7.E: Вправи
- Page ID
- 63230
Якщо\(A\) є оборотною\(n\times n\) матрицею, порівняйте власні значення\(A\) і\(A^{−1}\). Більш загально, для\(m\) довільного цілого числа порівняйте власні значення\(A\) і\(A^m\).
- Відповідь
-
\(A^mX = λ^mX\)для будь-якого цілого числа. У випадку з\(−1,\: A^{−1}λX = AA^{−1}X = X\) так\(A^{−1}X = λ^{−1}X\). Таким чином, власні значення з\(A^{−1}\) тільки\(λ^{-1}\) де\(λ\) є власним значенням\(A\).
Якщо\(A\) є\(n\times n\) матрицею і\(c\) є ненульовою константою, порівняйте власні значення\(A\) і\(cA\).
- Відповідь
-
Скажіть\(AX = λX\). Тоді\(cAX = cλX\) і так власні значення\(cA\) тільки\(cλ\) де\(λ\) є власним значенням\(A\).
\(A,\: B\)Дозволяти бути оборотні\(n\times n\) матриці, які комутують. Тобто,\(AB = BA\). Припустимо,\(X\) є власним вектором\(B\). Показати, що тоді також\(AX\) має бути власним вектором для\(B\).
- Відповідь
-
\(BAX = ABX = AλX = λAX\). Тут передбачається, що\(BX = λX\).
Припустимо,\(A\) це\(n\times n\) матриця, і вона задовольняє\(A^m = A\) для деяких\(m\) додатне ціле число більше, ніж\(1\). Показати, що якщо\(λ\) є власним значенням,\(A\) то\(|λ|\) дорівнює або\(0\) або\(1\).
- Відповідь
-
\(X\)Дозволяти бути власним вектором. Тоді\(A^mX = λ^mX,\: A^mX = AX = λX\) і так\[\lambda^m=\lambda\nonumber\] Звідси якщо\(\lambda\neq 0\), то\[\lambda^{m-1}=1\nonumber\] і так\(|\lambda|=1\).
Покажіть, що якщо\(AX = λX\) і\(AY = λY\), то всякий раз, коли\(k,\: p\) є скалярами,\[A(kX+pY)=\lambda (kX+pY)\nonumber\] Чи означає це, що\(kX+pY\) є власним вектором? Поясніть.
- Відповідь
-
Формула випливає з властивостей матричних множень. Однак цей вектор не може бути власним вектором, оскільки він може дорівнювати,\(0\) а власні вектори не можуть дорівнювати\(0\).
Припустимо,\(A\) це\(3\times 3\) матриця і доступна наступна інформація. \[\begin{aligned}A\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-1\end{array}\right]&=0\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]&=-2\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{r}-2\\-3\\-2\end{array}\right]&=-2\left[\begin{array}{r}-2\\-3\\-2\end{array}\right]\end{aligned}\]Знайти\(A\left[\begin{array}{r}1\\-4\\3\end{array}\right]\).
Припустимо,\(A\) це\(3\times 3\) матриця і доступна наступна інформація. \[\begin{aligned}A\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\-2\end{array}\right]&=1\left[\begin{array}{r}-1\\-2\\-2\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]&=0\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\-3\end{array}\right]&=2\left[\begin{array}{r}-1\\-4\\-3\end{array}\right]\end{aligned}\]Знайти\(A\left[\begin{array}{r}3\\-4\\3\end{array}\right]\).
Припустимо,\(A\) це\(3\times 3\) матриця і доступна наступна інформація. \[\begin{aligned}A\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-1\end{array}\right]&=2\left[\begin{array}{r}0\\-1\\-1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]&=1\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right] \\ A\left[\begin{array}{r}-3\\-5\\-4\end{array}\right]&=-3\left[\begin{array}{r}-3\\-5\\-4\end{array}\right]\end{aligned}\]Знайти\(A\left[\begin{array}{r}2\\-3\\3\end{array}\right]\).
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}-6&-92&12 \\ 0&0&0\\-2&-31&4\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(-2\).
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}-2&-17&-6 \\ 0&0&0\\1&9&3\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(1\).
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}9&2&8 \\ 2&-6&-2 \\ -8&2&-5\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(-3\).
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}6&76&16 \\ -2&-21&-4 \\ 2&64&17\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(-2\).
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}3&5&2 \\ -8&-11&-4 \\ 10&11&3\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(-3\).
Чи можливо, щоб ненульова матриця мала тільки\(0\) як власне значення?
- Відповідь
-
Так. \(\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right]\)твори.
Якщо\(A\) матриця лінійного перетворення, яка обертає всі вектори\(\mathbb{R}^2\) наскрізь\(60^{\circ}\), поясніть, чому\(A\) не може мати реальних власних значень. Чи існує такий кут, що поворот через цей кут мав би реальне власне значення? Які власні значення можна було б отримати таким чином?
\(A\)Дозволяти\(2\times 2\) матриця лінійного перетворення, яка обертає всі вектори\(\mathbb{R}^2\) через кут\(θ\). Для яких значень\(θ\)\(A\) має дійсне власне значення?
- Відповідь
-
Коли ви думаєте про це геометрично, зрозуміло, що тільки два значення\(θ\) є\(0\) і\(π\) або вони додаються до цілих кратних\(2π\).
\(T\)Дозволяти лінійне перетворення, яке відображає вектори навколо\(x\) осі. Знайдіть матрицю для,\(T\) а потім знайдіть її власні значення та власні вектори.
