6.E: Вправи
Нехайz=2+7i і нехайw=3−8i. Обчислити наступне.
- z+w
- z−2w
- zw
- wz
- Відповідь
-
- z+w=5−i
- z−2w=−4+23i
- zw=62+5i
- wz=−5053−3753i
Нехайz=1−4i. Обчислити наступне.
- ¯z
- z−1
- |z|
Нехайz=3+5i іw=2−i. Обчислити наступне.
- ¯zw
- |zw|
- z−1w
Якщоz є комплексним числом, показати, що існує комплексне числоw з|w|=1 іwz=|z|.
- Відповідь
-
Якщоz=0, нехайw=1. Якщоz≠0, нехайw=¯z|z|
Якщоz,w комплексні числа довести,¯zw=¯z¯w а потім показати шляхом індукції, що¯z1⋯zm=¯z1⋯¯zm. Також переконайтеся, що¯m∑k=1zk=m∑k=1¯zk. У словах це говорить, що сполучений твір дорівнює добутку сполучених, а сполучення суми дорівнює сумі сполучених.
- Відповідь
-
¯(a+bi)(c+di)=¯ac−bd+(ad+bc)i=(ac−bd)−(ad+bc)i(a−bi)(c−di)=ac−bd−(ad+bc)iщо є одним і тим же. Таким чином, він утримує добуток двох комплексних чисел. Тепер припустимо, що у вас є, що це вірно для добутку n комплексних чисел. Тоді¯z1⋯zn+1=¯z1⋯zn¯zn+1 і зараз, по індукції це дорівнює¯z1⋯¯zn¯zn+1 Що стосується сум, це ще простіше. ¯n∑j=1(xj+iyj)=¯n∑j=1xj+in∑j=1yj=n∑j=1xj−in∑j=1yj=n∑j=1xj−iyj=n∑j=1¯(xj+iyj).
Припустимо,p(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 де всіak дійсні числа. Припустимо також, щоp(z)=0 для деякихz∈C. Показати це випливає, щоp(¯z)=0 також.
- Відповідь
-
Якщоp(z)=0, то у вас є¯p(z)=0=¯anzn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0=¯anzn+¯an−1zn−1+⋯+¯a1z+¯a0=¯an¯zn+¯an−1¯zn−1+⋯+¯a1¯z+¯a0=an¯zn+an−1¯zn−1+⋯+a1¯z+a0=p(¯z)
Я стверджую, що1=−1. Ось чому. −1=i2=√−1√−1=√(−1)2=√1=1Це явно чудовий результат, але чи є з ним щось не так? Якщо так, то що не так?
- Відповідь
-
Проблема в тому, що єдиного немає√−1.
z=3+3iДозволяти складне число, записане в стандартній формі. zПеретворіть в полярну форму, і запишіть її у форміz=reiθ.
z=2iДозволяти складне число, записане в стандартній формі. zПеретворіть в полярну форму, і запишіть її у форміz=reiθ.
z=4e2π3iДозволяти складне число, записане в полярній формі. zПеретворіть в стандартну форму, і запишіть її в формуz=a+bi.
z=−1eπ6iДозволяти складне число, записане в полярній формі. zПеретворіть в стандартну форму, і запишіть її в формуz=a+bi.
Якщоz іw є двома комплексними числами, а полярна формаz включає кут,θ тоді як полярна формаw включає кутφ, показати, що вzw полярній формі для кута бере участь єθ+φ.
- Відповідь
-
У вас єz=|z|(cosθ+isinθ) іw=|w|(cosφ+isinφ). Тоді, коли ви помножите їх, ви отримуєте|z||w|(cosθ+isinθ)(cosφ+isinφ)=|z||w|(cosθcosφ−sinθsinφ+i(cosθsinφ+cosφsinθ))=|z||w|(cos(θ+φ)+isin(θ+φ))
Дайте повне рішенняx4+16=0.
- Відповідь
-
Рішення полягає в:(1−i)√2,−(1+i)√2,−(1−i)√2,(1+i)√2
Знайдіть складні кубові корені8.
- Відповідь
-
Коріння куба є рішеннямz3+8=0, рішення є:i√3+1,1−i√3,−2
Знайдіть чотири четвертих кореня16.
- Відповідь
-
Четверте коріння - це рішенняz4+16=0, рішення є:(1−i)√2,−(1+i)√2,−(1−i)√2,(1+i)√2
Теорема Де Муавра говорить про[r(cost+isint)]n=rn(cosnt+isinnt)n додатне ціле число. Чи продовжує ця формула утримуватися для всіх цілих чисел n, навіть від'ємних цілих чисел? Поясніть.
