насправді, показати, що може статися, що кожен з$T\vec{v}_j$ дорівнює$0$.

Вправа$\PageIndex{78}$

$V$$W$Дозволяти і бути$\mathbb{R}^n$ підпростори і$\mathbb{R}^m$ відповідно і нехай$T$:$V → W$ бути лінійним перетворенням. Показати, що якщо$T$ є на$W$ і якщо$\{\vec{v}_1,\cdots ,\vec{v}_r\}$ є основою для$V$, то$span\{T\vec{v}_1,\cdots ,T\vec{v}_r\} = W$.

Вправа$\PageIndex{79}$

Визначте$T$:$\mathbb{R}^4 → \mathbb{R}^3$ наступним чином. $$T\vec{x}=\left[\begin{array}{rrrr}3&2&1&8\\2&2&-2&6\\1&1&-1&3\end{array}\right]\vec{x}\nonumber$$ Знайдіть основу для$Im(T)$. Також знайдіть основу для$\text{ker}(T)$.

Вправа$\PageIndex{80}$

Визначте$T$:$\mathbb{R}^4 → \mathbb{R}^3$ наступним чином. $$T\vec{x}=\left[\begin{array}{rrr}1&2&0\\1&1&1\\0&1&1\end{array}\right]\vec{x}\nonumber$$ де праворуч, це просто матричне множення вектора,$\vec{x}$ який мається на увазі. Поясніть, чому$T$ є ізоморфізм$\mathbb{R}^3$ до$\mathbb{R}^3$.

Вправа$\PageIndex{81}$

Припустимо$T$:$\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^3$ це лінійне перетворення,$A$ задане $$T\vec{x}=A\vec{x}\nonumber$$ де$3\times 3$ матриця. Покажіть, що$T$ є ізоморфізмом, якщо і тільки тоді, коли$A$ є оборотним.

Вправа$\PageIndex{82}$

Припустимо$T$:$\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^3$ це лінійне перетворення,$A$ задане $$T\vec{x}=A\vec{x}\nonumber$$ де$m\times n$ матриця. Покажіть,$T$ що ніколи не є ізоморфізмом, якщо$m\neq n$. Зокрема, показати, що якщо$m>n$,$T$ не може бути на і якщо$m<n$, то$T$ не може бути один до одного.

Вправа$\PageIndex{83}$

Визначте$T$:$\mathbb{R}^2 → \mathbb{R}^3$ наступним чином. $$T\vec{x}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\\0&1\end{array}\right]\vec{x}\nonumber$$ де праворуч, це просто матричне множення вектора,$\vec{x}$ який мається на увазі. Покажіть,$T$ що один до одного. Далі нехай$W = Im(T)$. Показати, що$T$ є ізоморфізмом$\mathbb{R}^2$ і$Im (T)$.

Вправа$\PageIndex{84}$

У наведеній вище задачі знайдіть$2\times 3$ матрицю$A$ таку, що обмеження$A$ to$Im(T)$ дає той же результат, що і$T^{−1}$ на$Im(T)$. Підказка: Ви можете дозволити$A$ бути таким, що $$A\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right],\:A\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ тепер знайти інший вектор,$\vec{v} ∈ \mathbb{R}^3$ такий, який $$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right],\:\vec{v}\right\}\nonumber$$ є основою. Ви можете вибрати, $$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\nonumber$$ наприклад. Поясніть, чому це працює або один на ваш вибір працює. Тоді ви можете визначити,$A\vec{v}$ щоб дорівнювати деякому вектору в$\mathbb{R}^2$. Поясніть, чому буде більше однієї такої матриці$A$, яка буде доставити зворотний ізоморфізм$T^{−1}$ на$Im(T)$.