- Відповідь
-
Матриця\(T\) є\(\left[\begin{array}{rr}1&0\\0&-1\end{array}\right]\). У власних векторах і власних значеннях є:\[\left\{\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right\}↔ -1,\:\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}↔1\nonumber\]
\(T\)Дозволяти лінійне перетворення, яке обертає всі вектори\(\mathbb{R}^2\) проти годинникової стрілки через кут\(π/2\). Знайдіть матрицю,\(T\) а потім знайдіть власні значення та власні вектори.
- Відповідь
-
Матриця\(T\) є\(\left[\begin{array}{rr}0&-1\\1&0\end{array}\right]\). У власних векторах і власних значеннях є:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-i\\1\end{array}\right]\right\}↔ -i,\:\left\{\left[\begin{array}{c}i\\1\end{array}\right]\right\}↔i\nonumber\]
\(T\)Дозволяти лінійне перетворення, яке відображає всі вектори\(\mathbb{R}^3\) через\(xy\) площину. Знайдіть матрицю для,\(T\) а потім отримайте її власні значення та власні вектори.
- Відповідь
-
Матриця\(T\) є\(\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right]\). У власних векторах і власних значеннях є:\[\left\{\left[\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right]\right\}↔-1,\:\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right],\:\left[\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right]\right\}↔1\nonumber\]
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}5&-18&-32\\0&5&4\\2&-5&-11\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(1\). Діагональ, якщо це можливо.
- Відповідь
-
У власних значеннях є\(−1,−1, 1\). Власні вектори, що відповідають власним значенням:\[\left\{\left[\begin{array}{r}10&-2&3\end{array}\right]\right\}↔-1,\:\left\{\left[\begin{array}{r}7\\-2\\2\end{array}\right]\right\}↔1\nonumber\] Тому ця матриця не піддається діагоналізації.
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}-12&-28&28\\4&9&-8\\-4&-8&9\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(3\). Діагональ, якщо це можливо.
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}2\\0\\1\end{array}\right]\right\}↔1,\:\left\{\left[\begin{array}{r}-2\\1\\0\end{array}\right]\right\}↔1,\:\left\{\left[\begin{array}{r}7\\-2\\2\end{array}\right]\right\}↔3\nonumber\] Матриця,\(P\) необхідна для діагоналізації наведеної вище матриці,\[\left[\begin{array}{rrr}2&-2&7\\0&1&-2\\1&0&2\end{array}\right]\nonumber\] а діагональна\(D\) матриця\[\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{array}\right]\nonumber\]
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}89&38&268\\14&2&40\\-30&-12&-90\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(-3\). Діагональ, якщо це можливо.
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-6\\-1\\-2\end{array}\right]\right\}↔6,\:\left\{\left[\begin{array}{r}-5\\-2\\2\end{array}\right]\right\}↔-3,\:\left\{\left[\begin{array}{r}-8\\-2\\3\end{array}\right]\right\}↔2\nonumber\] Матриця,\(P\) необхідна для діагоналізації наведеної вище матриці,\[\left[\begin{array}{rrr}-6&-5&-8\\-1&-2&-2\\2&2&3\end{array}\right]\nonumber\] а діагональна\(D\) матриця\[\left[\begin{array}{rrr}6&0&0\\0&-3&0\\0&0&-2\end{array}\right]\nonumber\]
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}1&90&0\\0&-2&0\\3&89&-2\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(1\). Діагональ, якщо це можливо.
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}11&45&30\\10&26&20\\-20&-60&-44\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(1\). Діагональ, якщо це можливо.
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}95&25&24\\-196&-53&-48\\-164&-42&-43\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(5\). Діагональ, якщо це можливо.
Припустимо,\(A\) це\(n\times n\) матриця і нехай\(V\) буде власнийвектор такий, що\(AV = λV\). Також припустимо, що характерний многочлен\(A\) є\[\det (xI-A)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\nonumber\] Поясніть,\(A\) чому\[(A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots +a_1A+a_0I)V=0\nonumber\] Якщо діагонально, дайте доказ теореми Кейлі Гамільтона, заснованої на цьому. Ця теорема говорить, що\(A\) задовольняє її характеристичне рівняння\[A^n+a_{n-1}A^{n-1}+\cdots +a_1A+a_0I=0\nonumber\]
Припустимо, характерний многочлен\(n\times n\) матриці\(A\) є\(1−X^n\). Знайти\(A^{mn}\) де\(m\) ціле число.
- Відповідь
-
Власні значення є різними, оскільки вони є\(n\) корінням\(1\). Отже\(X\), якщо є заданим вектором з\[X=\sum\limits_{j=1}^na_jV_j\nonumber\] то\[A^{nm}X=A^{nm}\sum\limits_{j=1}^na_jV_j=\sum\limits_{j=1}^na_jA^{nm}V_j=\sum\limits_{j=1}^na_jV_j=X\nonumber\] так\(A^{nm}=I\).
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}15&-24&7\\-6&5&-1\\-58&76&-20\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(−2\). Діагональ, якщо це можливо. Підказка: Цей має деякі складні власні значення.
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}15&-25&6\\-13&23&-4\\-91&155&-30\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(2\). Діагональ, якщо це можливо. Підказка: Цей має деякі складні власні значення.
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}-11&-12&4\\8&17&-4\\-4&28&-3\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(1\). Діагональ, якщо це можливо. Підказка: Цей має деякі складні власні значення.
Знайти власні значення та власні вектори матриці\[\left[\begin{array}{rrr}14&-12&5\\-6&2&-1\\-69&51&-21\end{array}\right]\nonumber\] One sigenvalue is\(−3\). Діагональ, якщо це можливо. Підказка: Цей має деякі складні власні значення.
