4.4: Довжина вектора

Цілі навчання

• Знайти довжину вектора і відстань між двома точками в$\mathbb{R}^n$.
• Знайти відповідний одиничний вектор вектору в$\mathbb{R}^n$.

У цьому розділі ми досліджуємо, що мається на увазі під довжиною вектора в$\mathbb{R}^n$. Ми розробляємо цю концепцію, спочатку подивившись на відстань між двома точками в$\mathbb{R}^n$.

Спочатку розглянемо поняття відстані для$\mathbb{R}$, тобто для точок в$\mathbb{R}^1$. Тут відстань між двома точками$P$ і$Q$ задається абсолютним значенням їх різниці. Позначимо відстань між$P$ і$Q$ по$d(P,Q)$ яке визначається як $$d(P,Q) = \sqrt{ \left( P-Q\right) ^{2}} \label{distance1}$$

Розглянемо тепер випадок для$n=2$, продемонстрований наступною картинкою.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Є дві точки$P =\left( p_{1},p_{2}\right)$ і$Q = \left(q_{1},q_{2}\right)$ в площині. Відстань між цими точками показано на малюнку у вигляді суцільної лінії. Зверніть увагу, що ця лінія є гіпотенузою прямокутного трикутника, який є половиною прямокутника, показаного пунктирними лініями. Ми хочемо знайти довжину цієї гіпотенузи, яка дасть відстань між двома точками. Зверніть увагу на довжини сторін цього трикутника$\left| p_{1}-q_{1}\right|$ і$\left| p_{2}-q_{2}\right|$, абсолютне значення різниці цих значень. Тому теорема Піфагора має на увазі довжину гіпотенузи (і, таким чином, відстань між$P$ і$Q$) дорівнює $$\left( \left| p_{1}-q_{1}\right| ^{2}+\left| p_{2}-q_{2}\right| ^{2}\right) ^{1/2}=\left( \left( p_{1}-q_{1}\right) ^{2}+\left( p_{2}-q_{2}\right) ^{2}\right) ^{1/2} \label{distance2}$$

Тепер припустимо,$n=3$$P = \left( p_{1},p_{2},p_{3}\right)$ і нехай і$Q = \left( q_{1},q_{2},q_{3}\right)$ бути двома точками в$\mathbb{R}^{3}.$ Розглянемо наступну картину, в якій суцільна лінія з'єднує дві точки і пунктирна лінія приєднується до точок$\left( q_{1},q_{2},q_{3}\right)$ і$\left( p_{1},p_{2},q_{3}\right) .$

Малюнок$\PageIndex{2}$

Тут нам потрібно використовувати теорему Піфагора двічі, щоб знайти довжину суцільної лінії. По-перше, за теоремою Піфагора, довжина пунктирної лінії, що з'єднується$\left( q_{1},q_{2},q_{3}\right)$ і$\left( p_{1},p_{2},q_{3}\right)$ дорівнює в $$\left( \left( p_{1}-q_{1}\right) ^{2}+\left( p_{2}-q_{2}\right) ^{2}\right) ^{1/2}\nonumber$$ той час як довжина лінії, що$\left( p_{1},p_{2},p_{3}\right)$ приєднується$\left( p_{1},p_{2},q_{3}\right)$ до, просто$\left| p_{3}-q_{3}\right| .$ Тому, за теоремою Піфагора знову, довжина лінії, що з'єднує точки$P = \left( p_{1},p_{2},p_{3}\right)$ і $Q = \left( q_{1},q_{2},q_{3}\right)$дорівнює $$\left( \left( \left( \left( p_{1}-q_{1}\right) ^{2}+\left( p_{2}-q_{2}\right) ^{2}\right) ^{1/2}\right) ^{2}+\left( p_{3}-q_{3}\right) ^{2}\right) ^{1/2}\nonumber$$ $$=\left( \left( p_{1}-q_{1}\right) ^{2}+\left( p_{2}-q_{2}\right) ^{2}+\left( p_{3}-q_{3}\right) ^{2}\right) ^{1/2} \label{distance3}$$

Ця дискусія мотивує наступне визначення відстані між точками в$\mathbb{R}^n$.

