6.E: Вправи
- Page ID
- 63067
Нехай\(z = 2+7i\) і нехай\(w = 3−8i\). Обчислити наступне.
- \(z+w\)
- \(z-2w\)
- \(zw\)
- \(\frac{w}{z}\)
- Відповідь
-
- \(z+w=5-i\)
- \(z-2w=-4+23i\)
- \(zw=62+5i\)
- \(\frac{w}{z}=-\frac{50}{53}-\frac{37}{53}i\)
Нехай\(z = 1−4i\). Обчислити наступне.
- \(\overline{z}\)
- \(z^{-1}\)
- \(|z|\)
Нехай\(z = 3+5i\) і\(w = 2−i\). Обчислити наступне.
- \(\overline{zw}\)
- \(|zw|\)
- \(z^{-1}w\)
Якщо\(z\) є комплексним числом, показати, що існує комплексне число\(w\) з\(|w| = 1\) і\(wz = |z|\).
- Відповідь
-
Якщо\(z=0\), нехай\(w=1\). Якщо\(z\neq 0\), нехай\(w=\frac{\overline{z}}{|z|}\)
Якщо\(z,\: w\) комплексні числа довести,\(\overline{zw} = \overline{z}\:\overline{w}\) а потім показати шляхом індукції, що\(\overline{z_1\cdots z_m} = \overline{z_1}\cdots\overline{z_m}\). Також переконайтеся, що\(\overline{\sum\limits_{k=1}^mz_k}=\sum\limits_{k=1}^m\overline{z_k}\). У словах це говорить, що сполучений твір дорівнює добутку сполучених, а сполучення суми дорівнює сумі сполучених.
- Відповідь
-
\[\overline{(a+bi) (c+di)} = \overline{ac−bd + (ad +bc)i} = (ac−bd)−(ad +bc)i(a−bi) (c−di) = ac−bd −(ad +bc)i\nonumber\]що є одним і тим же. Таким чином, він утримує добуток двох комплексних чисел. Тепер припустимо, що у вас є, що це вірно для добутку n комплексних чисел. Тоді\[\overline{z_1\cdots z_{n+1}}=\overline{z_1\cdots z_n}\:\overline{z_{n+1}}\nonumber\] і зараз, по індукції це дорівнює\[\overline{z_1}\cdots\overline{z_n}\:\overline{z_{n+1}}\nonumber\] Що стосується сум, це ще простіше. \[\overline{\sum\limits_{j=1}^n(x_j+iy_j)}=\overline{\sum\limits_{j=1}^nx_j+i\sum\limits_{j=1}^ny_j}\nonumber\]\[=\sum\limits_{j=1}^nx_j-i\sum\limits_{j=1}^ny_j=\sum\limits_{j=1}^nx_j-iy_j=\sum\limits_{j=1}^n\overline{(x_j+iy_j)}.\nonumber\]
Припустимо,\(p(x) = a_nx^n +a_{n−1}x^{n−1} +\cdots +a_1x+a_0\) де всі\(a_k\) дійсні числа. Припустимо також, що\(p(z) = 0\) для деяких\(z ∈ \mathbb{C}\). Показати це випливає, що\(p(\overline{z}) = 0\) також.
- Відповідь
-
Якщо\(p(z)=0\), то у вас є\[\begin{aligned}\overline{p(z)}&=0=\overline{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_1z+a_0} \\ &=\overline{a_nz^n}+\overline{a_{n-1}z^{n-1}}+\cdots +\overline{a_1z}+\overline{a_0} \\ &=\overline{a_n}\:\overline{z}^n+\overline{a_{n-1}}\:\overline{z}^{n-1}+\cdots +\overline{a_1}\:\overline{z}+\overline{a_0} \\ &=a_n\overline{z}^n+a_{n-1}\overline{z}^{n-1}+\cdots +a_1\overline{z}+a_0 \\ &=p(\overline{z})\end{aligned}\]
Я стверджую, що\(1=-1\). Ось чому. \[-1=i^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\nonumber\]Це явно чудовий результат, але чи є з ним щось не так? Якщо так, то що не так?
- Відповідь
-
Проблема в тому, що єдиного немає\(\sqrt{-1}\).
\(z = 3+3i\)Дозволяти складне число, записане в стандартній формі. \(z\)Перетворіть в полярну форму, і запишіть її у формі\(z = re^{iθ}\).
\(z = 2i\)Дозволяти складне число, записане в стандартній формі. \(z\)Перетворіть в полярну форму, і запишіть її у формі\(z = re^{iθ}\).
\(z = 4e^{\frac{2\pi}{3}i}\)Дозволяти складне число, записане в полярній формі. \(z\)Перетворіть в стандартну форму, і запишіть її в форму\(z = a+bi\).