Припустимо,\(A\) це\(n\times n\) матриця, що складається повністю з дійсних записів, але\(a + ib\) являє собою складне власне значення, що має власний вектор,\(X +iY\) Тут\(X\) і\(Y\) є дійсними векторами. Показати, що тоді також\(a−ib\) є власним значенням з власним вектором,\(X − iY\). Підказка: Слід пам'ятати, що сполучення добутку комплексних чисел дорівнює добутку сполучених. \(a+ib\)Ось комплексне число, спряжене число якого дорівнює\(a−ib\).
- Відповідь
-
\(AX = (a+ib)X\). Тепер візьміть сполучення обох сторін. Так\(A\) як реально,\[A\overline{X}=(a-ib)\overline{X}\nonumber\]
Нехай\(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right]\). Діагональ\(A\), щоб знайти\(A^{10}\).
- Відповідь
-
Спочатку пишемо\(A=PDP^{-1}\). \[\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}-1&0\\0&3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right]\nonumber\]Тому\(A^{10}=PD^{10}P^{-1}\). \[\begin{aligned}\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right]^{10}&=\left[\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}-1&0\\0&3\end{array}\right]^{10}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{rr}-1&1\\1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}(-1)^{10}&0\\0&3^{10}\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{rr}29525&29524 \\ 29524&29525\end{array}\right]\end{aligned}\]
Нехай\(A=\left[\begin{array}{ccc}1&4&1\\0&2&5\\0&0&5\end{array}\right]\). Діагональ\(A\), щоб знайти\(A^{50}\).
Нехай\(A=\left[\begin{array}{rrr}1&-2&-1\\2&-1&1\\-2&3&1\end{array}\right]\). Діагональ\(A\), щоб знайти\(A^{100}\).
Нижче наведено матрицю Маркова (міграції) для трьох локацій\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{7}{10}&\frac{1}{9}&\frac{1}{5} \\ \frac{1}{10}&\frac{7}{9}&\frac{2}{5} \\ \frac{1}{5}&\frac{1}{9}&\frac{2}{5}\end{array}\right]\nonumber\]
- Спочатку є\(90\) люди як\(1,\: 81\) за місцем розташування\(2\), так і\(85\) за місцем розташування\(3\). Скільки їх у кожній локації після одного періоду часу?
- Загальна кількість осіб в міграційному процесі становить\(256\). Через довгий час, скільки в кожній локації?
- Відповідь
-
- Помножте задану матрицю на початковий вектор стану, заданий на\(\left[\begin{array}{c}90\\81\\85\end{array}\right]\). Після одного періоду часу є\(89\) люди в місці\(1\),\(106\) в місці\(2\), і\(61\) в місці розташування\(3\).
- Вирішити систему, задану\((I − A)X_s = 0\) де\(A\) матриця міграції і\(X_s=\left[\begin{array}{c}x_{1s} \\ x_{2s} \\ x_{3s}\end{array}\right]\) є вектором сталого стану. Рішення цієї системи дається\[\begin{aligned}x_{1s}&=\frac{8}{5}x_{3s} \\ x_{2s}&=\frac{63}{25}x_{3s}\end{aligned}\] дозволяючи\(x_{3s} = t\) і використовуючи той факт, що існує загальна кількість\(256\) людей, ми повинні вирішити\[\frac{8}{5}t+\frac{63}{25}t+t=256\nonumber\] Ми це знаходимо\(t = 50\). Тому після довгого часу є\(80\) люди в локації і\(1,\: 126\) за місцем розташування\(2\), і\(50\) за місцем розташування\(3\).
Нижче наведено матрицю Маркова (міграції) для трьох локацій\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}&\frac{2}{5} \\ \frac{2}{5}&\frac{2}{5}&\frac{1}{5} \\ \frac{2}{5}&\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\end{array}\right]\nonumber\]
- Спочатку зустрічаються\(130\) особини як\(1,\: 300\) за місцем розташування\(2\), так і\(70\) за місцем розташування\(3\). Скільки їх у кожній локації після двох часових періодів?
- Загальна кількість осіб в міграційному процесі становить\(500\). Через довгий час, скільки в кожній локації?
Нижче наведено матрицю Маркова (міграції) для трьох місць\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{10}&\frac{3}{8}&\frac{1}{3} \\ \frac{1}{10}&\frac{3}{8}&\frac{1}{3} \\ \frac{3}{5}&\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\end{array}\right]\nonumber\]. Загальна кількість осіб у процесі міграції становить\(480\). Через довгий час, скільки в кожній локації?
- Відповідь
-
\((I −A)X_s = 0\)Вирішуємо знайти вектор сталого стану\(X_s=\left[\begin{array}{c}x_{1s} \\ x_{2s} \\ x_{3s}\end{array}\right]\). Рішення системи дається\[\begin{aligned}x_{1s}&=\frac{5}{6}x_{3s} \\ x_{2s}&=\frac{2}{3}x_{3s}\end{aligned}\] дозволяючи\(x_{3s} = t\) і використовуючи той факт, що існує загальна кількість\(480\) людей, ми повинні вирішити\[\frac{5}{6}t+\frac{2}{3}t+t=480\nonumber\] Ми це знаходимо\(t = 192\). Тому після довгого часу є\(160\) люди в локації і\(1,\: 128\) за місцем розташування\(2\), і\(192\) за місцем розташування\(3\).