Визначення$\PageIndex{1}$: Distance Between Points

$P=\left( p_{1},\cdots ,p_{n}\right)$$Q=\left( q_{1},\cdots ,q_{n}\right)$Дозволяти і бути дві точки в$\mathbb{R}^{n}$. Тоді відстань між цими точками визначається як $$\text{ distance between }P\text{ and } Q\text{ } = d( P, Q ) = \left( \sum_{k=1}^{n}\left\vert p_{k}-q_{k}\right\vert ^{2}\right) ^{1/2}\nonumber$$ Це називається формулою відстані. Ми також можемо записати$\left\vert P - Q \right\vert$ як відстань між$P$ і$Q$.

З наведеного вище обговорення видно, що визначення$\PageIndex{1}$ має місце для особливих випадків$n=1,2,3$, як у рівняннях$\eqref{distance1}$$\eqref{distance2}$,$\eqref{distance3}$. У наступному прикладі ми використовуємо Definition,$\PageIndex{1}$ щоб знайти відстань між двома точками в$\mathbb{R}^4$.

Приклад$\PageIndex{1}$: Distance Between Points

Знайти відстань між точками$P$ і$Q$ в$\mathbb{R}^{4}$, де$P$ і$Q$ задані $$P=\left( 1,2,-4,6\right)\nonumber$$ і $$Q=\left( 2,3,-1,0\right)\nonumber$$

Рішення

Ми будемо використовувати формулу, наведену в Definition, $\PageIndex{1}$щоб знайти відстань між$P$ і$Q$. Скористайтеся формулою відстані і запишіть $$d(P,Q)= \left( \left( 1-2\right) ^{2}+\left( 2-3\right) ^{2}+\left( -4-\left( -1\right) \right) ^{2}+\left( 6-0\right)^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} = 47\nonumber$$

Тому,$d( P,Q) = \sqrt{47}.$

Існують певні властивості відстані між точками, які важливі в нашому дослідженні. Вони викладені в наступній теоремі.

Теорема$\PageIndex{1}$: Properties of Distance

Дозволяти$P$ і$Q$ бути точки в$\mathbb{R}^n$, і нехай відстань між ними$d( P, Q)$, буде дано, як у визначенні$\PageIndex{1}$. Потім наступні властивості утримують.

• $d( P, Q) = d( Q, P)$
• $d( P, Q) \geq 0$, і дорівнює 0 саме тоді, коли$P = Q.$

Існує багато застосувань поняття відстані. Наприклад, з огляду на два пункти, ми можемо запитати, яка колекція балів - це однакова відстань між заданими точками. Це досліджується в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{2}$: The Plane Between Two Points

Опишіть точки$\mathbb{R}^3$, в яких знаходяться на однаковій відстані між$\left( 1,2,3\right)$ і$\left( 0,1,2\right) .$

Рішення

Нехай$P = \left( p_1 , p_2, p_3\right)$ буде такий момент. Тому$P$ однакова відстань від$\left( 1,2,3\right)$ і$\left( 0,1,2\right) .$ тоді за визначенням $\PageIndex{1}$, $$\sqrt{\left( p_1 -1\right) ^{2}+\left( p_2 -2\right) ^{2}+\left( p_3-3\right) ^{2}}= \sqrt{\left( p_1 - 0 \right)^{2}+\left( p_2-1\right) ^{2}+\left( p_3-2\right) ^{2}}\nonumber$$ Квадратуючи обидві сторони ми отримуємо $$\left( p_1 -1\right) ^{2}+\left( p_2 -2\right) ^{2}+\left( p_3 -3\right) ^{2}=p_1^{2}+\left( p_2-1\right) ^{2}+\left( p_3 -2\right) ^{2}\nonumber$$ і так $$\ p_1^{2}-2p_1+14+p_2^{2}-4p_2+p_3^{2}-6p_3=p_1^{2}+p_2^{2}-2p_2+5+p_3^{2}-4p_3\nonumber$$ спрощуючи, це стає $$-2p_1+14-4p_2-6p_3=-2p_2+5-4p_3\nonumber$$ що можна записати як $$2p_1+2p_2+2p_3=-9 \label{distanceplane}$$ Отже, точки $P = \left( p_1,p_2,p_3\right)$які однакові відстані від кожної з заданих точок утворюють площину, рівняння якої задається$\eqref{distanceplane}$.