\(z = -1e^{\frac{\pi}{6}i}\)Дозволяти складне число, записане в полярній формі. \(z\)Перетворіть в стандартну форму, і запишіть її в форму\(z = a+bi\).
Якщо\(z\) і\(w\) є двома комплексними числами, а полярна форма\(z\) включає кут,\(θ\) тоді як полярна форма\(w\) включає кут\(φ\), показати, що в\(zw\) полярній формі для кута бере участь є\(θ +φ\).
- Відповідь
-
У вас є\(z = |z|(\cos θ +i\sin θ)\) і\(w = |w|(\cos φ +i\sin φ)\). Тоді, коли ви помножите їх, ви отримуєте\[\begin{aligned} &|z|\:|w| (\cos\theta +i\sin\theta )(\cos φ+i\sin φ) \\ =&|z|\:|w| (\cos\theta\cos φ-\sin\theta\sin φ+i(\cos\theta\sin φ+\cos φ\sin\theta )) \\ =&|z|\:|w| (\cos (\theta +φ)+i\sin (\theta+φ))\end{aligned}\]
Дайте повне рішення\(x^4+16=0\).
- Відповідь
-
Рішення полягає в:\[(1-i)\sqrt{2},\: -(1+i)\sqrt{2},\: -(1-i)\sqrt{2},\: (1+i)\sqrt{2}\nonumber\]
Знайдіть складні кубові корені\(8\).
- Відповідь
-
Коріння куба є рішенням\(z^3 +8 = 0\), рішення є:\(i\sqrt{3}+1,\: 1−i\sqrt{3},\:−2\)
Знайдіть чотири четвертих кореня\(16\).
- Відповідь
-
Четверте коріння - це рішення\(z^4 +16 = 0\), рішення є:\[(1-i)\sqrt{2},\:-(1+i)\sqrt{2},\:-(1-i)\sqrt{2},\:(1+i)\sqrt{2}\nonumber\]
Теорема Де Муавра говорить про\([r(\cos t +i\sin t)]^n = r^n (\cos nt +i\sin nt)\)\(n\) додатне ціле число. Чи продовжує ця формула утримуватися для всіх цілих чисел n, навіть від'ємних цілих чисел? Поясніть.
- Відповідь
-
Так, він тримає для всіх цілих чисел. Перш за все, вона чітко тримає якщо\(n = 0\). Припустимо, тепер, що n - від'ємне ціле число. Потім\(−n > 0\) і так\[[r(\cos t+i\sin t)]^n=\frac{1}{[r(\cos t+i\sin t)]^{-n}}=\frac{1}{r^{-n}(\cos (-nt)+i\sin (-nt))}\nonumber\]\[\begin{aligned}&=\frac{r^n}{(\cos (nt)-i\sin (nt))}=\frac{r^n(\cos (nt)+i\sin (nt))}{(\cos (nt)-i\sin (nt))(\cos (nt)+i\sin (nt))} \\ &=r^n(\cos (nt)+i\sin (nt))\end{aligned}\] тому\((\cos (nt)-i\sin (nt))(\cos (nt)+i\sin (nt))=1\).
Фактор\(x^3 +8\) як добуток лінійних факторів. Підказка: Використовуйте результат \(\PageIndex{14}\).
- Відповідь
-
Рішення таке:\(i\sqrt{3}+1,\: 1-i\sqrt{3},\: -2\) і тому цей многочлен дорівнює\[(x+2)\left(x-\left(i\sqrt{3}+1\right)\right)\left(x-\left(1-i\sqrt{3}\right)\right)\nonumber\]
Напишіть\(x^3 +27\) у формі\((x+3)(x^2 +ax+b)\), де більше\(x^2 +ax +b\) не можна врахувати, використовуючи лише дійсні числа.
- Відповідь
-
\(x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9)\)
Повністю фактор\(x^4 +16\) як добуток лінійних факторів. Підказка: Використовуйте результат \(\PageIndex{15}\).
- Відповідь
-
Рішення полягає в тому, що\[(1-i)\sqrt{2},\:-(1+i)\sqrt{2},\:-(1-i)\sqrt{2},\:(1+i)\sqrt{2}.\nonumber\] це лише четверте коріння\(−16\). Тоді, щоб фактор, ви отримаєте\[\left(x-\left((1-i)\sqrt{2}\right)\right)\left(x-\left(-(1+i)\sqrt{2}\right)\right).\nonumber\]\[\left(x-\left(-(1-i)\sqrt{2}\right)\right)\left(x-\left((1+i)\sqrt{2}\right)\right)\nonumber\]
Фактор\(x^4 + 16\) як добуток двох квадратичних многочленів, кожен з яких не може бути врахований далі без використання комплексних чисел.