Нижче наведено матрицю Маркова (міграції) для трьох місць\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{10}&\frac{1}{3}&\frac{1}{5} \\ \frac{3}{10}&\frac{1}{3}&\frac{7}{10} \\ \frac{2}{5}&\frac{1}{3}&\frac{1}{10}\end{array}\right]\nonumber\]. Загальна кількість осіб у процесі міграції становить\(1155\). Через довгий час, скільки в кожній локації?
Нижче наведено матрицю Маркова (міграції) для трьох місць\[\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}&\frac{1}{8} \\ \frac{3}{10}&\frac{2}{5}&\frac{5}{8} \\ \frac{3}{10}&\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{array}\right]\nonumber\]. Загальна кількість осіб у процесі міграції становить\(704\). Через довгий час, скільки в кожній локації?
Людина відправляється на випадкову прогулянку з трьома можливими локаціями. Марковська матриця ймовірностей\(A = [a_{ij}]\) задається\[\left[\begin{array}{ccc}0.1&0.3&0.7 \\ 0.1&0.3&0.2\\0.8&0.4&0.1\end{array}\right]\nonumber\] якщо ходок починається в локації\(2\), яка ймовірність закінчуватися назад\(2\) у локації в часі\(n = 3\)?
- Відповідь
-
\[X_3=\left[\begin{array}{c}0.38\\0.18\\0.44\end{array}\right]\nonumber\]Тому ймовірність опинитися назад в місці\(2\) є\(0.18\).
Людина відправляється на випадкову прогулянку з трьома можливими локаціями. Марковська матриця ймовірностей\(A = [a_{ij}]\) дається Невідомо, де починається ходок, але ймовірність старту в кожній локації задається\[X_0=\left[\begin{array}{r}0.2\\0.25\\0.55\end{array}\right]\nonumber\] Яка ймовірність того, що ходок знаходиться в локації в\(1\) момент часу\(n = 2\)?\[\left[\begin{array}{ccc}0.5&0.1&0.6\\0.2&0.9&0.2\\0.3&0&0.2\end{array}\right]\nonumber\]
- Відповідь
-
\[X_2=\left[\begin{array}{r}0.367\\0.4625\\0.1705\end{array}\right]\nonumber\]Тому ймовірність опинитися в місці\(1\) є\(0.367\).
Ви володієте компанією з прокату причепів у великому місті, і у вас є чотири місця: одне на південному сході, одне на північному сході, одне на північному заході та одне на південному заході. Позначте ці місця відповідно SE, NE, NW та SW. Припустимо, що наступна таблиця дотримується, щоб мати місце.
| SE | NE | NW | SW | |
|---|---|---|---|---|
| SE | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| NE | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{7}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{10}\) |
| NW | \(\frac{2}{9}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| SW | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{2}\) |
У цій таблиці ймовірність того, що трейлер, що починається з NE, закінчується на північному заході, становить\(1/10\), the probability that a trailer starting at SW ends in NW is \(1/5\), and so forth. Approximately how many will you have in each location after a long time if the total number of trailers is \(413\)?
- Відповідь
-
Матриця міграції полягає в тому,\[A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{3}&\frac{1}{10}&\frac{1}{10}&\frac{1}{5} \\ \frac{1}{3}&\frac{7}{10}&\frac{1}{5}&\frac{1}{10} \\ \frac{2}{9}&\frac{1}{10}&\frac{3}{5}&\frac{1}{5} \\ \frac{1}{9}&\frac{1}{10}&\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\end{array}\right]\nonumber\] щоб знайти кількість причепів у кожному місці після довгого часу ми вирішуємо систему\((I − A)X_s = 0\) для вектора сталого стану\(X_s=\left[\begin{array}{c}x_{1s} \\ x_{2s} \\ x_{3s} \\ x_{4s}\end{array}\right]\). Рішення системи -\[\begin{aligned} x_{1s}&=\frac{9}{10}x_{4s} \\ x_{2s}&=\frac{12}{5}x_{4s} \\ x_{3s}&=\frac{8}{5}x_{4s}\end{aligned}\] Дозволяючи\(x_{4s} = t\) і використовуючи той факт, що є загальна кількість\(413\) причепів, які ми повинні вирішити\[\frac{9}{10}t+\frac{12}{5}t+\frac{8}{5}t+t=413\nonumber\] Ми знаходимо це\(t = 70\). Тому через тривалий час є\(63\) причепи на SE, на\(168\) СВ, на\(112\) Північному заході і\(70\) в SW.
Ви володієте компанією з прокату причепів у великому місті, і у вас є чотири місця: одне на південному сході, одне на північному сході, одне на північному заході та одне на південному заході. Позначте ці місця відповідно SE, NE, NW та SW. Припустимо, що наступна таблиця дотримується, щоб мати місце.
| SE | NE | NW | SW | |
|---|---|---|---|---|
| SE | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| NE | \(\frac{2}{7}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{10}\) |
| NW | \(\frac{1}{7}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| SW | \(\frac{3}{7}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{2}\) |
У цій таблиці ймовірність того, що трейлер, що починається на NE, закінчується на NW, становить 1/10, ймовірність того, що трейлер, що починається на SW, закінчується на NW, становить 1/5 тощо. Приблизно скільки у вас буде в кожній локації через довгий час, якщо загальна кількість причепів становить 1 4 6 9.