- Відповідь
-
Так, він тримає для всіх цілих чисел. Перш за все, вона чітко тримає якщоn=0. Припустимо, тепер, що n - від'ємне ціле число. Потім−n>0 і так[r(cost+isint)]n=1[r(cost+isint)]−n=1r−n(cos(−nt)+isin(−nt))=rn(cos(nt)−isin(nt))=rn(cos(nt)+isin(nt))(cos(nt)−isin(nt))(cos(nt)+isin(nt))=rn(cos(nt)+isin(nt)) тому(cos(nt)−isin(nt))(cos(nt)+isin(nt))=1.
Факторx3+8 як добуток лінійних факторів. Підказка: Використовуйте результат 6.E.14.
- Відповідь
-
Рішення таке:i√3+1,1−i√3,−2 і тому цей многочлен дорівнює(x+2)(x−(i√3+1))(x−(1−i√3))
Напишітьx3+27 у формі(x+3)(x2+ax+b), де більшеx2+ax+b не можна врахувати, використовуючи лише дійсні числа.
- Відповідь
-
x3+27=(x+3)(x2−3x+9)
Повністю факторx4+16 як добуток лінійних факторів. Підказка: Використовуйте результат 6.E.15.
- Відповідь
-
Рішення полягає в тому, що(1−i)√2,−(1+i)√2,−(1−i)√2,(1+i)√2. це лише четверте коріння−16. Тоді, щоб фактор, ви отримаєте(x−((1−i)√2))(x−(−(1+i)√2)).(x−(−(1−i)√2))(x−((1+i)√2))
Факторx4+16 як добуток двох квадратичних многочленів, кожен з яких не може бути врахований далі без використання комплексних чисел.
- Відповідь
-
x4+16=(x2−2√2x+4)(x2+2√2x+4). Ви можете використовувати інформацію в попередній задачі. Зверніть увагу, що(x−z)(x−¯z) має реальні коефіцієнти.
Якщоn ціле число, це завжди правда, що(cosθ−isinθ)n=cos(nθ)−isin(nθ)? Поясніть.
- Відповідь
-
Так, це правда. (cosθ−isinθ)n=(cos(−θ)+isin(−θ))n=cos(−nθ)+isin(−nθ)=cos(nθ)−isin(nθ)
Припустимо,p(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 це многочлен і він маєn нулі,z1,z2,⋯,zn перераховані відповідно до кратності. (zє коренем кратності,m якщо многочленf(x)=(x−z)m ділиться,p(x) але(x−z)f(x) ні.) Покажіть, щоp(x)=an(x−z1)(x−z2)⋯(x−zn)
- Відповідь
-
p(x)=(x−z1)q(x)+r(x)деr(x) - ненульова константа або дорівнює0. Втім,r(z1)=0 і такr(x)=0. Тепер робіть доq(x) того, що було зробленоp(x) і продовжуйте до тих пір, поки ступінь отриманого неq(x) зрівняється0. Тоді у вас є вищевказана факторизація.
Покажіть, що1+i,2+i є єдиними двома коренямиp(x)=x2−(3+2i)x+(1+3i) Отже складні нулі не обов'язково надходять у сполучених парах, якщо коефіцієнти рівняння не є дійсними.
- Відповідь
-
(x−(1+i))(x−(2+i))=x2−(3+2i)x+1+3i
Наведіть розв'язки наступних квадратичних рівнянь, що мають дійсні коефіцієнти.
- x2−2x+2=0
- 3x2+x+3=0
- x2−6x+13=0
- x2+4x+9=0
- 4x2+4x+5=0
- Відповідь
-
- Рішення полягає в:1+i,1−i
- Рішення полягає в:16i√35−16,−16i√35−16
- Рішення полягає в:3+2i,3−2i
- Рішення полягає в:i√5−2,−i√5−2
- Рішення полягає в:−12+i,−12−i
Наведіть розв'язки наступних квадратичних рівнянь, що мають комплексні коефіцієнти.
- x2+2x+1+i=0
- 4x2+4ix−5=0
- 4x2+(4+4i)x+1+2i=0
- x2−4ix−5=0
- 3x2+(1−i)x+3i=0
- Відповідь
-
- Рішення полягає в:x=−1+12√2−12i√2,x=−1−12√2+12i√2
- Рішення полягає в:x=1−12i,x=−1−12i
- Рішення полягає в:x=−12,x=−12−i
- Рішення полягає в:x=−1+2i,x=1+2i
- Рішення полягає в:x=−16+16√19+(16−16√19)i,x=−16−16√19+(16+16√19)i
Довести фундаментальну теорему алгебри для квадратичних многочленів, що мають коефіцієнти вC. Тобто показати, що рівняння виду,ax2+bx+c=0 деa,b,c знаходяться комплексні числа,a≠0 має комплексне рішення. Підказка: Врахуйте той факт, що зазначено раніше, що вирази, наведені з квадратичної формули, насправді служать розв'язками.