Тепер ми можемо використовувати наше розуміння відстані між двома точками, щоб визначити, що мається на увазі під довжиною вектора. Розглянемо наступне визначення.

Визначення$\PageIndex{2}$: Length of a Vector

$\vec{u} = \left[ u_{1} \cdots u_{n} \right]^T$Дозволяти бути вектор в$\mathbb{R}^n$. Потім довжина$\vec{u}$, написана$\| \vec{u} \|$ задається $$\| \vec{u} \| = \sqrt{ u_{1}^2 + \cdots + u_{n}^2}\nonumber$$

Це визначення відповідає Визначенню$\PageIndex{1}$, якщо врахувати, що вектор$\vec{u}$ має хвіст у точці,$0 = \left( 0, \cdots ,0 \right)$ а кінчик - у точці$U = \left(u_1, \cdots, u_n \right)$. Тоді довжина$\vec{u}$ дорівнює відстані між$0$ і$U$,$d(0,U)$. Загалом,$d(P,Q)=||\vec{PQ}||$.

Розглянемо приклад $\PageIndex{1}$. За визначенням $\PageIndex{2}$, ми також могли б знайти відстань між$P$ і$Q$ як довжину вектора, що з'єднує їх. Отже, якби ми намалювали вектор$\overrightarrow{PQ}$ з хвостом в$P$ і його точці в$Q$, цей вектор мав би довжину рівну$\sqrt{47}$.

Завершується цей розділ новим визначенням для окремого випадку векторів довжини$1$.

Визначення$\PageIndex{3}$: Unit Vector

$\vec{u}$Дозволяти бути вектор в$\mathbb{R}^{n}$. Потім ми$\vec{u}$ називаємо вектор одиниці, якщо він має довжину 1, тобто якщо $$\| \vec{u} \| = 1\nonumber$$

$\vec{v}$Дозволяти бути вектор в$\mathbb{R}^{n}$. Потім вектор,$\vec{u}$ який має той самий напрямок, що і довжина$\vec{v}$ дорівнює,$1$ є відповідним одиничним вектором$\vec{v}$. Цей вектор задається $$\vec{u} = \frac{1}{\| \vec{v} \|} \vec{v}\nonumber$$

Ми часто використовуємо термін нормалізувати для позначення цього процесу. Коли ми нормалізуємо вектор, знаходимо відповідний одиничний вектор довжини$1$. Розглянемо наступний приклад.

Приклад$\PageIndex{3}$: Finding a Unit Vector

$\vec{v}$Дозволяти задається $$\vec{v} = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 4 \end{array} \right]^T\nonumber$$ знахідкою вектора одиниці$\vec{u}$, який має той самий напрямок, що і$\vec{v}$.

Рішення

Ми будемо використовувати Definition$\PageIndex{3}$, щоб вирішити цю проблему. Тому нам потрібно знайти довжину$\vec{v}$ якої, за визначенням$\PageIndex{2}$ задається за $$\| \vec{v} \| = \sqrt{ v_{1}^2 + v_{2}^2+ v_{3}^2}\nonumber$$ допомогою відповідних значень ми знаходимо, що Для $$\begin{aligned} \| \vec{v} \| &= \sqrt{ 1^2 + \left(-3 \right)^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{ 1 + 9 + 16} \\ &= \sqrt{26} \end{aligned}$$ того, щоб знайти$\vec{u}$, ми ділимо$\vec{v}$ на$\sqrt{26}$. Результат - $$\begin{aligned} \vec{u} &= \frac{1}{\| \vec{v} \|} \vec{v} \\ &= \frac{1}{\sqrt{26}} \left[ \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 4 \end{array} \right]^T \\ &= \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt{26}} & -\frac{3}{\sqrt{26}} & \frac{4}{\sqrt{26}} \end{array} \right]^T\end{aligned}$$

Ви можете перевірити, використовуючи Визначення$\PageIndex{1}$, що$\| \vec{u} \| = 1$.