Наступна таблиця описує ймовірності переходу між державами дощовим, мінливою хмарністю і сонячним. Символ p.c. вказує мінлива хмарність. Таким чином, якщо він починається з pc. він закінчується сонячним наступного дня з ймовірністю\(\frac{1}{5}\). Якщо він починається сонячно, він закінчується сонячним наступного дня з\(\frac{2}{5}\) ймовірністю тощо.
| дощі | сонячний | п.с. | |
|---|---|---|---|
| дощі | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| сонячний | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| п.с. | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) |
З огляду на цю інформацію, які ймовірності того, що даний день дощовий, сонячний або мінлива хмарність?
Наступна таблиця описує ймовірності переходу між державами дощовим, мінливою хмарністю і сонячним. Символ p.c. вказує мінлива хмарність. Таким чином, якщо він починається з pc. він закінчується сонячним наступного дня з ймовірністю\(\frac{1}{10}\). Якщо він починається сонячно, він закінчується сонячним наступного дня з\(\frac{2}{5}\) ймовірністю тощо.
| дощі | сонячний | п.с. | |
|---|---|---|---|
| дощі | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| сонячний | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{4}{9}\) |
| п.с. | \(\frac{7}{10}\) | \(\frac{2}{5}\) | \(\frac{2}{9}\) |
З огляду на цю інформацію, які ймовірності того, що даний день дощовий, сонячний або мінлива хмарність?
Ви володієте компанією з прокату причепів у великому місті, і у вас є чотири місця: одне на південному сході, одне на північному сході, одне на північному заході та одне на південному заході. Позначте ці місця відповідно SE, NE, NW та SW. Припустимо, що наступна таблиця дотримується, щоб мати місце.
| SE | NE | NW | SW | |
|---|---|---|---|---|
| SE | \(\frac{5}{11}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| NE | \(\frac{1}{11}\) | \(\frac{7}{10}\) | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{10}\) |
| NW | \(\frac{2}{11}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{5}\) |
| SW | \(\frac{3}{11}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{1}{2}\) |
У цій таблиці ймовірність того, що трейлер, що починається на NE, закінчується на NW, становить 1/10, ймовірність того, що трейлер, що починається на SW, закінчується на NW, становить 1/5 тощо. Приблизно скільки у вас буде в кожній локації через довгий час, якщо загальна кількість причепів 407?
Університет Пухба пропонує три програми ступеня, скаутська освіта (SE), оцінка танцю (DA) та інженерія (E). Визначено, що ймовірності переходу з однієї програми на іншу такі, як у наступній таблиці.
| SE | ДА | Е | |
|---|---|---|---|
| SE | \(.8\) | \(.1\) | \(.3\) |
| ДА | \(.1\) | \(.7\) | \(.5\) |
| Е | \(.1\) | \(.2\) | \(.2\) |
де число вказує на ймовірність переходу з верхньої програми в програму зліва. Таким чином, ймовірність переходу від DA до E є\(.2\). Знайдіть ймовірність того, що студент зарахований на різні програми.
У місті Набаль є три політичних переконання, республіканці (R), демократи (D), і жодна (N). Наступна таблиця показує ймовірності переходу між політичними партіями, верхній ряд - початкова політична партія, а бічний ряд - політична приналежність наступного року.
| R | D | N | |
|---|---|---|---|
| R | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{2}{7}\) |
| D | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{4}{7}\) |
| N | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{7}\) |
Знайдіть ймовірності того, що людина буде ототожнюватися з різними політичними переконанням. Яка партія в кінцевому підсумку стане найважливішою?
Наступна таблиця описує ймовірності переходу між державами дощовим, мінливою хмарністю і сонячним. Символ p.c. вказує мінлива хмарність. Таким чином, якщо він починається з pc. він закінчується сонячним наступного дня з ймовірністю\(\frac{1}{5}\). Якщо він починається сонячно, він закінчується сонячним наступного дня з\(\frac{2}{7}\) ймовірністю тощо.
| дощі | сонячний | п.с. | |
|---|---|---|---|
| дощі | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{2}{7}\) | \(\frac{5}{9}\) |
| сонячний | \(\frac{1}{5}\) | \(\frac{2}{7}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| п.с. | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{3}{7}\) | \(\frac{1}{9}\) |
З огляду на цю інформацію, які ймовірності того, що даний день дощовий, сонячний або мінлива хмарність?
Знайти розв'язок початкової задачі значення\[\begin{aligned}\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]'&=\left[\begin{array}{rr}0&-1\\6&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x(0) \\ y(0)\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}2\\2\end{array}\right]\end{aligned}\] Підказка: сформуйте експоненціальну матрицю,\(e^{At}\) а потім розв'язуйте,\(e^{At}C\) де\(C\) знаходиться початковий вектор,
- Відповідь
-
Рішення є\[e^{At}C=\left[\begin{array}{c}8e^{2t}-6e^{3t} \\ 18e^{3t}-16e^{2t}\end{array}\right]\nonumber\]
Знайдіть розв'язок початкової задачі про значення\[\begin{aligned}\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]'&=\left[\begin{array}{rr}-4&-3\\6&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x(0) \\ y(0)\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}3\\4\end{array}\right]\end{aligned}\] Підказка: сформуйте експоненціальну матрицю,\(e^{At}\) а потім розв'язуйте,\(e^{At}C\) де\(C\) знаходиться початковий вектор.
Знайдіть розв'язок початкової задачі про значення\[\begin{aligned}\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]'&=\left[\begin{array}{rr}-1&2\\-4&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}x(0) \\ y(0)\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}2\\2\end{array}\right]\end{aligned}\] Підказка: сформуйте експоненціальну матрицю,\(e^{At}\) а потім розв'язуйте,\(e^{At}C\) де\(C\) знаходиться початковий вектор.
