Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.E: Вправи

Вправа6.E.1

Нехайz=2+7i і нехайw=38i. Обчислити наступне.

  1. z+w
  2. z2w
  3. zw
  4. wz
Відповідь
  1. z+w=5i
  2. z2w=4+23i
  3. zw=62+5i
  4. wz=50533753i

Вправа6.E.2

Нехайz=14i. Обчислити наступне.

  1. ¯z
  2. z1
  3. |z|

Вправа6.E.3

Нехайz=3+5i іw=2i. Обчислити наступне.

  1. ¯zw
  2. |zw|
  3. z1w

Вправа6.E.4

Якщоz є комплексним числом, показати, що існує комплексне числоw з|w|=1 іwz=|z|.

Відповідь

Якщоz=0, нехайw=1. Якщоz0, нехайw=¯z|z|

Вправа6.E.5

Якщоz,w комплексні числа довести,¯zw=¯z¯w а потім показати шляхом індукції, що¯z1zm=¯z1¯zm. Також переконайтеся, що¯mk=1zk=mk=1¯zk. У словах це говорить, що сполучений твір дорівнює добутку сполучених, а сполучення суми дорівнює сумі сполучених.

Відповідь

¯(a+bi)(c+di)=¯acbd+(ad+bc)i=(acbd)(ad+bc)i(abi)(cdi)=acbd(ad+bc)iщо є одним і тим же. Таким чином, він утримує добуток двох комплексних чисел. Тепер припустимо, що у вас є, що це вірно для добутку n комплексних чисел. Тоді¯z1zn+1=¯z1zn¯zn+1 і зараз, по індукції це дорівнює¯z1¯zn¯zn+1 Що стосується сум, це ще простіше. ¯nj=1(xj+iyj)=¯nj=1xj+inj=1yj=nj=1xjinj=1yj=nj=1xjiyj=nj=1¯(xj+iyj).

Вправа6.E.6

Припустимо,p(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0 де всіak дійсні числа. Припустимо також, щоp(z)=0 для деякихzC. Показати це випливає, щоp(¯z)=0 також.

Відповідь

Якщоp(z)=0, то у вас є¯p(z)=0=¯anzn+an1zn1++a1z+a0=¯anzn+¯an1zn1++¯a1z+¯a0=¯an¯zn+¯an1¯zn1++¯a1¯z+¯a0=an¯zn+an1¯zn1++a1¯z+a0=p(¯z)

Вправа6.E.7

Я стверджую, що1=1. Ось чому. 1=i2=11=(1)2=1=1Це явно чудовий результат, але чи є з ним щось не так? Якщо так, то що не так?

Відповідь

Проблема в тому, що єдиного немає1.

Вправа6.E.8

z=3+3iДозволяти складне число, записане в стандартній формі. zПеретворіть в полярну форму, і запишіть її у форміz=reiθ.

Вправа6.E.9

z=2iДозволяти складне число, записане в стандартній формі. zПеретворіть в полярну форму, і запишіть її у форміz=reiθ.

Вправа6.E.10

z=4e2π3iДозволяти складне число, записане в полярній формі. zПеретворіть в стандартну форму, і запишіть її в формуz=a+bi.

Вправа6.E.11

z=1eπ6iДозволяти складне число, записане в полярній формі. zПеретворіть в стандартну форму, і запишіть її в формуz=a+bi.

Вправа6.E.12

Якщоz іw є двома комплексними числами, а полярна формаz включає кут,θ тоді як полярна формаw включає кутφ, показати, що вzw полярній формі для кута бере участь єθ+φ.

Відповідь

У вас єz=|z|(cosθ+isinθ) іw=|w|(cosφ+isinφ). Тоді, коли ви помножите їх, ви отримуєте|z||w|(cosθ+isinθ)(cosφ+isinφ)=|z||w|(cosθcosφsinθsinφ+i(cosθsinφ+cosφsinθ))=|z||w|(cos(θ+φ)+isin(θ+φ))

Вправа6.E.13

Дайте повне рішенняx4+16=0.

Відповідь

Рішення полягає в:(1i)2,(1+i)2,(1i)2,(1+i)2

Вправа 6.E.14

Знайдіть складні кубові корені8.

Відповідь

Коріння куба є рішеннямz3+8=0, рішення є:i3+1,1i3,2

Вправа 6.E.15

Знайдіть чотири четвертих кореня16.

Відповідь

Четверте коріння - це рішенняz4+16=0, рішення є:(1i)2,(1+i)2,(1i)2,(1+i)2

Вправа6.E.16

Теорема Де Муавра говорить про[r(cost+isint)]n=rn(cosnt+isinnt)n додатне ціле число. Чи продовжує ця формула утримуватися для всіх цілих чисел n, навіть від'ємних цілих чисел? Поясніть.