Вправа$\PageIndex{85}$

Тепер нехай$V$ дорівнює$span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]\right\}$ і нехай$T$:$V\to W$ бути лінійним перетворенням де $$W=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ і $$T\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right],\:T\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\\1\end{array}\right]\nonumber$$

Поясніть$T$, чому виникає ізоморфізм. Визначте матрицю,$A$ яка при множенні на ліворуч дає той самий результат,$T$ що$V$ і матрицю$B$, яка подає$T^{−1}$ далі$W$. Підказка: Вам потрібно мати $$A\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\1&1\\0&1\end{array}\right]\nonumber$$

Тепер$\left[\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right]$ збільшуємо,$\left[\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right]$ щоб отримати основу для$\mathbb{R}^3$. Ви можете додати,$\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]$ наприклад, а потім вибрати інший вектор в$\mathbb{R}^4$ і нехай$A\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]$ дорівнює цьому іншому вектору. Тоді б у вас $$A\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\1&1&0\\0&1&1\end{array}\right]\nonumber$$

Це передбачало б вибір нового вектора в$\mathbb{R}^4$ векторі$\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1\end{array}\right]^T$. Тоді ви могли б знайти$A$. Ви можете зробити щось подібне, щоб знайти матрицю для$T^{-1}$ позначеного як$B$.

Вправа$\PageIndex{86}$

Нехай$V=\mathbb{R}^3$ і нехай $$W=span(S),\text{ where }S=\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-2\\2\\-2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\\3\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ Знайти основу$W$ складається з векторів в$S$.

Відповідь

У цьому випадку$\text{dim}(W) = 1$ і основу для складання$W$ векторів в$S$ можна отримати, взявши будь-який (ненульовий) вектор з$S$.

Вправа$\PageIndex{87}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber$$ Знайти основу для$\text{ker}(T)$ і$Im(T)$.

Відповідь

Основа для$\text{ker}(T)$ є$\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right]\right\}$ і основа для$Im(T)$ є$\left\{\left[\begin{array}{r}1\\1\end{array}\right]\right\}$. Є багато інших можливостей для конкретних баз, але в даному випадку$\text{dim}(\text{ker}(T)) = 1$ і$\text{dim}(Im(T)) = 1$.

Вправа$\PageIndex{88}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\nonumber$$ Знайти основу для$\text{ker}(T)$ і$Im(T)$.

Відповідь

У цьому випадку$\text{ker}(T) = \{0\}$ і$Im(T) = \mathbb{R}^2$ (підібрати будь-яку основу$\mathbb{R}^2$).

Вправа$\PageIndex{89}$

Нехай$V=\mathbb{R}^3$ і нехай $$W=span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\2\\-1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ Розширити цю основу$W$ до основи$V$.

Відповідь

Існує багато можливих таких розширень, одне є (звідки ми знаємо?) : $$\left\{\left[\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{90}$

$T$Дозволяти лінійне перетворення, задане $$T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber$$ What is$\text{dim}(\text{ker}(T))$?

Відповідь

Ми можемо легко це побачити, і$\text{dim}(Im(T)) = 1$, таким чином$\text{dim}(\text{ker}(T)) = 3−\text{dim}(Im(T)) = 3−1 = 2$.

Вправа$\PageIndex{91}$

Розглянемо наступні функції, які відображаються$\mathbb{R}^n$ на$\mathbb{R}^n$.

1. $T$множить$j$ той компонент$\vec{x}$ на ненульове число$b$.
2. $T$замінює компонент$i$ th$b$ раз на той$j$ компонент, доданий до компонента$i$ h.$\vec{x}$
3. $T$перемикає$i$ й і$j$ ті компоненти.

Покажіть ці функції лінійних перетворень і опишіть їх матриці$A$ такі, що$T (\vec{x}) = A\vec{x}$.

Відповідь

1. Матриця$T$ - це елементарна матриця, яка множить$j$ діагональний запис матриці ідентичності на$b$.
2. Матриця$T$ - це елементарна матриця, яка займає$b$ 3 рази$j$ від го рядка і додає до$i$ го рядка.
3. Матриця$T$ - це елементарна матриця, яка перемикає$i$ th та$j$ th рядки, де дві складові знаходяться в$i$ th та$j$ th положеннях.