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}11&-1&-4 \\ -1&11&-4\\-4&-4&14\end{array}\right]\nonumber\]Підказка: Два власних значення -\(12\) і\(18\).
- Відповідь
-
У власних векторах і власних значеннях є:\[\left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 6,\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}-1\\1\\0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 12,\left\{\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\2\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 18\nonumber\]
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}4&1&-2\\1&4&-2\\-2&-2&7\end{array}\right]\nonumber\]Підказка: Одне з власних значень\(3\).
- Відповідь
-
У власних векторах і власних значеннях є:\[\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r}-1\\1\\0\end{array}\right],\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 3,\left\{\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{r}-1\\-1\\2\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 9\nonumber\]
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). Діагональ\(A\) шляхом знаходження ортогональної матриці\(U\) і діагональної матриці\(D\) такі, що\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right]\nonumber\]Підказка: Одне з власних значень\(-2\).
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow -2\nonumber\]\[\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}/3&-\sqrt{2}/2&-\sqrt{6}/6 \\ \sqrt{3}/3&\sqrt{2}/2&-\sqrt{6}/6 \\ \sqrt{3}/3&0&\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{rrr}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{array}\right]\nonumber\]\[\left[\begin{array}{c}\sqrt{3}/3&-\sqrt{2}/2&-\sqrt{6}/6 \\ \sqrt{3}/3&\sqrt{2}/2&-\sqrt{6}/6 \\ \sqrt{3}/3&0&\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber\]\[=\left[\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{array}\right]\nonumber\]
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). Діагональ\(A\) шляхом знаходження ортогональної матриці\(U\) і діагональної матриці\(D\) такі, що\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}17&-7&-4 \\ -7&17&-4 \\ -4&-4&14\end{array}\right]\nonumber\]Підказка: Два власних значення -\(18\) і\(24\).
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 6,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 18,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 24\nonumber\] Матриця\(U\) має ці стовпці.
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). Діагональ\(A\) шляхом знаходження ортогональної матриці\(U\) і діагональної матриці\(D\) такі, що\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{rrr}13&1&4\\1&13&4\\4&4&10\end{array}\right]\nonumber\]Підказка: Два власних значення -\(12\) і\(18\).
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 6,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ 0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 12, \left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 18.\nonumber\] Матриця\(U\) має ці стовпці.
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). Діагональ\(A\) шляхом знаходження ортогональної матриці\(U\) і діагональної матриці\(D\) такі, що\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{5}{3}&\frac{1}{15}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{8}{15}\sqrt{5} \\ \frac{1}{15}\sqrt{6}\sqrt{5}&-\frac{14}{5}&-\frac{1}{15}\sqrt{6} \\ \frac{8}{15}\sqrt{5}&-\frac{1}{15}\sqrt{6}&\frac{7}{15} \end{array}\right]\nonumber\]Підказка: власні значення є\(-3,-2,1\).
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0\\ \frac{1}{6}\sqrt{5}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{15}\sqrt{2}\sqrt{15}\end{array}\right]\right\} -2,\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{2}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{30}\sqrt{30}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow -3\nonumber\] Ці вектори є стовпцями\(U\).
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). Діагональ\(A\) шляхом знаходження ортогональної матриці\(U\) і діагональної матриці\(D\) такі, що\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}3&0&0 \\ 0&\frac{3}{2}&\frac{1}{2} \\ 0&\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{array}\right]\nonumber\]
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}0\\-\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1,\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2,\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 3.\nonumber\] Ці вектори є стовпцями матриці\(U\).
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). Діагональ\(A\) шляхом знаходження ортогональної матриці\(U\) і діагональної матриці\(D\) такі, що\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&5&1\\0&1&5\end{array}\right]\nonumber\]
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2,\left\{\left[\begin{array}{c}0\\ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 4, \left\{\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 6.\nonumber\] Ці вектори є стовпцями\(U\).
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). Діагональ\(A\) шляхом знаходження ортогональної матриці\(U\) і діагональної матриці\(D\) такі, що\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\sqrt{3}\sqrt{2}&\frac{1}{3}\sqrt{2} \\ \frac{1}{3}\sqrt{3}\sqrt{2}&1&-\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{2}&-\frac{1}{3}\sqrt{3}&\frac{5}{3}\end{array}\right]\nonumber\]Підказка: Власні значення\(2\) є\(0,2,2\) там, де перераховано двічі, оскільки це корінь множинності\(2\).
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{5}\sqrt{2}\sqrt{5} \\ \frac{1}{5}\sqrt{3}\sqrt{5} \\ \frac{1}{5}\sqrt{5}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 0,\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ 0\\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{1}{5}\sqrt{2}\sqrt{5} \\ \frac{1}{5}\sqrt{3}\sqrt{5} \\ -\frac{1}{5}\sqrt{5}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2.\nonumber\] Стовпці є цими векторами.
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для\(A\). Діагональ\(A\) шляхом знаходження ортогональної матриці\(U\) і діагональної матриці\(D\) такі, що\(U^TAU = D\). \[A=\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{2}&\frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{2}&\frac{3}{2}&\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{6}&\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{6}&\frac{1}{2}\end{array}\right]\nonumber\]Підказка: власні значення є\(2,1,0\).
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ 0\\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 0,\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1,\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2.\nonumber\] Стовпці є цими векторами.
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для матриці\[A=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{2}&-\frac{7}{18}\sqrt{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{3}\sqrt{2}&\frac{3}{2}&-\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{6} \\ -\frac{7}{18}\sqrt{3}\sqrt{6}&-\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{6}&-\frac{5}{6}\end{array}\right]\nonumber\] Підказка: Власні значення є\(1,2,-2\).