Відповідь

Так, він тримає для всіх цілих чисел. Перш за все, вона чітко тримає якщоn=0. Припустимо, тепер, що n - від'ємне ціле число. Потімn>0 і так[r(cost+isint)]n=1[r(cost+isint)]n=1rn(cos(nt)+isin(nt))=rn(cos(nt)isin(nt))=rn(cos(nt)+isin(nt))(cos(nt)isin(nt))(cos(nt)+isin(nt))=rn(cos(nt)+isin(nt)) тому(cos(nt)isin(nt))(cos(nt)+isin(nt))=1.

Вправа6.E.17

Факторx3+8 як добуток лінійних факторів. Підказка: Використовуйте результат 6.E.14.

Відповідь

Рішення таке:i3+1,1i3,2 і тому цей многочлен дорівнює(x+2)(x(i3+1))(x(1i3))

Вправа6.E.18

Напишітьx3+27 у формі(x+3)(x2+ax+b), де більшеx2+ax+b не можна врахувати, використовуючи лише дійсні числа.

Відповідь

x3+27=(x+3)(x23x+9)

Вправа6.E.19

Повністю факторx4+16 як добуток лінійних факторів. Підказка: Використовуйте результат 6.E.15.

Відповідь

Рішення полягає в тому, що(1i)2,(1+i)2,(1i)2,(1+i)2. це лише четверте коріння16. Тоді, щоб фактор, ви отримаєте(x((1i)2))(x((1+i)2)).(x((1i)2))(x((1+i)2))

Вправа6.E.20

Факторx4+16 як добуток двох квадратичних многочленів, кожен з яких не може бути врахований далі без використання комплексних чисел.

Відповідь

x4+16=(x222x+4)(x2+22x+4). Ви можете використовувати інформацію в попередній задачі. Зверніть увагу, що(xz)(x¯z) має реальні коефіцієнти.

Вправа6.E.21

Якщоn ціле число, це завжди правда, що(cosθisinθ)n=cos(nθ)isin(nθ)? Поясніть.

Відповідь

Так, це правда. (cosθisinθ)n=(cos(θ)+isin(θ))n=cos(nθ)+isin(nθ)=cos(nθ)isin(nθ)

Вправа6.E.22

Припустимо,p(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0 це многочлен і він маєn нулі,z1,z2,,zn перераховані відповідно до кратності. (zє коренем кратності,m якщо многочленf(x)=(xz)m ділиться,p(x) але(xz)f(x) ні.) Покажіть, щоp(x)=an(xz1)(xz2)(xzn)

Відповідь

p(x)=(xz1)q(x)+r(x)деr(x) - ненульова константа або дорівнює0. Втім,r(z1)=0 і такr(x)=0. Тепер робіть доq(x) того, що було зробленоp(x) і продовжуйте до тих пір, поки ступінь отриманого неq(x) зрівняється0. Тоді у вас є вищевказана факторизація.

Вправа6.E.23

Покажіть, що1+i,2+i є єдиними двома коренямиp(x)=x2(3+2i)x+(1+3i) Отже складні нулі не обов'язково надходять у сполучених парах, якщо коефіцієнти рівняння не є дійсними.

Відповідь

(x(1+i))(x(2+i))=x2(3+2i)x+1+3i

Вправа6.E.24

Наведіть розв'язки наступних квадратичних рівнянь, що мають дійсні коефіцієнти.

  1. x22x+2=0
  2. 3x2+x+3=0
  3. x26x+13=0
  4. x2+4x+9=0
  5. 4x2+4x+5=0
Відповідь
  1. Рішення полягає в:1+i,1i
  2. Рішення полягає в:16i3516,16i3516
  3. Рішення полягає в:3+2i,32i
  4. Рішення полягає в:i52,i52
  5. Рішення полягає в:12+i,12i

Вправа6.E.25

Наведіть розв'язки наступних квадратичних рівнянь, що мають комплексні коефіцієнти.

  1. x2+2x+1+i=0
  2. 4x2+4ix5=0
  3. 4x2+(4+4i)x+1+2i=0
  4. x24ix5=0
  5. 3x2+(1i)x+3i=0
Відповідь
  1. Рішення полягає в:x=1+12212i2,x=1122+12i2
  2. Рішення полягає в:x=112i,x=112i
  3. Рішення полягає в:x=12,x=12i
  4. Рішення полягає в:x=1+2i,x=1+2i
  5. Рішення полягає в:x=16+1619+(161619)i,x=161619+(16+1619)i

Вправа 6.E.26

Довести фундаментальну теорему алгебри для квадратичних многочленів, що мають коефіцієнти вC. Тобто показати, що рівняння виду,ax2+bx+c=0 деa,b,c знаходяться комплексні числа,a0 має комплексне рішення. Підказка: Врахуйте той факт, що зазначено раніше, що вирази, наведені з квадратичної формули, насправді служать розв'язками.