Вправа$\PageIndex{92}$

Вам дається лінійне перетворення$T$:$\mathbb{R}^n → \mathbb{R}^m$ і ви знаєте, що $$T(A_i)=B_i\nonumber$$ де$\left[\begin{array}{ccc}A_1&\cdots&A_n\end{array}\right]^{-1}$ існує. Показати, що$T$ матриця має вигляд $$\left[\begin{array}{ccc}B_1&\cdots&B_n\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}A_1&\cdots&A_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber$$

Відповідь

Припустимо $$\left[\begin{array}{c}\vec{c}_1^T \\ \vdots \\ \vec{c}_n^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber$$ , таким чином$\vec{c}_i^T\vec{a}_j=\delta_{ij}$. Тому $$\begin{aligned} \left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\: \left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\vec{a}_i &=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}\vec{c}_1^T \\ \vdots \\ \vec{c}_n^T\end{array}\right] \vec{a}_i \\ &=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right] \vec{e}_i \\ &=\vec{b}_i\end{aligned}$$ Таким чином$T\vec{a}_i=\left[\begin{array}{ccc}\vec{b}_1&\cdots&\vec{b}_n\end{array}\right]\: \left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]^{-1}\vec{a}_i=A\vec{a}_i$. Якщо$\vec{x}$ довільна, то так як матриця$\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]$ є оборотною, існує унікальна$\vec{y}$ така, що$\left[\begin{array}{ccc}\vec{a}_1&\cdots&\vec{a}_n\end{array}\right]\vec{y}=\vec{x}$ Звідси $$T\vec{x}=T\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i\vec{a}_i\right)=\sum\limits_{i=1}^ny_iT\vec{a}_i=\sum\limits_{i=1}^ny_1A\vec{a}_i=A\left(\sum\limits_{i=1}^ny_i\vec{a}_i\right)=A\vec{x}\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{93}$

$T$Припустимо, лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}5\\1\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\5\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\1\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\3\\-2\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{rrr}5&1&5\\1&1&3\\3&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\2&2&1\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}37&17&11\\17&7&5\\11&14&6\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{94}$

$T$Припустимо, лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-8\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\3\\1\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}2\\4\\1\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\3\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}6\\1\\-1\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{rrr}1&2&6\\3&4&1\\1&1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&3&1\\5&3&1\\6&2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}52&21&9\\44&23&8\\5&4&1\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{95}$

$T$Припустимо, лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\3\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}-3\\1\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{4}1\\3\\-3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}5\\3\\-3\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{rrr}-3&1&5\\1&3&3\\3&-3&-3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\1&2&1\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}15&1&3\\17&11&7\\-9&-3&-3\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{96}$

$T$Припустимо, лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\1\\-7\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\0\\6\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\2\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}1\\3\\-1\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{rrr}3&1&1\\3&2&3\\3&3&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6&2&1\\5&2&1\\6&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}29&9&5\\46&13&8\\27&11&5\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{97}$

$T$Припустимо, лінійне перетворення таке, що $$\begin{aligned}T\left[\begin{array}{r}1\\2\\-18\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}5\\2\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\15\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\3\\5\end{array}\right] \\ T\left[\begin{array}{r}0\\-1\\4\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{r}2\\5\\-2\end{array}\right]\end{aligned}$$ знайти матрицю$T$. Тобто знайти$A$ таке, що$T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

Відповідь

$$\left[\begin{array}{rrr}5&3&2\\2&3&5\\5&5&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}11&4&1\\10&4&1\\12&3&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}109&38&10 \\112&35&10\\81&34&8\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{98}$

Розглянемо наступні функції$T$:$\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2$. Показати, що кожен є лінійним перетворенням і визначити для кожного матрицю$A$ таку, що$T(\vec{x}) = A\vec{x}$.

1. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y-3x+z\end{array}\right]$
2. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7x+2y+z \\ 3x-11y+2z\end{array}\right]$
3. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x+2y+z \\ x+2y+6z\end{array}\right]$
4. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2y-5x+z \\ x+y+z\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{99}$

Розглянемо наступні функції$T$:$\mathbb{R}^3 → \mathbb{R}^2$. Поясніть, чому кожна з цих функцій не$T$ є лінійною.

1. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z+1 \\ 2y-3x+z\end{array}\right]$
2. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y^2+3z \\ 2y+3x+z\end{array}\right]$
3. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sin x+2y+3z \\ 2y+3x+z\end{array}\right]$
4. $T\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x+2y+3z \\ 2y+3x-\ln z\end{array}\right]$

Вправа$\PageIndex{100}$

Припустимо, $$\left[\begin{array}{ccc}A_1&\cdots&A_n\end{array}\right]^{-1}\nonumber$$ існує там, де кожен$A_j ∈ \mathbb{R}^n$ і нехай вектори$\{B_1,\cdots ,B_n\}$ в$\mathbb{R}^m$ бути задані. Показати, що завжди існує лінійне перетворення$T$ таке, що$T(A_i) = B_i$.

Вправа$\PageIndex{101}$

Знайдіть матрицю для$T (\vec{w}) = \text{proj}_{\vec{v}} (\vec{w})$ де$\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&-2&3\end{array}\right]^T$.

Відповідь

Нагадаємо, що$\text{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v}\bullet\vec{u}}{||\vec{u}||^2}\vec{u}$ і так потрібна матриця має$i$ стовпець, рівний$\text{proj}_{\vec{u}} (\vec{e}_i)$. Тому бажана матриця $$\frac{1}{14}\left[\begin{array}{rrr}1&-2&3\\-2&4&-6\\3&-6&9\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{102}$

Знайдіть матрицю для$T (\vec{w}) = \text{proj}_{\vec{v}} (\vec{w})$ де$\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&5&3\end{array}\right]^T$.

Відповідь

$$\frac{1}{35}\left[\begin{array}{ccc}1&5&3\\5&25&15\\3&15&9\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{103}$

Знайдіть матрицю для$T (\vec{w}) = \text{proj}_{\vec{v}} (\vec{w})$ де$\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\end{array}\right]^T$.

Відповідь

$$\frac{1}{10}\left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&0&0\\3&0&9\end{array}\right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{104}$

$B=\left\{\left[\begin{array}{r}2\\-1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}3\\2\end{array}\right]\right\}$Дозволяти бути основою$\mathbb{R}^2$ і нехай$\vec{x}=\left[\begin{array}{r}5\\-7\end{array}\right]$ бути вектор в$\mathbb{R}^2$. Знайти$C_B(\vec{x})$.

Вправа$\PageIndex{105}$

$B=\left\{\left[\begin{array}{r}1\\-1\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}2\\1\\2\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\0\\2\end{array}\right]\right\}$Дозволяти бути основою$\mathbb{R}^3$ і нехай$\vec{x}=\left[\begin{array}{r}5\\-1\\4\end{array}\right]$ бути вектор в$\mathbb{R}^2$. Знайти$C_B(\vec{x})$.

Відповідь

$C_B(\vec{x})=\left[\begin{array}{r}2\\1\\-1\end{array}\right]$.

Вправа$\PageIndex{106}$

$\mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}^2$Дозволяти$T$: бути лінійним перетворенням, визначеним$T\left(\left[\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}a+b\\a-b\end{array}\right]$.

Розглянемо дві основи $$B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}-1\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ і $$B_2=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{r}1\\-1\end{array}\right]\right\}\nonumber$$ знайдемо матрицю$M_{B_2,B_1}$ по$T$ відношенню до основ$B_1$ і$B_2$.

Відповідь

$M_{B_2B_1}=\left[\begin{array}{rr}1&0\\-1&1\end{array}\right]$