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 1, \left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ 0\\ \frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow -2, \left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ -\frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2.\nonumber\] Тоді\(U\) стовпці цих векторів.
Знайти власні значення та ортонормальну основу власних векторів для матриці\[A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{5}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{1}{10}\sqrt{5} \\ -\frac{1}{5}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\sqrt{6} \\ \frac{1}{10}&\sqrt{5}&-\frac{1}{5}\sqrt{6}&-\frac{9}{10}\end{array}\right]\nonumber\] Підказка: Власні значення вказані двічі, оскільки вони\(-1,2,-1\) мають кратність\(2\) як нуль характеристичного рівняння.\(-1\)
- Відповідь
-
Власні вектори та власні значення:\[\left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0 \\ \frac{1}{6}\sqrt{5}\sqrt{6}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{15}\sqrt{2}\sqrt{15}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow -1,\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ -\frac{2}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{30}\sqrt{30}\end{array}\right]\right\}\leftrightarrow 2.\nonumber\]\(U\) Стовпці цих векторів. \[\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0&\frac{1}{5}\sqrt{5}&-\frac{2}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{6}\sqrt{5}\sqrt{6} &\frac{1}{15}\sqrt{2}\sqrt{15}&\frac{1}{30}\sqrt{30}\end{array}\right]^T\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{5}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{1}{10}\sqrt{5} \\ -\frac{1}{5}\sqrt{6}\sqrt{5}&\frac{7}{5}&-\frac{1}{5}\sqrt{6} \\ \frac{1}{10}\sqrt{5}&-\frac{1}{5}\sqrt{6}&-\frac{9}{10}\end{array}\right].\nonumber\]\[\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{1}{3}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0&\frac{1}{5}\sqrt{5}&-\frac{2}{5}\sqrt{5} \\ \frac{1}{6}\sqrt{5}\sqrt{6}&\frac{1}{15}\sqrt{2}\sqrt{15}&\frac{1}{30}\sqrt{30}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{array}\right]\nonumber\]
Поясніть,\(A\) чому матриця симетрична тоді і тільки тоді, коли існує ортогональна матриця\(U\) така, що\(A = U^TDU\) для\(D\) діагональної матриці.
- Відповідь
-
Якщо\(A\) задається формулою, то\[A^T=U^TD^TU=U^TDU=A\nonumber\] Next припустимо\(A = A^T\). Тоді за теоремами про симетричні матриці існує ортогональна матриця\(U\) така, що\[UAU^T=D\nonumber\] для\(D\) діагональної. Звідси\[A=U^TDU\nonumber\]
Показати, що якщо\(A\) є дійсною симетричною матрицею\(λ\) і і\(µ\) є двома різними власними значеннями, то якщо\(X\) є власним вектором для\(λ\) і\(Y\) є власним вектором для\(µ\), то\(X •Y = 0\). Також всі власні значення є дійсними. Причини постачання для кожного кроку в наступному аргументі. Спочатку\[\lambda X^T\overline{X}=(AX)^T\overline{X}=X^TA\overline{X}=X^T\overline{AX}=X^T\overline{\lambda X}=\overline{\lambda}X^T\overline{X}\nonumber\] і так\(\lambda=\overline{\lambda}\). Це показує, що всі власні значення є реальними. Звідси випливає, що всі власні вектори є дійсними. Чому? Тепер нехай\(X,\: Y,\:µ\) і\(λ\) буде дано як зазначено вище. \[\lambda (X\bullet Y)=\lambda X\bullet Y=AX\bullet Y=X\bullet AY=X\bullet\mu Y=\mu (X\bullet Y)=\mu (X\bullet Y)\nonumber\]і так\[(\lambda -\mu )X\bullet Y=0\nonumber\] Чому це випливає з цього\(X\bullet Y=0\)?
- Відповідь
-
Так як\(\lambda\neq\mu\), випливає\(X\bullet Y=0\).
Знайти факторизацію Холеського для матриці\[\left[\begin{array}{ccc}1&2&0 \\ 2&6&4\\0&4&10\end{array}\right]\nonumber\]
Знайти факторизацію Холеського для матриці\[\left[\begin{array}{rrr}4&8&0\\8&17&2\\0&2&13\end{array}\right]\nonumber\]
Знайти факторизацію Холеського для матриці\[\left[\begin{array}{rrr}4&8&0\\8&20&8\\0&8&20\end{array}\right]\nonumber\]
Знайти факторизацію Холеського для матриці\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\2&8&10\\1&10&18\end{array}\right]\nonumber\]
Знайти факторизацію Холеського для матриці\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\2&8&10\\1&10&26\end{array}\right]\nonumber\]
Припустимо, у вас нижня трикутна матриця\(L\) і вона є оборотною. Покажіть, що\(LL^T\) має бути позитивним певним.