- Відповідь
-
\(x^4+16=\left(x^2-2\sqrt{2}x+4\right)\left(x^2+2\sqrt{2}x+4\right)\). Ви можете використовувати інформацію в попередній задачі. Зверніть увагу, що\((x−z) (x−\overline{z})\) має реальні коефіцієнти.
Якщо\(n\) ціле число, це завжди правда, що\((\cos θ −i\sin θ)^n = \cos(nθ)−i\sin(nθ)\)? Поясніть.
- Відповідь
-
Так, це правда. \[\begin{aligned}(\cos\theta -i\sin\theta)^n&=(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta ))^n \\ &=\cos (-n\theta )+i\sin(-n\theta ) \\ &=\cos (n\theta )-i\sin (n\theta )\end{aligned}\]
Припустимо,\(p(x) = a_nx^n +a_{n−1}x^{n−1} +\cdots +a_1x+a_0\) це многочлен і він має\(n\) нулі,\[z_1,\: z_2,\cdots ,z_n\nonumber\] перераховані відповідно до кратності. (\(z\)є коренем кратності,\(m\) якщо многочлен\(f (x) = (x−z)^m\) ділиться,\(p(x)\) але\((x−z) f (x)\) ні.) Покажіть, що\[p(x)=a_n(x-z_1)(x-z_2)\cdots (x-z_n)\nonumber\]
- Відповідь
-
\(p(x) = (x−z_1)q(x)+r(x)\)де\(r(x)\) - ненульова константа або дорівнює\(0\). Втім,\(r(z_1) = 0\) і так\(r(x) = 0\). Тепер робіть до\(q(x)\) того, що було зроблено\(p(x)\) і продовжуйте до тих пір, поки ступінь отриманого не\(q(x)\) зрівняється\(0\). Тоді у вас є вищевказана факторизація.
Покажіть, що\(1+i,\: 2+i\) є єдиними двома коренями\[p(x) = x^2 −(3+2i)x+ (1+3i)\nonumber\] Отже складні нулі не обов'язково надходять у сполучених парах, якщо коефіцієнти рівняння не є дійсними.
- Відповідь
-
\[(x−(1+i)) (x−(2+i)) = x^2 −(3+2i)x+1+3i\nonumber\]
Наведіть розв'язки наступних квадратичних рівнянь, що мають дійсні коефіцієнти.
- \(x^2-2x+2=0\)
- \(3x^2+x+3=0\)
- \(x^2-6x+13=0\)
- \(x^2+4x+9=0\)
- \(4x^2+4x+5=0\)
- Відповідь
-
- Рішення полягає в:\(1+i,\: 1-i\)
- Рішення полягає в:\(\frac{1}{6}i\sqrt{35}-\frac{1}{6},\:-\frac{1}{6}i\sqrt{35}-\frac{1}{6}\)
- Рішення полягає в:\(3+2i,\: 3-2i\)
- Рішення полягає в:\(i\sqrt{5}-2,\:-i\sqrt{5}-2\)
- Рішення полягає в:\(-\frac{1}{2}+i,\:-\frac{1}{2}-i\)
Наведіть розв'язки наступних квадратичних рівнянь, що мають комплексні коефіцієнти.
- \(x^2+2x+1+i=0\)
- \(4x^2+4ix-5=0\)
- \(4x^2+(4+4i)x+1+2i=0\)
- \(x^2-4ix-5=0\)
- \(3x^2+(1-i)x+3i=0\)
- Відповідь
-
- Рішення полягає в:\(x=-1+\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{2},\:x=-1-\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{2}\)
- Рішення полягає в:\(x=1-\frac{1}{2}i,\:x=-1-\frac{1}{2}i\)
- Рішення полягає в:\(x=-\frac{1}{2},\:x=-\frac{1}{2}-i\)
- Рішення полягає в:\(x=-1+2i,\:x=1+2i\)
- Рішення полягає в:\(x=-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{19}+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{19}\right)i,\:x=-\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\sqrt{19}+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\sqrt{19}\right)i\)
Довести фундаментальну теорему алгебри для квадратичних многочленів, що мають коефіцієнти в\(\mathbb{C}\). Тобто показати, що рівняння виду,\(ax^2 + bx + c = 0\) де\(a,\: b,\: c\) знаходяться комплексні числа,\(a\neq 0\) має комплексне рішення. Підказка: Врахуйте той факт, що зазначено раніше, що вирази, наведені з квадратичної формули, насправді служать розв'язками.