Використовуючи процес Грама Шмідта або\(QR\) факторизацію, знайдіть ортонормальну основу для наступного діапазону:\[span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
- Відповідь
-
Використовуючи\(QR\) факторизацію, ми маємо:\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\2&-1&0\\1&3&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{3}{10}\sqrt{2}&\frac{7}{15}\sqrt{3} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6}&-\frac{2}{5}\sqrt{2}&-\frac{1}{15}\sqrt{3} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{1}{2}\sqrt{2}&-\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6}&\frac{1}{2}\sqrt{6}&\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0&\frac{5}{2}\sqrt{2}&\frac{3}{10}\sqrt{2} \\ 0&0&\frac{7}{15}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber\] Рішення тоді\[\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{3}{10}\sqrt{2} \\ -\frac{2}{5}\sqrt{2} \\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{7}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{15}\sqrt{3} \\ -\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}\right]\nonumber\]
Використовуючи процес Грама Шмідта або\(QR\) факторизацію, знайдіть ортонормальну основу для наступного діапазону:\[span\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2\\-1\\3\\1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right]\right\}\nonumber\]
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{rrr}1&2&1\\2&-1&0\\1&3&0\\0&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{5}{111}\sqrt{3}\sqrt{37}&\frac{7}{111}\sqrt{111} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6}&-\frac{2}{9}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{1}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}&-\frac{2}{111}\sqrt{111} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}&\frac{5}{18}\sqrt{2}\sqrt{3}&-\frac{17}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}&-\frac{1}{37}\sqrt{111} \\ 0&\frac{1}{9}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{22}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}&-\frac{7}{111}\sqrt{111}\end{array}\right]\nonumber\]\[\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{6}&\frac{1}{2}\sqrt{6}&\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ 0&\frac{3}{2}\sqrt{2}\sqrt{3}&\frac{5}{18}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ 0&0&\frac{1}{9}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ 0&0&0\end{array}\right]\nonumber\]Тоді рішення є\[\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{6} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} \\ \frac{1}{6}\sqrt{6}&0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{1}{6}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ -\frac{2}{9}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{5}{18}\sqrt{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{9}\sqrt{2}\sqrt{3}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{5}{111}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{1}{333}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ -\frac{17}{333}\sqrt{3}\sqrt{37} \\ \frac{22}{333}\sqrt{3}\sqrt{37}\end{array}\right]\nonumber\]
- \(\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&3&4\\0&0&1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{cc}2&1\\2&1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{rr}1&2\\-1&2\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{cc}1&1\\2&3\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{rrr}\sqrt{11}&1&3\sqrt{6} \\ \sqrt{11}&7&-\sqrt{6} \\ 2\sqrt{11}&-4&-\sqrt{6}\end{array}\right]\)Підказка: Зверніть увагу, що стовпці є ортогональними.
Використовуючи систему комп'ютерної алгебри, знайдіть QR-факторизацію для наступних матриць.
- \(\left[\begin{array}{rrr}1&1&2\\3&-2&3\\2&1&1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{rrrr}1&2&1&3\\4&5&-4&3\\2&1&2&1\end{array}\right]\)
- \(\left[\begin{array}{rr}1&2\\3&2\\1&-4\end{array}\right]\)Знайдіть тонку QR-факторизацію цього.
Квадратична форма в трьох змінних є виразом виду\(a_1x^2 + a_2y^2 + a_3z^2 + a_4xy+a_5xz+a_6yz\). Показати, що кожна така квадратична форма може бути записана як\[\left[\begin{array}{ccc}x&y&z\end{array}\right]A\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber\] де\(A\) симетрична матриця.
- Відповідь
-
\[\left[\begin{array}{ccc}x&y&z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a_1&a_4/2&a_5/2 \\ a_4/2&a_2&a_6/2 \\ a_5/2&a_6/2&a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]\nonumber\]
Задано квадратичну форму в трьох змінних\(z\),\(x, y,\) і, показати існує ортогональна матриця\(U\) і змінні\(x′ , y ′ ,z ′\) такі, що\[\left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=U\left[\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right]\nonumber\] з властивістю, що з точки зору нових змінних, квадратична форма\[\lambda_1(x')^2+\lambda_2(y')^2+\lambda_3(z')^2\nonumber\] де числа,\(\lambda_1\),\(\lambda_2\), і \(\lambda_3\)є власними значеннями матриці\(A\) у Вправі\(\PageIndex{78}\).
- Відповідь
-
Квадратична форма може бути записана як\[\vec{x}^TA\vec{x}\nonumber\] де\(A = A^T\). За теоремою про діагоналізацію симетричної матриці існує ортогональна матриця\(U\) така, що\[U^TAU=D,\:A=UDU^T\nonumber\] Тоді квадратична форма - це\[\vec{x}^TUDU^T\vec{x}=(U^T\vec{x})^TD(U^T\vec{x})\nonumber\] діагональна матриця, що має дійсні власні значення\(A\) вниз по головній діагоналі.\(D\) Тепер просто нехай\[\vec{x}'=U^T\vec{x}\nonumber\]
Розглянемо квадратичну форму,\(q\) задану\(q = 3x_1^2 −12x_1x_2 −2x_2^2\).
- Напишіть\(q\) у формі\(\vec{x}^TA\vec{x}\) для відповідної симетричної матриці\(A\).
- Використовуйте зміну змінних для перезапису\(q\), щоб усунути\(x_1x_2\) термін.
Розглянемо квадратичну форму,\(q\) задану\(q = −2x_1^2 +2x_1x_2 −2x_2^2\).
- Напишіть\(q\) у формі\(\vec{x}^TA\vec{x}\) для відповідної симетричної матриці\(A\).
- Використовуйте зміну змінних для перезапису\(q\), щоб усунути\(x_1x_2\) термін.
Розглянемо квадратичну форму,\(q\) задану\(q = 7x_1^2 +6x_1x_2 −x_2^2\).
- Напишіть\(q\) у формі\(\vec{x}^TA\vec{x}\) для відповідної симетричної матриці\(A\).
- Використовуйте зміну змінних для перезапису\(q\), щоб усунути\(x_1x_2\) термін.